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第五章 圆
5.1 圆的性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 圆周角定理及有关计算 ☆☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，圆的相关概念及性质的部分，考查1-2道题，分值为8分左右，通常以选填题的形式考查。考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论。
考点2 垂径定理 ☆☆☆
考点3 圆的基本性质综合题 ☆☆☆
圆的相关概念及性质在中考数学中，小题通常考查圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在解答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。
2
3
■考点一　圆周角定理及有关计算 3
■考点二　垂径定理 9
■考点三　圆的基本性质综合题 13
23
35
■考点一　圆周角定理及有关计算
1）在同圆或等圆 中能够互相重合的弧是等弧 ，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
2）弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距 相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等 ，那么它们所对应的其余各组量 分别相等。
解题技巧：运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。
3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 。
推论1：同弧或等弧 所对的圆周角相等 。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角 ，的圆周角所对的弦是直径 。
注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180° 。
4）圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。
性质：（1）圆内接四边形对角互补 ；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
■考点二　垂径定理
1）圆的对称性
（1）圆既是轴对称 图形，又是中心对称 图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。
（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。
2）垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦 ，并且平分 弦所对的两条弧。
解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
3）推论
1）平分弦（不是直径 ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
■考点三　圆的基本性质综合题
圆的基本性质综合问题:圆的基本性质常和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题。
■考点一　圆周角定理及有关计算
◇典例1：（2024·浙江温州·一模）点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∴的长为：，故选：B．
◆变式训练
1.（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴；故选：C.
2．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，故选C．
3．（2024·四川广元·二模）如图，都是的半径，，若， ，则的半径为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】证明：∵，∴，∵，∴，
，．过点作半径于点，则，
∴，，，，
在中，，
在中，，，，即的半径是．故选：B．
◇典例2：（2023年山西省中考数学真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∵为圆的直径，∴，∴；故选：B．
◆变式训练
1.（2023年辽宁省营口市中考数学真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，连接，∵，∴，
∵是的直径，∴，∴，故选D．

2．（2023·浙江宁波·三模）好图，是的内接三角形，、弦，交的延长线于点．已知，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，取中点E，连接并延长交于D，连接，
∵，点E为中点，∴，∴C、O、E三点共线，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∵是直径，∴，∴；∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
设，则，∵，
∴，∴，即，
∴，解得，∴，∴，故选：B．
3．（2024·浙江杭州·一模）如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则 ．
【答案】
【详解】连接，，，，，
，，，
，，，故答案为：．
◇典例3：（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，四边形内接于，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，
∵四边形内接于，∴，故选；D．
◆变式训练
1．（2024·陕西西安·二模）如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，连接，∵半径长，∴，
∵，∴，∴是直角三角形，且，
∴，∵点A、B、C是三等分点，∴，
∴，故选：A．

2．（2024·浙江宁波·二模）如图，在以 为直径的半圆中，弦，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，∵，，∴，
∵，∴，∵，∴．故选：D．
■考点二　垂径定理
◇典例4：（2024·广东·校考模拟预测）下列说法中，正确的个数为（ ）
①在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等；②平分弦的直径垂直于这条弦；
③圆的对称轴是直径；④弧分为优弧和劣弧；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】B
【详解】解：①在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误；
③圆的对称轴是直径所在的直线，故错误；④弧分为优弧和劣弧，故正确；
⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的圆周角相等或互补，故错误．故选：B．
◆变式训练
1.（2024·四川·模拟预测）下列语句中，正确的是（　　）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①② B．②③ C．②④ D．④
【答案】C
【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；
②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；
④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；故选：C．
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，点A，，，都在上，，，， （ ）度
A． B．42 C． D．44
【答案】C
【详解】解：如图，连接，，，，
，，，
，，四边形为的内接四边形，
，，故先：C．
◇典例5：（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【详解】解：如图，连接，线段是的直径，于点E，，
，，，，，选A．
◆变式训练
1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，的半径为，是的弦，若，则的长为 ( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：作于，则，
，
的半径为，，，，
．故答案为：A．
2．（2024·浙江·一模）线段是的直径，弦于点．若，则半径长为（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，如图所示：
线段是的直径，弦于点，，
在中，，，由勾股定理可得，解得，选D．
◇典例6：
1．（2023年湖南永州中考数学真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．

【答案】
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，

∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．∴，
在中，∴故答案为：．
◆变式训练
1．（2024.广东.九年级期末）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是 寸．
【答案】26
【详解】解：连接，，且寸，寸，
设圆的半径的长为，则，，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：，化简得：，
即，（寸）．故答案为：26．
■考点三　圆的基本性质综合题
◇典例7：（2024·江苏·九年级校考阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，，，
，，即（定长），
点是定点，是定长，点在半径为1的上，
，的最大值为，故选：C．
◆变式训练
1．（2024·广东·统考一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
【答案】
【详解】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，∴，
，，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，
点M的运动路径长，故答案为：．
2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

【答案】/
【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴点F在以为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值为，故答案为：．
◇典例9：（2025·浙江宁波·一模）如图，已知内接于，点M为的中点，连接交于点E，且C为弧的中点，连接 ，在上存在点 H，使得 若 ， 则的长（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，∵点M为的中点，∴，
∵C为弧的中点，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，设，则，
同理可得：，∴，
∵，，∴，
过作于，作于，∴，由面积法可得：，
∴，解得：，∴；故选：C
◆变式训练
1．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵为的直径，，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∵，则，，∴，
∵，∴，又∵，∴，
∴，∴．故选：C．
2．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：连接，，设圆心为，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，如图：，，，
，是的直径，，，
半径为，，，，
，，是等腰直角三角形，，
，，，
在中，，由托勒密定理任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．
，，，
，四边形的周长为，选：A．
◇典例9：（2024·辽宁抚顺·统考一模）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点D，连接，点E在弦上，且，连接．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵平分∴ ∵∴
∵∴即
（2）解：连接，∵为的直径∴
∵∴∴，
∵在中，∴
∵∴∵∴是等边三角形∴．
◆变式训练
1．（2024·浙江·三模）如图1，内接于，点为劣弧上一点，满足，过点作的垂线，垂足为点，交于点．

(1)求证：；(2)若，求的值；(3)求证：；
(4)如图3，若，，用含有的代数式表示．
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析(4)
【详解】（1）证明：设，则，而，
，即，．
（2）如图1，连结，连结并延长交于点，

则，即．，，设，则，．
，．
（3）如图2，在上截取，则．∴
设，则，，，，
∴，．
（4）如图3，在上截取，则，连接．
∴∴，∵，∴，
∵，∴，
．∴，即
设，则，，∴，
∵∴，
∴即．∴．
◇典例10：（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结．
(1)求证：．(2)若，求的值．
(3)在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长．
【答案】(1)证明过程见详解(2)(3)，
【详解】（1）证明：设，∵，∴，
∵，∴，
∴，∴；
（2）解：如图所示，连接，∵，，∴垂直平分，∴，，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，且，∴点在线段的垂直平分线上，
如图所示，连接并延长交于于点，∴，，，∴，
在中，设，则，，
∴，∴；
（3）解：由（2）可得，，如图所示，过点作于点，
∴，∴，∴，
∴，∴，∵，
∴，∴，∴，
在中，，∴，
设，则，在中，，在中，，
∴，即，解得，，即，∴，
在中，，∴，
∵，∴，∴，∴，
在中，，∴，
如图所示，连接，过点作于点，∴，
∵，，，
∴，∴，即，解得，，
在中，．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，连接，，半径交于点F，交于点G，连接交于点N．
(1)求证：；(2)若，，求的值；(3)在（2）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：连接、，，如图所示：
∵点C，D是的三等分点，∴，∴，
∵，∴垂直平分，∴，
∵，∴，∵，∴，∴．
（2）解：设，则，，
在和中根据勾股定理得：，，
∴，即，解得：，（舍去），
∴，∴，∴．
（3）解：过点N作于点M，如图所示：
∵，∴，∴，
∵，∴，设， ，则，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，即，解得：，
∴，解得：，即．
1．（2024·甘肃·中考真题）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，∴，
∵，∴，∴．故选A．
2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，
∵四边形内接于，∴∴
∵∴，∴是的直径，
∴∴是等腰直角三角形，∴
∵∴∴，,
∵∴又∵∴
∴是等腰直角三角形∴∵∴
∵∴∴故选：A．
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，∵是的直径，∴，

∵，∴∴
∵四边形是的内接四边形，∴，故选：B
4．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，∴，
∵四边形内接于，∴，∴,故选：C．
5．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且，
，又四边形是的内接四边形，，
又，，故选：A．
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵半径，∴，∴，，
∵，∴，∴，故选：B．
7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：是的直径，，
，，，故选：A．
8．（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着，，
，．故选：C．
9．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴直线经过圆心，设圆心为，连接．

中，，根据勾股定理得：，即：
，解得：；故轮子的半径为，故选：C．
10．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论：
①； ②； ③当，时，；
④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②③
【详解】解：如图：连接，∵是的中点，∴,∴，即①正确；
∵是直径，∴，∴，
∵∴,∵，∴，∴，
∵，,∴，
∵，∴，∴，∴,即②正确；
在和,，∴，
∴,即,∴，即,∴,
∵，∴，即③正确；如图：假设半圆的圆心为O，连接，
∵，，是的中点，∴∴，
∵，∴是等边三角形，∴，即是菱形，∴，∵，
∴，即，解得：,∴，
∵∴，即④错误．故答案为：①②③．
11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，，，
在中，由勾股定理得：，故答案为：．
12．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接，∵内接于，是直径，∴，
∵,，∴∴，故答案为：．
13．（2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则

【答案】55
【详解】解：∵直径平分弦，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
14．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）在和中，
∵，，，∴，∴；
（2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接，
∵平分，∴， 在和中，
∵，，，∴，
∴，，∵，，
∴，∴，∴，∴；
选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接，
∵平分，∴，
在和中，∵，，，
∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，∴；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
∵的平分线，∴，∴，∴，
∵为的直径，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴．
15．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
【答案】(1)3(2)见解析
【详解】（1）解∶∵，∴，
∵，∴，即，
∴，∴，∴，解得，即的半径为3；
（2）证明：法一：过O作于F，∴，
∵∴，又，，∴，
∴，∴；
法二：连接， ∵是直径，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴．
16．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.
(1)求证：；(2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.

【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）根据题意，得，∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴，∴；
（2）∵，，不妨设，则，
∴，∵，∴，，
∴，∴，解得，取的中点M，连接，
则∵，∴，∴，∴，
∵是的切线，∴，∴，
解得，故半径的长为.

17．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．
(1)当点B与点N重合时，求劣弧的长；(2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；(3)设点O到的距离为d．①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值．
【答案】(1)(2)点B到的距离为；(3)①；②
【详解】（1）解：如图，连接，，
∵的半径为3，，∴，∴为等边三角形，
∴，∴的长为；
（2）解：过作于，过作于，连接，
∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，而，
∴，∴点B到的距离为；
∵，，∴，
∴，∴；
（3）解：①如图，∵过点A的切线与垂直，∴过圆心，
过作于，过作于，而，
∴四边形为矩形，∴，∵，，
∴，∴，
∴，∴，即；
②如图，当为中点时，过作于，过作于，
∴，∴，此时最短，
如图，过作于，而，∵为中点，则，
∴由（2）可得，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，设，则，
∴，解得：（不符合题意的根舍去），∴的最小值为．
18．（2024·陕西·中考真题）问题提出（1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）

问题解决（2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F 若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）
【答案】（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．
【详解】解：（1）连接，∵，∴，∵，∴等边三角形，

∵，∴，∴的长为；故答案为：；
（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下，
解：∵，，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，
∵要在湿地上修建一个新观测点P，使，
∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，

∵，∴经过点的直线都平分四边形的面积，
∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分，
∴直线必经过的中点，∴是的中位线，∴，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，作于点，

∵四边形是平行四边形，，∴，
∵，∴，，
∵，∴，∴，即，∴，
在中，，
∴．
答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为．
1.（2024·河北·统考二模）某圆形舞台，圆心为．，是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧（点是该弧中点）围成的区域是表演区．如图1，在处安装一台监控器，其监控的度为．如图2，若再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，则下列方案可行的是（ ）

甲：在处放置；乙：在处放置；丙：在处放置
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】A
【详解】解：①若在处放置，如图1所示，连接；

∵点是优弧的中点，∴，，∴在处安装监控器可监控到所对的区域，即两台监控器可满足监控到表演区的整个区域，故甲方案可行；
②若在处放置，如图2所示，连接、、；
由①知，由圆周角定理，，∴在处安装监控器可监控到所对的区域，即两台监控器可满足监控到表演区的整个区域，故乙方案可行；
③若在处放置，如图3所示，连接、、、，
要使得其与处监控器能够监控到表演区的整个区域，则处监控器应该监控到所对弓形的内部，由圆的内接四边形性质可知，，
∵监控器监控的度为，∴无法满足监控到所对弓形的内部，即丙方案不可行；
综上分析，甲、乙方案可行，故选：A．
2．（2024·浙江台州·模拟预测）如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：四边形为的内接四边形，，
，，由圆周角定理可得：，故选B．
3．（2024·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接，，，∵，∴，

∴点F的运动轨迹是以为直径的圆上，且点O在圆上，当点E在点B处时，，点F与O重合；当点E在点D处时，∵以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，∴即，点F与A重合，
∴当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为的长；
∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，则所对的圆心角的度数为，
∴的长为，即点F所经过的路径长为，故选：B．
4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，点A，，，都在上，，，， （ ）度
A． B．42 C． D．44
【答案】C
【详解】解：如图，连接，，，，
，，，
，，四边形为的内接四边形，
，，故先：C．
5．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【详解】解：∵，，∴，
∵的直径垂直于弦，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
又∵，∴，∴，故选：C．
6．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知钝角内接于，过点作交于点，若，则的半径为（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【详解】解：连结并延长交于点，连结，
为直径，∴，又∵，
∴，，∴，∴，
∴，的半径为．故选A．
7．（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ．
【答案】35
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，∴，
∵，∴，
∵是的直径，∴，∴，故答案为：35．
8．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点是以为直径的半圆上的一点，分别是和的中点，连结交于，交于．若时，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：连接交于一点，连接交于一点W，如图：
∵以为直径的半圆，∴，∴，∴，
∵分别是和的中点，，∴，
∴点分别是的中点，∵是的中点，
∴，∴
∵，∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，，
∵，∴，∴，
∴，，∴，答案：．
9．（2024·上海嘉定·二模）如图在圆O中，是直径，弦与交于点E，如果，点M是的中点，连接，并延长与圆O交于点N，那么 ．

【答案】/
【详解】解：∵在圆O中，是直径，，∴，∴，∴，
∵点M是的中点，∴，∵，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，故答案为：．
10．（2024·浙江温州·二模）图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为 cm．
【答案】14
【详解】过点B作于点M，取的中点Q，连接并延长交AC于点P，
∵Q是BM的中点，点E是的中点，∴，，∴点P、Q、E、F共线，
又∵，，∴，∴四边形是矩形，，
∴，，又∵，，∴，，∴，，，
又∵，∴，，∴四边形，也是矩形，
∴，，，
∴，∴是的垂直平分线，即直线是直径所在的直线，在上取圆心为O，连接，设，则，
在Rt△APO中，∴，解得：，故答案为：14．
11．（2024·浙江·三模）图1是欢乐谷游乐园门口遮阳伞落地支架，图2是其示意图．支架主体部分是一段圆弧，弧长占所在圆周长的三分之一，且所在圆的圆心恰好在支架顶端B的正下方．若点B离地高度为，则制作支架所需的钢管长度（即弧长）为 （结果保留）．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点B作地面的垂线，垂足为C，设圆弧所在圆的圆心为O，连接，
∵支架主体部分是一段圆弧，弧长占所在圆周长的三分之一，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴制作支架所需的钢管长度（即弧长）为，故答案为：．
12．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点B在以为直径的半圆上，A为圆心，连接，设，，且．(1)请用m，n表示的三条边长．(2)若m，n均为不超过20的正整数，且使的三条边长都是整数，请找出三组符合题意的m，n的值．
【答案】(1)，，(2)，；，；，
【详解】（1）解：∵DE为半圆的直径，A为圆心，，，．
∴，∴半圆的半径为，
∵于点C，在中，，，
由勾股定理得：，
∴的三条边长是：，，；
（2）∵m，n均为不超过20的正整数，∴，，均为正整数，
∴m，n同为奇数或同为偶数，且，
①当时，，此时，，，∴，符合题意；
②当时，，此时，，，∴，符合题意；
③当时，，此时，，∴，符合题意．
13．（2024·浙江·模拟预测）如图，在半径为5的中，点C在弦上运动，作的垂直平分线交上方的圆弧于点D，连接、．
(1)若圆心O到弦的距离为3，M是的中点，求：①弦的长；②的取值范围；③的最小值；(2)若度，恰好经过圆心O，求的长．
【答案】(1)①；②；③的最小值为；(2)．
【详解】（1）解：①连接，作，垂足为，∴，
∵，，∴，∴；
②当重合时，最短，连接，
此时，则为直径，∴；
当重合时，最长，连接，
此时点在的最高点，且共线，，，
∴，∴的取值范围为；
③连接，，则，即，
∴点在以为直径的圆上，当重合时，取得最小值，作于点，
∴，∴，∴，
∴，，∴，∴；
（2）解：延长交于点，连接，作，垂足为，
∵，，∴，由题意得，
∴，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∴，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，，
∴，，∴，
∴．
14．（23-24九年级上·广西南宁·期中）项目化学习：车轮的形状
[问题提出]车轮为什么要做成圆形，这里面有什么原理？
[合作探究]
（1）探究A组：如图1，圆形车轮半径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______ ；
（2）探究B组：如图2，正方形车轮的轴心为O，若正方形的边长为，求车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差；
（3）探究C组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为，车轮轴心为O，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点O经过的路程．
（探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮轴心是否在一条水平线上运动．）
[拓展延伸]如图4，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．
（4）探究D组：使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”“车轮轴心O”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”所形成路径的大致图案是______．
A． B．
C． D．
（延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O并不稳定．）
【答案】（1）6；（2）；（3）；（4）A
【详解】（1）解：由圆的性质可知，其车轮轴心O到地面的距离始终为，故答案为：6；
（2）解：如图2，O为正方形中心，于，
由题意知，正方形车轮轴心O距离地面的最高点为，高度为，
最低点为，高度为，∴最高点与最低点的高度差为；
（3）解：∵弓形所对圆心角为，∴，滚动过程如图，
从图1滚动到图2，点绕点旋转，点的运动距离为；
从图2滚动到图3，点绕点旋转，点的运动距离为；
从图3滚动到图4，点的运动距离为以圆心角为，半径为的圆弧的弧长，即；∵，
综上，让车轮在地上无滑动地滚动一周，点O经过的路程为，
（4）解：由题意知，当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”与水平面的距离不变；“车轮轴心O”到水平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环，
∴ “最高点”和“车轮轴心O”所形成路径的大致图案是A，故答案为：A．
15．（2024·浙江·模拟预测）如图，为的直径，是上一点，连结，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，与相交于点．
(1)求证： ；(2)若 求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∴；
（2）解：连接，∵为的直径，∴，
∵，∴，∵，
∴，，，
∴，∴，∴．
16．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在中，直径垂直弦，连结，弦平分分别交于点与的延长线交于点．

(1)求证：；(2)如图1，当时，求；(3)如图2，当时，求．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：直径弦
又
（2）连接，∵四边形为圆的内接四边形，∴．

∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，，，∴，
，，，为的黄金分割点，；
（3）连结，如图，∵直径垂直弦，∴垂直平分，
∴，∴，由（2）知：，∴．
∵，∴，∴，∴．
在和中，，∴，
∴，∴四边形为平行四边形，∵，∴，
∴∴四边形为菱形，∴，∴垂直平分，
∴，为直径，∴，∴，
∴，∴，∴．
∵，∴，∴．
17．（2024·浙江台州·二模）如图1，在中 ，，是的外接圆，连结并延长交于点 D．
(1)求证：；(2)如图2，点E是线段上的动点，连结并延长交分别交，于点F，M，连结，①当点 E与重合时（如图3），求证：；②在①的条件下，若，求的长度；③若， 求的最大值，并写出此时的值．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②；③的最大值为，此时
【详解】（1）证明：如图，连接，，
，，，，，
延长交于点 D，，，是等腰三角形，；
（2）①证明：，，平分，，
，，，
，，，；
②解：，，，，，
解得（负值已舍去），，，
，，，
，，，，，；
③解：，，的最大值即为的最大值，
，设，则，，
，当时，的最大值，的最大值为．，连接，
，点是的中点，由（1）得：点是的中点，
是的中线，，，．
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第五章 圆
5.1 圆的性质
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 圆周角定理及有关计算 ☆☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，圆的相关概念及性质的部分，考查1-2道题，分值为8分左右，通常以选填题的形式考查。考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论。
考点2 垂径定理 ☆☆☆
考点3 圆的基本性质综合题 ☆☆☆
圆的相关概念及性质在中考数学中，小题通常考查圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在解答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。
2
3
■考点一　圆周角定理及有关计算 3
■考点二　垂径定理 9
■考点三　圆的基本性质综合题 13
23
35
■考点一　圆周角定理及有关计算
1）在 中能够互相重合的弧是 ，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
2）弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对的弦的 相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量 ，那么它们所对应的 分别相等。
解题技巧：运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。
3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。
推论1： 所对的圆周角 。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，的圆周角所对的弦是 。
注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为 。
4）圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。
性质：（1）圆内接四边形 ；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
■考点二　垂径定理
1）圆的对称性
（1）圆既是 图形，又是 图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。
（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。
2）垂径定理：垂直于弦的 平分这条 ，并且 弦所对的两条弧。
解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
3）推论
1）平分弦（不是 ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
■考点三　圆的基本性质综合题
圆的基本性质综合问题:圆的基本性质常和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题。
■考点一　圆周角定理及有关计算
◇典例1：（2024·浙江温州·一模）点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023年浙江省湖州市中考数学真题）如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）如图，A，B，C为上的三个点，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．（2024·四川广元·二模）如图，都是的半径，，若， ，则的半径为（　　）
A． B． C．2 D．3
◇典例2：（2023年山西省中考数学真题）如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023年辽宁省营口市中考数学真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·浙江宁波·三模）好图，是的内接三角形，、弦，交的延长线于点．已知，，则为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江杭州·一模）如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则 ．
◇典例3：（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，四边形内接于，若，则（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·陕西西安·二模）如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（　　）

A． B． C． D．
2．（2024·浙江宁波·二模）如图，在以 为直径的半圆中，弦，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
■考点二　垂径定理
◇典例4：（2024·广东·校考模拟预测）下列说法中，正确的个数为（ ）
①在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等；②平分弦的直径垂直于这条弦；
③圆的对称轴是直径；④弧分为优弧和劣弧；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
◆变式训练
1.（2024·四川·模拟预测）下列语句中，正确的是（　　）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①② B．②③ C．②④ D．④
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，点A，，，都在上，，，， （ ）度
A． B．42 C． D．44
◇典例5：（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
◆变式训练
1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，的半径为，是的弦，若，则的长为 ( )．
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·一模）线段是的直径，弦于点．若，则半径长为（　　）
A． B．5 C． D．
◇典例6：
1．（2023年湖南永州中考数学真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．

◆变式训练
1．（2024.广东.九年级期末）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是 寸．
■考点三　圆的基本性质综合题
◇典例7：（2024·江苏·九年级校考阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·广东·统考一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

◇典例9：（2025·浙江宁波·一模）如图，已知内接于，点M为的中点，连接交于点E，且C为弧的中点，连接 ，在上存在点 H，使得 若 ， 则的长（ ）
A．4 B． C． D．
◆变式训练
1．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点,．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为( )
A． B． C． D．
◇典例9：（2024·辽宁抚顺·统考一模）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点D，连接，点E在弦上，且，连接．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
◆变式训练
1．（2024·浙江·三模）如图1，内接于，点为劣弧上一点，满足，过点作的垂线，垂足为点，交于点．

(1)求证：；(2)若，求的值；(3)求证：；
(4)如图3，若，，用含有的代数式表示．
◇典例10：（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结．
(1)求证：．(2)若，求的值．
(3)在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，连接，，半径交于点F，交于点G，连接交于点N．
(1)求证：；(2)若，，求的值；(3)在（2）的条件下，求的长．
1．（2024·甘肃·中考真题）如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论：
①； ②； ③当，时，；
④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有 ．
11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ．
12．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ．
13．（2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则

14．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
15．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
16．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.
(1)求证：；(2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.

17．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．
(1)当点B与点N重合时，求劣弧的长；(2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；(3)设点O到的距离为d．①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值．
18．（2024·陕西·中考真题）问题提出（1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）

问题解决（2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．
请问：是否存在满足要求的点P和点F 若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）
1.（2024·河北·统考二模）某圆形舞台，圆心为．，是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧（点是该弧中点）围成的区域是表演区．如图1，在处安装一台监控器，其监控的度为．如图2，若再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，则下列方案可行的是（ ）

甲：在处放置；乙：在处放置；丙：在处放置
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
2．（2024·浙江台州·模拟预测）如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
3．（2024·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，点A，，，都在上，，，， （ ）度
A． B．42 C． D．44
5．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
6．（2024·浙江宁波·二模）如图，已知钝角内接于，过点作交于点，若，则的半径为（ ）
A． B． C．6 D．8
7．（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ．
8．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点是以为直径的半圆上的一点，分别是和的中点，连结交于，交于．若时，则的值为 ．
9．（2024·上海嘉定·二模）如图在圆O中，是直径，弦与交于点E，如果，点M是的中点，连接，并延长与圆O交于点N，那么 ．

10．（2024·浙江温州·二模）图1是圆形置物架，示意图如图2所示，已知置物板，且点E是的中点，测得，，，，则该圆形置物架的半径为 cm．
11．（2024·浙江·三模）图1是欢乐谷游乐园门口遮阳伞落地支架，图2是其示意图．支架主体部分是一段圆弧，弧长占所在圆周长的三分之一，且所在圆的圆心恰好在支架顶端B的正下方．若点B离地高度为，则制作支架所需的钢管长度（即弧长）为 （结果保留）．
12．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，点B在以为直径的半圆上，A为圆心，连接，设，，且．(1)请用m，n表示的三条边长．(2)若m，n均为不超过20的正整数，且使的三条边长都是整数，请找出三组符合题意的m，n的值．
13．（2024·浙江·模拟预测）如图，在半径为5的中，点C在弦上运动，作的垂直平分线交上方的圆弧于点D，连接、．
(1)若圆心O到弦的距离为3，M是的中点，求：①弦的长；②的取值范围；③的最小值；(2)若度，恰好经过圆心O，求的长．
14．（23-24九年级上·广西南宁·期中）项目化学习：车轮的形状
[问题提出]车轮为什么要做成圆形，这里面有什么原理？
[合作探究]
（1）探究A组：如图1，圆形车轮半径为，其车轮轴心O到地面的距离始终为______ ；
（2）探究B组：如图2，正方形车轮的轴心为O，若正方形的边长为，求车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差；
（3）探究C组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为，车轮轴心为O，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点O经过的路程．
（探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮轴心是否在一条水平线上运动．）
[拓展延伸]如图4，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．
（4）探究D组：使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”“车轮轴心O”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”所形成路径的大致图案是______．
A． B．
C． D．
（延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心O并不稳定．）
15．（2024·浙江·模拟预测）如图，为的直径，是上一点，连结，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接，与相交于点．
(1)求证： ；(2)若 求线段 的长．
16．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在中，直径垂直弦，连结，弦平分分别交于点与的延长线交于点．

(1)求证：；(2)如图1，当时，求；(3)如图2，当时，求．
17．（2024·浙江台州·二模）如图1，在中 ，，是的外接圆，连结并延长交于点 D．
(1)求证：；(2)如图2，点E是线段上的动点，连结并延长交分别交，于点F，M，连结，①当点 E与重合时（如图3），求证：；②在①的条件下，若，求的长度；③若， 求的最大值，并写出此时的值．
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