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2025年江苏省苏锡常镇高考数学调研试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
4.已知为等比数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知一圆柱内接于半径为的球，当该圆柱的体积最大时，其高为( )
A. B. C. D.
7.在空间中，过点作平面的垂线，记垂足设两个不同平面，，对任意一点，，，恒有成立，则( )
A. B. ，的夹角为
C. ，的夹角为 D.
8.我市某校共有名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐；而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某中学举行数学史知识竞赛，其中个小组的比赛成绩分别为：，，，，，，则这组数据的( )
A. 极差为 B. 中位数大于平均数 C. 方差为 D. 下四分位数为
10.已知函数，其导函数为，则( )
A. 直线是曲线的切线
B. 有三个零点
C.
D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为
11.已知正方体的棱长为，点满足，其中，，，则( )
A. 当，，时，平面
B. 当，时，异面直线与所成的角为
C. 当，时，
D. 当时，线段的长度最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.请写出一个同时满足以下三个条件的函数 ______．
；
；
不是常数函数．
13.已知抛物线的焦点分别为，，一条平行于轴的直线分别与，交于，两点若，则四边形的周长为______．
14.在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同、颜色互不相同的小球某人先后两次任意摸取小球每次至少摸取个小球，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色则“两次记下的小球颜色能凑齐种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若为的中点，求．
16.本小题分
在；；这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上只要写序号，并解答该题．
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有_____．
求的通项公式；
设，数列的前项和为，证明：．
17.本小题分
如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点．
求证：平面平面；
已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积．
18.本小题分
已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为点在的渐近线上，过的直线与交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．
求的方程；
若的面积为，求的方程；
证明：线段的中点为顶点．
19.本小题分
我们把称为区间的长度若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，，则称为的自映射区间已知函数，．
若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率；
若存在自映射区间，
求的取值范围；
求证：，且的长度．
参考答案
1.
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