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5.1 离心率及其范围题型全归纳
考点分布 考查频率 命题趋势
离心率 2024年新高考I卷第12题，5分 2024年甲卷第5题，5分 2023年新高考I卷第5题，5分 2023年甲卷第9题，5分 2022年甲卷第10题，5分 2022年浙江卷第16题，4分 离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．
离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一，有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现。
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
2．（2024·新高考I卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
3．（2023·新高考I卷）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则　　
A． B． C． D．
7．（多选题）（2022·全国乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为　　
A． B． C． D．
8．（2022·浙江卷）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
9．（2021·全国甲卷）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
10．（2021·天津卷）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
高频考点一 利用定义法求离心率（第一定义）
核心知识：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！
（1）椭圆的两焦点分别为,是椭圆上任意一点,则：；
（2）双曲线的两焦点分别为,是双曲线上任意一点,则: 。
典例1：（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式训练
1.（2024·河南洛阳·模拟预测）已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为 。
3.（2024·高三·湖南·开学考试）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
高频考点2 利用定义法求离心率（第二、三定义）
核心知识：椭圆的方程为（a＞b＞0）：
过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有。
双曲线的方程为（a＞0，b＞0）：
过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有。
典例1：（2024·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为 ．
变式训练：
1.已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2.（2024·山东·高三校联考开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
高频考点3 数形结合求离心率
核心知识：
典例1：（2024·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1.（2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北·联考模拟预测）设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则_______．
高频考点4 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
核心知识：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：，根据范围求解值域．
双曲线：，根据范围求解值域．
典例1：（2024·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1.（2024·广东高三期中）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
2.（2024·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
高频考点5 焦点三角形顶角范围与离心率
核心知识：是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）。
典例1：（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知 ，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1.（2024·江西抚州·高三统考期末）设是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点,使,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·高三课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
高频考点6 共焦点的椭圆与双曲线问题
核心知识：，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
典例1：（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1.（2024·北京·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2.（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于 ．
3.（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则的最小值为
C．过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线 D．两个曲线在P点处的切线互相垂直
高频考点7 基本不等式法求离心率范围
核心知识：熟练掌握基本不等式即可。
典例1：（2024·山西运城·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值________.
变式训练：
1.设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
高频考点8 中点弦求离心率（点差法）
核心知识：见到弦中点问题，马上想到点差法。
典例1：（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ．
变式训练：
1.已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
高频考点9 四心与离心率
核心知识：三角形的重心：三角形三条中线的交点。
（1）G是的重心；重心坐标；
（2）G为的重心，P为平面上任意点，则；
（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；
三角形的内心：三角形三条角平分线的交点。
重要结论：I是的内心 (其中a、b、c为的三条边)；
三角形内切圆的半径求法：
（1）任意三角形：（其中为三角形ABC 的周长，为三角形ABC 的面积）；
（2）直角三角形：（其中a，b为直角边，c为斜边）
三角形的垂心：三角形三条高线的交点
（1）H是的垂心。
（2）垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍。
三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点
(1)若O是的外心(或)；
(2)若点O是的外心，则=0.
(3)若O是的外心，则;
(4)多心组合：的外心、重心、垂心共线，即∥
典例1：（2024·湖北·模拟预测）斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 .
变式训练：
1.（2024·福建龙岩·一模）斜率为的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是的重心，点是的外心.记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为 .
2.已知点，分别为双曲线的左，右焦点，点，在的右支上，且点恰好为的外心，若，则双曲线的离心率为 ．
高频考点10 平面截圆锥（林丹球）问题
典例1：“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为 ．
变式训练：
1.（2024·江西南昌·一模）用平面截圆锥面，可以截出椭圆 双曲线 抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切，切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点，因此有，而是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为，球的半径为4，平面与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为 .
2.（2024·河北·模拟预测）数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面 截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为 ．

1.（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左 右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2.（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·四川达州·二模）双曲线的左、右顶点分别为为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
4.（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5.（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7.（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
8．（2025·江西赣州·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·四川凉山·高三校考阶段练习）已知，分别是椭圆的左 右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10.（2024·湖北·高三开学考试）已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A． B． C． D．
11.（多选题）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（ ）
A．面积为 B．若，则
C．若，则的取值范围为 D．若，则的取值范围为
12.双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率 ．
13.已知双曲线：虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 .
14.（2024·河南新乡·三模）已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 .
15.（2024·广东广州·一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 .
16.（2024·江苏·三模）已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，过的中点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，则 ；若，则的离心率为 .
17.（2024·四川泸州·高三校考阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 .
18.（2024·内蒙古赤峰·高三校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ．
19.（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是C上位于第一象限内的一点，且直线轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为 .
20．（2024·江西·统考二模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．
21.（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 .
21.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为3的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为 ．
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5.1 离心率及其范围题型全归纳
考点分布 考查频率 命题趋势
离心率 2024年新高考I卷第12题，5分 2024年甲卷第5题，5分 2023年新高考I卷第5题，5分 2023年甲卷第9题，5分 2022年甲卷第10题，5分 2022年浙江卷第16题，4分 离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．
离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一，有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现。
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.故选：C.
2．（2024·新高考I卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.故答案为：
3．（2023·新高考I卷）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【详解】方法一：依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，故，
所以在中，，整理得，故.
方法二:依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.故答案为：.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A
5．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】[方法一]：设而不求 设，则
则由得：，
由，得，所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，
由椭圆第三定义得：，故 所以椭圆的离心率，故选A.
6．（2023·全国甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，所以．故选：．
7．（多选题）（2022·全国乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，
设过的切线与圆相切于点，则，，又，
所以，过点作于点，所以，又为的中点，
所以，，因为，，所以，
所以，则，
所以，由双曲线的定义可知，
所以，可得，即，所以的离心率．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为，连接，则，，
过作于，则，因为，所以，，
，即，
所以，正确．故选：．
8．（2022·浙江卷）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】．
【解析】（法一）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
由于，且，则点在渐近线上，不妨设，
设直线的倾斜角为，则，则，即，则，
，又，则，
又，则，则，
点的坐标为，，即，．
（法二）由，解得，又，所以点的纵坐标为，
代入方程中，解得，所以，代入双曲线方程中，可得，
所以．故答案为：．
9．（2021·全国甲卷）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，，则根据题意及余弦定理可得：
，解得，所求离心率为．故选：．
10．（2021·天津卷）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
【答案】
【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为，由题意可得：，渐近线的方程为：，
可得，，，，所以，，
由，解得：，即，所以双曲线的离心率．故选：．
高频考点一 利用定义法求离心率（第一定义）
核心知识：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！
（1）椭圆的两焦点分别为,是椭圆上任意一点,则：；
（2）双曲线的两焦点分别为,是双曲线上任意一点,则: 。
典例1：（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线右焦点为，连接，
由题意可知关于原点对称，所以，
所以是直角，由，可设，则，即
由双曲线的定义可知：，，则，，
由是直角得：， 则，解得：，
又由是直角得：，则，
解得：，所以离心率故选：B.
变式训练
1.（2024·河南洛阳·模拟预测）已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，显然点不在x轴上，，
则，
由余弦定理得，
因此，而，
于是，整理得，则，所以的离心率为.故选：C
2.（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为
【答案】/0.5
【解析】由题意知，
所以，即，
又，即，所以，故答案为：
3.（2024·高三·湖南·开学考试）已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设为双曲线的右焦点，由余弦定理可得，所以，
由双曲线的定义可得，即，故双曲线的离心率.
故选：D.
高频考点2 利用定义法求离心率（第二、三定义）
核心知识：
椭圆的方程为（a＞b＞0）：
过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有。
双曲线的方程为（a＞0，b＞0）：
过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有。
典例1：（2024·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】设点，，，则且，
两式相减，得，所以，
因为，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，即，因为焦点到渐近线的距离为，
所以，可得，又因为，所以，所以双曲线的离心率.故答案为：
变式训练：
1.已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】，，即①，又②．
由①②解得：，，又在焦点三角形中：，
即：，即，解得：，
又，，故选：D．
2.（2024·山东·高三校联考开学考试）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，易知，
则，，
又，所以.故选：C
高频考点3 数形结合求离心率
核心知识：
典例1：（2024·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由，有，
可得，可得，有.在Rt中，由，
不妨设，则，由勾股定理得，
又由双曲线的定义可得，，
根据可得，解得，所以，
在Rt中，，可得，
故双曲线的离心率为.故选：B.
变式训练：
1.（2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接，
因为切圆于，则，有，
因为，则有，，
而为的中点，于是，即，，
在中，，整理得，所以双曲线E的离心率.
故选：C
2．（2024·湖北·联考模拟预测）设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在椭圆C上满足．的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知，则_______．
【答案】
【详解】由点A在椭圆C上，且，设点，且，，
则
，同理，
设角平分线交x轴于，根据角平分线的性质，可知
，，
，解得，，得．
可得直线．进而可得，
由，可得，设中点为M，则．，
点差法的结论，证明如下：设，，，为中点，
故，两式作差得，，
又由，，可整理得，，
最后化简得，，进而得到，，得．
因为，所以，联立，解得，
所以，故，解得．故答案为：．
高频考点4 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
核心知识：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：，根据范围求解值域．
双曲线：，根据范围求解值域．
典例1：（2024·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，
则，所以，
在中，由，得，
所以，所以，
因为，所以，所以，所以.选：B.
变式训练：
1.（2024·广东高三期中）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，．则四边形为矩形．
因此．．所以，．
．，
，，，
其中，
．．故选：A．
2.（2024·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，可知四边形为矩形，从而可知，且，由，可得，，结合，可得，根据，求出范围即可.如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形，所以，，
由，可得，，
，即，∵，，
，，.故选：A.
高频考点5 焦点三角形顶角范围与离心率
核心知识：是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）。
典例1：（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知 ，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若椭圆C上存在点，使得，即以为直径的圆与椭圆有交点，设， ，解得，即，，
又，故.故选：B.
变式训练：
1.（2024·江西抚州·高三统考期末）设是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点,使,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，设P，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．
在△中，由余弦定理得，
解得．∵，∴0≤＜a2，即．且
∴．故椭圆离心率的取范围是 e∈
2.（2024·高三课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．
∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，
∴ 中，，∴，∴，∴，∴，
∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．
高频考点6 共焦点的椭圆与双曲线问题
核心知识：，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
典例1：（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，
是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，
，即，，且，，
，，解得：．
在双曲线中，，；
在椭圆中，，；；
，，则，，
可得：，的取值范围为.故选：B.
变式训练：
1.（2024·北京·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．
因为，所以，
即．∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．故选：A．
2.（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于 ．
【答案】
【解析】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，
为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图，
由椭圆和双曲线定义与对称性知，，
四边形为平行四边形，，
，而，则，因此，
即，于是有，则，，
所以，
当且仅当，时取等号．故答案为：
3.（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则的最小值为
C．过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线 D．两个曲线在P点处的切线互相垂直
【答案】ABD
【解析】A选项，因为，所以，
又，故，则⊥，
由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，
由勾股定理得，即，化简得，即，
又，所以，A正确；
B选项，若，由余弦定理得，
即，由（1）得，
代入上式得，即，即，
因为又，所以，由基本不等式得，即，
解得，当且仅当时，等号成立，则的最小值为，B正确；
C选项，过作直线的垂线，垂足为H，延长交于点，
因为平分，由三线合一得，为的中点，
则，连接，由中位线性质得，
故点H的轨迹是以为圆心，为半径的圆，C错误；
D选项，下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：，
所以，把代入，得：，
于是，则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，其中，故，即，
当时，此时或，当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
下面证明：上一点的切线方程为，
理由如下：设过点的切线方程为，与联立得，
，
由化简得，
因为，代入上式得，
整理得，同除以得，，
即，因为，，
所以，联立，两式相乘得，，
从而，故，
即，令，则，即，
解得，即，故椭圆：在点处的切线斜率为，
双曲线在点处的切线斜率为，
又，故，化简得，
又，所以，故则斜率乘积为，
故两曲线在点处的切线互相垂直，D正确.故选：ABD
高频考点7 基本不等式法求离心率范围
核心知识：熟练掌握基本不等式即可。
典例1：（2024·山西运城·高三期末）已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
【答案】
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，
∴当且仅当取等号，∵直线l上存在点P满足∴即，
∴，即，所以，故椭圆离心率的最大值为.故答案为：.
变式训练：
1.设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：B
2.设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可设直线，的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性不妨设为第一象限的点，即，则，，因为，
所以
，所以，则，解得，选：A.
高频考点8 中点弦求离心率（点差法）
核心知识：见到弦中点问题，马上想到点差法。
典例1：（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为 ．
【答案】/
【解析】，设，因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为，
所以，则，
由直线l与C相交于A，B两点，得，两式相减得，
即，所以，
即，所以，
则，所以，
所以离心率.故答案为：.
变式训练：
1.已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，由题意可知直线的方程为，
线段的中点是直线与直线的交点，联立，解得，所以，
另一方面，联立，得.
易知，由韦达定理得，解得，
所以，故离心率，故D正确.故选：D.
2.（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
则，两式相减可得，，即，
即，，故.故选：B
高频考点9 四心与离心率
核心知识：三角形的重心：三角形三条中线的交点。
（1）G是的重心；重心坐标；
（2）G为的重心，P为平面上任意点，则；
（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；
三角形的内心：三角形三条角平分线的交点。
重要结论：I是的内心 (其中a、b、c为的三条边)；
三角形内切圆的半径求法：
（1）任意三角形：（其中为三角形ABC 的周长，为三角形ABC 的面积）；
（2）直角三角形：（其中a，b为直角边，c为斜边）
三角形的垂心：三角形三条高线的交点
（1）H是的垂心。
（2）垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍。
三角形的外心：三角形三条垂直平分线的交点
(1)若O是的外心(或)；
(2)若点O是的外心，则=0.
(3)若O是的外心，则;
(4)多心组合：的外心、重心、垂心共线，即∥
典例1：（2024·湖北·模拟预测）斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 .
【答案】2
【解析】不妨取的中点.因为的重心为，且在中线上，
所以.由中点弦结论知，，
，，因为，所以，，
又由，可得的外心为的中点，于是由中点弦结论知，又，
所以，即.由得，，解得，
所以双曲线的离心率.故答案为：2.
变式训练：
1.（2024·福建龙岩·一模）斜率为的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是的重心，点是的外心.记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】取的中点，依题意，点是中点，点分别在上，
设，由两式相减得，
直线斜率，直线斜率，则，
直线的斜率分别为，同理，又，
因此，解得，
所以椭圆的离心率.故答案为：
2.已知点，分别为双曲线的左，右焦点，点，在的右支上，且点恰好为的外心，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图，连接，∵点恰好为的外心，∴，
由，得，同理，
又，∴，∴△是等边三角形，
∴，∴，解得．故答案为：
高频考点10 平面截圆锥（林丹球）问题
典例1：“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】设，由于，所以，在等边三角形中，
点为的中点，于是，在平面中，由椭圆的对称性可知，
，连接，延长与交于点，
由于为中点，所以在中，，
由勾股定理可得，
在中，，，，由余弦定理可得
，
在中，由于，所以，于是有，
设椭圆短轴的两个顶点为，连接分别交圆锥于，
由于，所以，由于为圆锥母线，所以，
从而有，在中，由勾股定理可得，所以在椭圆中，，，
则，则离心率为.故答案为：.
变式训练：
1.（2024·江西南昌·一模）用平面截圆锥面，可以截出椭圆 双曲线 抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切，切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点，因此有，而是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为，球的半径为4，平面与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为 .
【答案】/
【解析】如图，是圆锥与球的切点，是球心，P是截口上任一点，
连接，则，所以，，
所以是矩形， 连接，则，
因为圆锥的母线与轴夹角的正切值为，即，所以，
根据对称性得 ,所以，故两圆的公切线长为6
连接，PA，OP，设OP与球的切线交于K，与球的切线交于H，则，
所以 ，得，在中，，
所以，得 曲线的离心率为故答案为：
2.（2024·河北·模拟预测）数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面 截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为 ．

【答案】
【解析】令两个球分别与截面相切于点，在截口曲线上任取一点，过点作圆锥的母线，
分别与两个球相切于，均为球的切线，则，同理，
因此，由切点的产生方式知，长为定值，
于是截口曲线上任意点到定点的距离和为定值，该曲线是以点为焦点的椭圆，
作出几何体的轴截面，如图，设，依题意，，
则，椭圆的长轴长，半焦距为c，
则，因此，所以离心率.故答案为：
1.（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线的左 右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设，因为为等边三角形，则，，
又，所以双曲线的离心率.故选：A
2.（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，，延长交于A，
由题意知，O为的中点，故为中点，又，即，则，
又由，则是等腰直角三角形，故有，化简得，即，
代入得，即，由所以，
所以，.故选：C.
3.（2024·四川达州·二模）双曲线的左、右顶点分别为为上一点，若直线与直线斜率之积为2，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意得，设，可得，即，
又直线与直线斜率之积为2，得，
则离心率.故选：.
4.（2024·广东茂名·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线经过原点，设，，.
.
又，，两式相减，得.
，.离心率为.故选：B.
5.（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，
因为，所以四边形为矩形，所以，
因为，，，
所以，所以 ，
∵，∴，，∴，故选：C
6.（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为，所以，所以，所以，故选：C．
7.（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【解析】设，由余弦定理得，即；
在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此，
在双曲线中，等于双曲线的实轴长，因此，
则．
所以，
当且仅当时等号成立故选：A
8．（2025·江西赣州·高三校考阶段练习）已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由椭圆的对称性知：，而，又，即四边形为矩形，所以，则且M在第一象限，整理得，
所以，又即，
综上，，整理得，所以.故选：D.
9．（2024·四川凉山·高三校考阶段练习）已知，分别是椭圆的左 右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，而，
则有，由椭圆定义知：，
当且仅当，即时取“=”，于是有，则，又，即有，
所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：A
10.（2024·湖北·高三开学考试）已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.
11.（多选题）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（ ）
A．面积为 B．若，则
C．若，则的取值范围为 D．若，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】设，，，，不妨设M在第一象限．
∴，，∴，，．
.
对于A，在中，由余弦定理可得，
，，A正确．
对于B，在中，由余弦定理可得，
即，
∴．∴
∴，∴．B正确；
对于C，当时，
即，所以，所以．∵，
∴．设，∴，所以．C错误；
对于D，，记，
∴，即．D正确；故选：ABD.
12.双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率 ．
【答案】
【解析】设，，.
由于，故的外心就是线段的中点，即.
而三角形重心的坐标就是三个顶点的平均值，故，.
所以.
而都在上，，故，.
这就得到.
而的斜率为，故，所以.
由又可以得到，，.
从而，，.
故，所以.
这就得到，所以离心率.故答案为：.
13.已知双曲线：虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 .
【答案】
【解析】如图，设的垂心为，则有,不妨设,则，
因为在渐近线上，所以，直线与交于，两点，
所以，解得，所以
又因为,所以，
整理得，，所以，故答案为: .
14.（2024·河南新乡·三模）已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为 .
【答案】
【解析】设的垂心为，则，不妨设，则，代入渐近线方程，得，
则，因为直线与双曲线交于点，，则，两点的坐标分别为：，，
因为，化简可得，所以双曲线的离心率为，
故答案为：．
15.（2024·广东广州·一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 .
【答案】
【解析】设，由，解得，
所以，所以，
设直线与圆锥的母线相交于点， 圆锥的母线与球相切于两点，如图所示，
则，两式相加得，即，
过作，垂直为，则四边形为矩形，所以，，
所以椭圆的离心率为.故答案为：
16.（2024·江苏·三模）已知过坐标原点且异于坐标轴的直线交椭圆于两点，过的中点作轴的垂线，垂足为，直线交椭圆于另一点，直线的斜率分别为，则 ；若，则的离心率为 .
【答案】
【解析】设，则，
设，则，则，
故，结合，可得故答案为：，
17.（2024·四川泸州·高三校考阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 .
【答案】
【解析】因为，所以是的中点，又为的中点，
所以，因为，所以，所以，
设，则，，且在双曲线上，
则，即，又，即，所以.答案为：.
18.（2024·内蒙古赤峰·高三校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】由双曲线的对称性得，由，得，
不妨设点在的右支上，且，在中，由双曲线定义知，
由勾股定理得，则，
且又，，所以，
则在中，由，得，化简得，
即，所以，所以，化简得.
所以的离心率为.故答案为：.
19.（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是C上位于第一象限内的一点，且直线轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【解析】设的内切圆在边的切点分别为，如图：
则得，又，则，得，
又，得，所以双曲线的离心率为，故答案为：
20．（2024·江西·统考二模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为和，球心距离,截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．
【答案】
【详解】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与，连接,则，，过作垂直于，连接， 交于点C
设圆锥母线与轴的夹角为 ，截面与轴的夹角为.
在中， ，
解得
即 则椭圆的离心率
21.（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】设椭圆与双曲线的焦距，，由题意可得：，，
，，，，
，，.
，，设，则，
，.故答案为：.
21.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，，于是．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为3的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/0.75
【解析】依题意，作截面，如图所示，
圆是内切圆，圆切于，切于，，圆半径即球半径为，
所以，，
则在中，，所以，
故在中，，所以，即，
根据椭圆在圆锥中的截面与二面球相切的切点为椭圆的焦点可知：为椭圆的一个焦点，
又因为，所以，故，所以该椭圆的离心率为.故答案为：.
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