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太原市2025年高三年级模拟考试（一）
数学
h
(考试时间：下午15：00一17：00)
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
園
2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
剧
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
阳
第I卷
(选择题共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选顶中，只有一项是符
R
合题目要求的
1+i
删
i
A.-1+i
B.-1-i
C.1+i
D.1-i
2.已知集合A={xx<1},B={xx2-2x<0},则AUB=
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(-1,2)
D.(-2,1)
3.已知a=(2,1),b=(m,-1),若a∥(a-b),则实数m=
A.-2
B.3
C.6
D.-1
数学试题第1页（共8页）
......
3
4.已知a=2b=log:3,c=1og,5,则下列结论正确的是
A.a>6>c
B.b>a>c
C.b>c>a
D.a>c>b
5.已知△ABC的三条边长分别为3,4,5，△ABC的两个顶点是椭圆E的焦点，其另一个顶点在
椭圆E上，则E的离心率的最大值为
1
C.7
7
0.8
6将函数)=n(2x+(-号<0<)的图象先向左平移石个单位，再向上平移1个单位后，
6
所得的图象经过点（牙，2），则0
T
A.-
B
6
6
c
n
7已知等差数列o,}的前n项和为S,且S,=4,-1,2SnN是以1为公差的等差数列，
an
则下列结论正确的是
A.as =10
B.S5=15
C.a10=20
D.S10=30
8.已知函数f(x)=x3-m+(x-1)x2有三个零点，则实数m的取值范围为
A.(
270)U(0,10
B.(-
70)U(0,1)U1,+∞)
1
D.(27,+)
数学试题第2页（共8页）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知样本数据x,x2,…,x的平均数为3，方差为3，样本数据y1,y2,…,yo的平均数为3，
方差为6，则下列结论正确的是
A.数据2x1+1,2x2+1,…,2x+1的平均数为7
B.数据2y1-1,2y2-1,…,2yw-1的方差为11
C.数据x1,x2,…,x少1y2,…,y的平均数为3
D.数据x1x2,…,x5y1y2,…,y1n的方差为5
10.已知函数f(x)=ln
”2-x+(x-1月，若0A.f(x1)B.f(x1)C.f(x2)>f(2-x1)
D)>0
11.已知动点P(x,y)到点F(0,1)和直线y=4的距离和为5，记其轨迹为曲线C.点M(x1,y),
W(x2,y,)是曲线C上的两个不同点，点A(0,a)(a∈R),则下列结论正确的是
A,曲线C的方程为y=62+5
B.对于任意a∈R,都存在点M,N,使得AM=AW成立
C.当y,≠y,时，若点M,N关于点A对称，则ae[24)
D.若点M,V关于点A对称，则AM+AN的取值范围为(0,8]
数学试题第3页（共8页）太原市 2025 年高三年级模拟考试（一）
数学试题参考答案及评分建议
一．选择题： D C A B C C B A
二．选择题： 9.ACD 10.AB 11.BCD
2n
三．填空题: 12. 80 13.12 14.
n 1
2 2 2
四．解答题: 15.解:（1）由 (a b)(a b) c(a c)得 a c b ac， ………2 分
a2 c2 b2 1
由余弦定理得 cos B ， 0 B 180 ， B 60 . ………6 分
2ac 2
CBD cosC 3 sinC 4（2）设 ， ， ，
5 5
3 3 1 4 3 3 4
sin A sin(B C) sin B cosC cosB sinC ，………8 分
2 5 2 5 10
ABD AD BD在△ 中，由正弦定理得 ，
sin(60 ) sin A
在△ BCD CD BD中，由正弦定理得 ，
sin sinC
AD 2DC 2sin sinC 8 ， ， ………11 分
sin(60 ) sin A 3 3 4
(3 3 4)sin 4sin(60 ) 2 3 cos 2sin ，
tan CBD 4 3 6 tan . ………13 分
3
f (x) 1 a16.解:（1）由题意得 ， x 0 , ………2 分
x
①当 a 0时，则 f (x) 0， f (x)在 (0, )上递增； ………4 分
②当 a 0时，令 f (x) 0，则0 x a；令 f (x) 0，则 x a，
f (x)在 (0,a)上递减，在 (a， )上递增. ………6 分
（2）令 g(x) f (x) cos(x 1) x a ln x cos(x 1)， x 0，
则 g (x) 1 a sin(x 1)， g(1) 0， g (1) 1 a 0， a 1， ………9 分
x
当 a 1时， g(x) x ln x cos(x 1)， x 0，
令 h(x) x 1 ln x， x 0，则 h (x) 1 1 ， ………10 分
x
令 h (x) 0，则0 x 1；令 h (x) 0，则 x 1，
h(x)在 (0,1)上递减，在 (1， )上递增， h(x) h(1) 0， x ln x 1，……13 分
g(x) x ln x cos(x 1) 1 cos(x 1) 0，
综上所述，a 1. ………15 分
17.（1）证明：设H 是 BC的中点，连结DH ,FH ，
DE 平面 ABCD， DE AD， ………1分
△BCF是等边三角形， FH BC，
平面BCF 平面 ABCD， FH 平面 ABCD，
DE // FH ， D,E,F ,H 共面， ………3分
四边形 ABCD边长为 2的菱形， BAD 60 ，BH CH 1，
在△CDH 2 2 2中，DH CD CH 2CD CH cos BCD 3，
CD2 CH 2 DH2 4， DH BC，
四边形 ABCD为菱形， AD // BC， DH AD， ……5分
DE DH D， AD 平面DEFH ， AD EF . ……6分
（2）由（1）得 AD DE,AD DH， DE 平面 ABCD， DE DH，以D为原点，
DA,DH ,DE所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(2,0,0)，B(1, 3,0)，E(0,0,2 3)，F(0, 3, 3)，设BG BF(0 1)，
则 AG AB BG ( 1, 3, 3 )， ………7分
2x 0,
设m (x1, y1, z1)是平面 ADG
m DA, 1
的一个法向量，则
m AG, ( 1)x1 3y1 3 z1 0,
取 y1 ，则 z1 1， m (0, , 1)， ………9 分

n (x , y , z ) AEG n AE,
2x 2 3z 0,
设 2 2 2 是平面 的一个法向量，则
2 2

n AG, ( 1)x2 3y2 3 z2 0,
取 x2 3，则 y2 1, z2 1， n ( 3,1,1)， ………11 分
二面角D 1 |m n | | 1| 1 AG E的余弦值为 ， | cos m,n | ， ……13 分
5 |m ||n | 2 1 5 5
1 或 2（舍去）， BG 1 BF 1. ………15 分
2 2
18.解：（1）设 N 是MF 的中点， F1( 2,0)，连接ON ，MF1，由题意可得ON //MF1，
则 |MF1 | |MF | 2(|ON | | NF |) 2 | F1F | 4，故点M 的轨迹是以 F1,F 为焦点，
2
2 y
实轴长为 2的双曲线的右支曲线，所以曲线C的方程为 x 1(x 0) . ………6 分
3
（2）①证明：设 S (x1, y1)，T (x2 , y2 )，直线 ST的方程为 x my n，
x my n,
2 3(n2 1)
由 y2 得 (3m 1)y
2 6mny 3(n2 1) 0 y y 6mn , 1 2 2 ， y1y2 2 ，
x
2 1 3m 1 3m 1
3
直线 AS y 3的方程为 y 1 (x 2) 3，令 y 0 3(x 2)，则 x 2 1 t， ………8 分
x1 2 y1 3
AT y y2 3直线 的方程为 (x 2) 3，令 y 0，则 x 3(x 2 2 2) 2 t， ………9 分
x2 2 y2 3
3(x1 2) 3(x 2) 2 2， 3(my1 n 2)(y2 3) 3(my2 n 2)(y1 3) 2(y1 3)(y 3)，y1 3 y
2
2 3
(2m 2 )y1y2 (n 3m)(y1 y2) 6(n 1) 0， n 2 3m或n 3m 1，………11 分3
当n 2 3m时，直线 ST的方程为 x m(y 3) 2，则直线 ST经过点 A，即点 S 与 A重合，
与题意不符；
当 n 3m 1时，直线 ST的方程为 x m(y 3) 1，则直线 ST 过定点 (1, 3) .………13 分
②由①知直线 ST 过定点 (1, 3)，记其为点 B，
1
由 AG ST 可知垂足G 在以 AB 为直径的圆上， t 1, 1 x 2， ………15 分
2
3 37
所以点G 的轨迹方程为 (x )2 y2 (1 x 2,3 37 y ) . ………17 分
2 4 2
19.（1）设事件 Aij “甲使用第 i张奖券抽奖，中 j次奖” (i 1,2, j 0,1,2)，
则所求事件为 A10A21 A10A22 A11A21，其概率为 P(A10A21 A10A22 A11A21 )
P(A A ) P(A A ) P(A 2 1 4 2 1 1 1 4 1 62 10 21 10 22 11A21) . ………3 分3 3 5 3 3 5 3 5 5 225
（2）设事件 Bij “乙使用第 i张奖券抽奖，中 j次奖” (i 1,2,3, j 0,1,2)，
则所求事件为B11B20B31 B10B21B31 B10B20B32，其概率为P(B11B20B31 B10B21B31 B10B20B32)
P(B11B20B31 ) P(B10B21B31 ) P(B10B20B32 )
1 4 4 1 2 1 4 1 2 2 1 1 364
. ………6分
3 5 5 5 3 3 5 5 3 3 3 5 3375
（3）由题意可知 X 的所有可能取值为1,2, ,10 .
当 X 9时，表示顾客丙使用 X 张奖券将 2个红球全部摸出；
当 X 10时，表示顾客丙使用第10张奖券抽奖时盒子里有1个或 2个红球.
设事件“顾客丙使用第 n张奖券抽奖时盒子里有 2个红球”的概率为 an ，事件“顾客丙使
用第 n张奖券抽奖时盒子里有1个红球”的概率为bn ， n 1,2, ,10，
a 1 b 0 a 2 4 1 4则 1 , 1 , n 1 an ,bn 1 b a
4 b 4 a ,n 1,2, ,9，……7 分
3 5 n 3 5 n 5 n 15 n
a ( 2 )n 1 b 4 b 4 (2)n 1 4 2 2 n ， n 1 n b ( )
n
，
3 5 15 3 5 n 5 3
2 4
bn 1 3 ( )
n 1 [b 3 (2)n ] 4 b 2 [( )n 1 2 ( )n 1， ]，n 1,2, ,10，……10 分
3 5 n 3 n 5 3
P(X n) 1 1 1 a b 1 2 ( )n 1 2 4 [( )n 1 (2)n 1] 1 4 2n n [( )
n ( )n]，n 1,2, ,9，
3 5 5 15 3 5 5 3 2 5 3
P(X 10) a10 b10 (
2)9 4 2 4 2 2 [( )9 ( )9] 2 ( )9 ( )9； ………12 分
3 5 3 5 3
10 9
E(X ) n P(X 1 4 2 n) n [( )n ( )n ] 10 [2 (4 )9 2 ( )9 ]
n 1 2 n 1 5 3 5 3
1 9 9
[ n 4 ( )n n ( 2 )n ] 20 4 2 ( )9 10 ( )9 , ………14分2 n 1 5 n 1 3 5 3
9
设 S n 4 4 4 4 ( )n 1 2 ( )2 3 ( )3 9 4 ( )9 ，
n 1 5 5 5 5 5
4 S 1 (4 )2 2 (4)3 4 4 3 ( )4 9 ( )10 ，
5 5 5 5 5
1 S 4 (4)2 (4)9 9 (4 )10 4， S 20 70 ( )10，
5 5 5 5 5 5
9
T n ( 2 )n 2设 1 2 (2)2 3 (2)3 2 9 ( )9，
n 1 3 3 3 3 3
2 2
T 1 ( )2 2 (2 )3 3 (2 )4 2 9 ( )10 ，
3 3 3 3 3
1 2 2
T ( )2 (2)9 2 9 ( )10 T 6 36 (2)10， ，
3 3 3 3 3 3
E(X ) 1 (S T) 20 (4 )9 10 (2)9 1 4 2 {20 70 ( )10 [6 36 ( )10]}
2 5 3 2 5 3
4
20 ( )9 10 (2 )9 7 10 (4 )10 3 (2 )10. ………17 分
5 3 5 3
注：以上各题其它解法请酌情赋分.

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