资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
6.1 排列组合与二项式定理常考小题
考点分布 考查频率 命题趋势
二项式定理 2024年天津卷第11题，5分 2024年甲卷第13题，5分 2023年北京卷第5题，4分 2023年天津卷第11题，5分 2022年I卷第13题，5分 预测2025年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养；（2）热点是利用二项式定理求系数和问题以及利用排列组合解决生活问题。
排列组合 2024年II卷第14题，5分 2023年乙卷第7题，5分 2023年II卷第3题，5分 2023年I卷第13题，5分 2022年II卷第5题，5分
排列组合与二项式定理构成了高考数学中的一个重要考查领域，预计未来的考试形式仍将侧重于选择题或填空题。这些题目将主要测试学生对基本概念和基本方法的掌握程度，难度水平预计会保持在中等偏下，与教材内容保持一致。值得注意的是，这部分内容与日常生活紧密相连，考生可以关注一些常见的排列组合实例，例如体育比赛的赛程安排、彩票中奖规则等，以此来培养运用数学知识解决实际问题的意识和能力。
1．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
2．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
3．（2024年北京高考数学真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国I卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
5．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式，则 ， ．
6．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
7．（2024·天津·高考真题）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
8．（2024·全国Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
9．（2023·全国Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
10．（2023·全国Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
13．（2022·全国II卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
14．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
高频考点一 二项式定理之特定项、三项式问题
核心知识：
求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求，再将的值代回通项求解，注意的取值范围．
（1）第项：此时，直接代入通项；
（2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为建立方程；
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．
典例1：（2024·江苏苏州·模拟预测）的展开式中的系数为 ．
变式训练
1.（2024·陕西宝鸡·统考一模）展开式中的第四项为（ ）
A． B． C．240 D．
2.（2024·河南·高三校考二模）的展开式中，的系数为（ ）
A．200 B．40 C．120 D．80
3.（2024·广东·校联考模拟预测）在的展开式中常数项为（ ）
A．721 B．-61 C．181 D．-59
高频考点2 二项式定理之系数和问题
核心知识：赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可。
典例1：（2024·上海·三模）若，则 。
变式训练：
1.（多选题）（2024·广西·模拟预测）若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）（2024·河北·高三校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点3 二项式定理之系数最值问题
核心知识：二项式系数最大项的确定方法
（1）若是偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大；
（2）若是奇数，则中间两项（第项与第项）的二项式系数相等数最大．
典例1：（2024·海南海口·校考一模）在的展开式中，系数最大的项为 .
变式训练：
1.（2024·山东日照·高三校考一模）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为 .
2.（2024·重庆·高三校考模拟预测）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答）
高频考点4 特殊优先与正难则反策略
核心知识：（1）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形．（2）当正面解决问题的情况比较多，我们常从反面入手，这样可以减少讨论情况。
典例1：（2024·浙江·高三慈溪中学校联考）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（ ）种.
A．16 B．20 C．96 D．120
变式训练：
1.（2024·广东·高三校考模拟预测）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
2．（2024·江苏·高三校考模拟预测）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
高频考点5 相邻问题与不相邻问题
核心知识：
1、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种．
2、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．
典例1：（2024·江西九江·高三校考阶段练习）由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数，要求奇数1，3，5两两不相邻，但1和2必须相邻，这样的六位数共有 个．
变式训练：
1.（2024·江苏连云港·高三校考阶段练习）2023年11月12日，连云港市赣马高级中学高品质特色发展暨百年校庆大会隆重举行，赣马高中建校100周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、《歌伴舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
2.（2024·福建·高三校考模拟预测）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A．144种 B．204种 C．156种 D．240种
高频考点6 定序问题
核心知识：
1）当 全部元素顺序固定 时，采用以下步骤：对所有元素进行全排列，计算总排列数。
将总排列数除以固定顺序元素的全排列数（即消去重复计数）。公式 ：。
2）若 部分元素顺序可调整 ，但非完全自由排列，需进一步修正：按基本解法先除以固定顺序的全排列数。
再乘以允许交换的排列数。
3）若存在 多个独立定序组 ，需分别处理：总排列数除以各组定序元素的全排列数。
典例1：（2024·广东·高三专题练习）DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
变式训练：
1.（2024·湖南·高三专题练习）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520 B．5040 C．7560 D．10080
2.六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为（ ）
A． B． C． D．
高频考点7 多面手问题
核心知识：
定义多面手 ：明确哪些元素具备多重属性（如既能唱歌又能跳舞） 。
分类讨论 ：按多面手被分配的角色（如选为A类任务、B类任务或未被选中）划分不同情况 。
组合计算 ：对每种情况单独计算组合数，再累加结果。
典例1：（2024·河南南阳·高三校考阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法
变式训练：
1.（2024·湖北·高三统考期末）某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
2.我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选法．
A． B． C． D．
高频考点8 错位排列问题
核心知识：错位排列公式
典例1：（2024·吉林延边·高三校考期中）同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有
A．8种 B．9种 C．10种 D．12种
变式训练：
1.（2024·湖北·高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
2.（2024·广东·高三专题练习）将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
高频考点9 涂色问题
核心知识：
1）基本类型：
平面图形涂色 ：如正方形、三角形等，通常需要考虑图形的对称性、相邻区域的颜色差异等。
立体图形涂色 ：如立方体、四面体等，需要考虑面的相邻关系、对立面的颜色是否相同等因素。
路径涂色 ：如网格路径、树形结构等，需要考虑路径的连续性、节点的颜色差异等。
2）解题思路：
确定颜色数量 ：首先明确有多少种颜色可供选择。
分析图形结构 ：了解图形的形状、对称性、相邻关系等特征。
应用排列组合原理 ：根据图形的特征和颜色数量，应用排列或组合的原理来计算涂色方案。
考虑特殊情况 ：如相邻区域颜色不能相同、对立面颜色必须相同或不同等限制条件。
使用辅助工具 ：如颜色板、图形模型等，帮助直观理解涂色方案。
典例1：（2024·广西南宁·校考模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）

A． B． C． D．
变式训练：
1.（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2.（2024·浙江·高三专题练习）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．360 C．480 D．600
高频考点10 分组与分配问题
核心知识：
1. 均匀分组 :若每组元素数量相同，需 消除组间顺序影响 ，总方法数为组合数除以组数的阶乘。
2. 部分均匀分组 ：若存在多组元素数量相同，仅需对相同数量的组消序。
3. 不等分组 ：各组元素数量均不同，直接按组合数分步选取。
4. 定向分配 ：将元素按指定数量分配给不同对象，需先分组后排列。 公式 ：分组数 × 组数的全排列。
5. 不定向分配 ：仅要求分组，不指定对象，直接按分组问题处理。
6. 限制条件分配 ：结合排除法或分类讨论处理特殊限制。
典例1：（2024·重庆·校考一模）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．50 B．36 C．26 D．14
变式训练：
1.（2024·江苏盐城·高三校联考阶段练习）将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（ ）
A．24 B．36 C．60 D．96
2.（2024·山西忻州·高三校联考阶段练习）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（ ）
A．54种 B．45种 C．36种 D．18种
高频考点11 隔板法
核心知识：
隔板法主要用于 相同元素的分组或分配 问题，核心是将元素通过插入隔板的方式划分到不同组中。
公式 ：将n个相同元素分给m个不同对象， 每个对象至少1个 时，方法数为组合数（即在n 1个空隙中插入m 1个隔板）。
典例1：（2024·河北衡水·统考模拟预测）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲 乙 丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）
A．720种 B．420种 C．120种 D．15种
变式训练：
1.（2024·湖南长沙·高三校考阶段练习）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（ ）
A．16 B．18 C．27 D．28
2.（2024·浙江·高三专题练习）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种
高频考点12 环排与多排问题
典例1：已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1.甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
2.一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
高频考点13 配对问题
核心知识：
典例1：（2024·重庆·高三阶段练习）鞋柜里有4双不同的鞋，从中随机取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1.（2024·浙江·模拟预测）新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为（ ）
A． B． C． D．
1.（2024·上海·校考一模）若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·湖北·统考一模）的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·北京·高三校考模拟预测）在学校运动会期间，学校安排甲、乙、丙、丁四名体育教师到三个比赛场地做比赛安全指导工作，且每个场地至少安排一人，则甲不安排在C场地，乙安排在A场地的不同安排方法种数为（ ）
A． B．10 C．12 D．24
4.（2024·重庆·高三校考模拟预测）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ）
A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种
5.（2024·成都·高三校考一模）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（ ）
A．432 B．864 C．1728 D．2592
6.（2024·广东·高三校考模拟预测）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240种 B．188种 C．144种 D．120种
7.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（ ）种.
A．10 B．20 C．60 D．120
8.已知，则满足的有序数组共有（ ）个
A． B． C． D．
9.某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
10.（2024·湖北·高三期末）如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给、、、这个三角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（ ）

A． B． C． D．
11.已知正四棱锥，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．420 C．336 D．120
12.如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
13.小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
14.把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
15. A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
16.现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
17.（2024·浙江·高三校考模拟预测）（多选题）已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
18.（2024·浙江·高三校考模拟预测）（多选题）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·福建福州·三模）的展开式中常数项为 ．
20．（2024·河南·三模）若的展开式中存在常数项，则的值可以是 （写出一个值即可）
21．（2024·上海·模拟预测）设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到 .
22.（2024·福建·高三校考模拟预测）在的二项展开式中，系数最小的项为 .
23．（2024·河北·高三校考模拟预测）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ．
24.某宾馆安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且甲和乙住同一个房间，则共有 种不同的安排方法．（用数字作答）
25.为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请、、、、五位党的二十大代表分别到一中、五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中、因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有 种.
26.将分别标有号码的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有 种.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
6.1 排列组合与二项式定理常考小题
考点分布 考查频率 命题趋势
二项式定理 2024年天津卷第11题，5分 2024年甲卷第13题，5分 2023年北京卷第5题，4分 2023年天津卷第11题，5分 2022年I卷第13题，5分 预测2025年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养；（2）热点是利用二项式定理求系数和问题以及利用排列组合解决生活问题。
排列组合 2024年II卷第14题，5分 2023年乙卷第7题，5分 2023年II卷第3题，5分 2023年I卷第13题，5分 2022年II卷第5题，5分
排列组合与二项式定理构成了高考数学中的一个重要考查领域，预计未来的考试形式仍将侧重于选择题或填空题。这些题目将主要测试学生对基本概念和基本方法的掌握程度，难度水平预计会保持在中等偏下，与教材内容保持一致。值得注意的是，这部分内容与日常生活紧密相连，考生可以关注一些常见的排列组合实例，例如体育比赛的赛程安排、彩票中奖规则等，以此来培养运用数学知识解决实际问题的意识和能力。
1．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【答案】5
【详解】由题展开式通项公式为，且，
设展开式中第项系数最大，则，，即，又，故，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.故答案为：5.
2．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ．
【答案】20
【详解】因为的展开式的通项为，
令，可得，所以常数项为.故答案为：20.
3．（2024年北京高考数学真题）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的二项展开式为，
令，解得，故所求即为.故选：A.
4．（2022·全国I卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28故答案为：-28
5．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式，则 ， ．
【答案】
【解析】含的项为：，故；
令，即，令，即，∴，故答案为：；．
6．（2024·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
【答案】
【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：，
，故有16种，
当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.故答案为：
7．（2024·天津·高考真题）五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
【答案】
【详解】解法一：列举法 从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到有6种可能性：，则甲选到得概率为：；
乙选活动有6种可能性：，
其中再选则有3种可能性：，故乙选了活动，他再选择活动的概率为.
解法二：设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，则甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：；
8．（2024·全国Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.故答案为：24；112
9．（2023·全国Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.
10．（2023·全国Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.故答案为：64.
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.故选：B.
12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【解析】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，故选：C.
13．（2022·全国II卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B
14．（2022·全国·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.故选：D.
高频考点一 二项式定理之特定项、三项式问题
核心知识：
求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求，再将的值代回通项求解，注意的取值范围．
（1）第项：此时，直接代入通项；
（2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为建立方程；
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．
典例1：（2024·江苏苏州·模拟预测）的展开式中的系数为 ．
【答案】14
【分析】根据二项式定理的通项公式，即可求解．
【详解】因为的展开式通项公式为，
其中，
故二项式的展开式中的系数为：．
故答案为：.
变式训练
1.（2024·陕西宝鸡·统考一模）展开式中的第四项为（ ）
A． B． C．240 D．
【答案】B
【解析】展开式的通项公式为，
所以,故选：B
2.（2024·河南·高三校考二模）的展开式中，的系数为（ ）
A．200 B．40 C．120 D．80
【答案】B
【解析】，而展开式的通项为，
所以当时，的系数为，
当时，的系数为，所以的系数为，故选：B
3.（2024·广东·校联考模拟预测）在的展开式中常数项为（ ）
A．721 B．-61 C．181 D．-59
【答案】D
【解析】=的展开式的通项公式为=，其中的展开式的通项公式为，
当时，，，常数项为；
当时，，，常数项为；
当时，，，常数项为；
故常数项为++.选：D
高频考点2 二项式定理之系数和问题
核心知识：赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可。
典例1：（2024·上海·三模）若，则 。
【答案】
【详解】根据的展开式，，1，2，，；
当时，；当时，，
令时，，所以，
故．故答案为：．
变式训练：
1.（多选题）（2024·广西·模拟预测）若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A：令，则，故A错误；
对于B：令，则，故B正确；
对于C：令，则，故C正确；
对于D，由，
两边同时求导得，
令，则，故D错误.故选：BC.
2.（多选题）（2024·河北·高三校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】依题意得，所以945，故A项正确；
令，得，令，得，所以，故B项错误；
令，得①，又②，
由①+②可得，故C项正确；
同理，由②-①得，故D项错误.故选：AC.
高频考点3 二项式定理之系数最值问题
核心知识：二项式系数最大项的确定方法
（1）若是偶数，则中间一项（第项）的二项式系数最大；
（2）若是奇数，则中间两项（第项与第项）的二项式系数相等数最大．
典例1：（2024·海南海口·校考一模）在的展开式中，系数最大的项为 .
【答案】
【解析】因为的通项为，的通项为，
∵展开式系数最大的项为，展开式系数最大的项为，
∴在的展开式中，系数最大的项为.故答案为：.
变式训练：
1.（2024·山东日照·高三校考一模）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为 .
【答案】1792
【解析】由得，所以的展开式的通项为，
当展开式的项的系数最大时，为偶数，
比较，，，，，
所以当时，展开式中项的系数最大，该项系数为1792.故答案为：1792.
2.（2024·重庆·高三校考模拟预测）若展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答）
【答案】28
【解析】因为展开式的所有项的二项式系数和为，解得，
则展开式为，
可得第项的系数为，令，即，解得，
所以展开式中第项系数最大，其二项式系数为.故答案为：28.
高频考点4 特殊优先与正难则反策略
核心知识：（1）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形．（2）当正面解决问题的情况比较多，我们常从反面入手，这样可以减少讨论情况。
典例1：（2024·浙江·高三慈溪中学校联考）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（ ）种.
A．16 B．20 C．96 D．120
【答案】C
【解析】若选一男两女共有：；若选两男一女共有：；因此共有96种，故选：C
变式训练：
1.（2024·广东·高三校考模拟预测）在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
【答案】B
【解析】先排，两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，
则在第2，3，4道程序中选两个放，，共有种安排方法；
再排剩余的3道程序，共有种安排方法，所以一共有种不同的顺序安排方法.故选：B.
2．（2024·江苏·高三校考模拟预测）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种，
再将余下人，安排到与下的三个项目，由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，
故满足条件的报名方法有,所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，再安排余下三人，有种方法，所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种，
所以满足条件的不同的报名方法共有种方法.故选：C.
高频考点5 相邻问题与不相邻问题
核心知识：
1、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有种．
2、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将个不同元素排成一排，其中某个元素互不相邻（），求不同排法种数的方法是：先将（）个元素排成一排，共有种排法；然后把个元素插入个空隙中，共有种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有·种．
典例1：（2024·江西九江·高三校考阶段练习）由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数，要求奇数1，3，5两两不相邻，但1和2必须相邻，这样的六位数共有 个．
【答案】72
【解析】根据题意1和2必须相邻，将“12”或“21”看成一个整体与4、6全排列，
排好后，要求奇数1，3，5两两不相邻，则有3个空位可选，再将“3”和“5”插入到3个空位中，
所以有种，即满足条件的六位数共有72种，故答案为：72
变式训练：
1.（2024·江苏连云港·高三校考阶段练习）2023年11月12日，连云港市赣马高级中学高品质特色发展暨百年校庆大会隆重举行，赣马高中建校100周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、《歌伴舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
【答案】
【解析】由于《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为种.故答案为：
2.（2024·福建·高三校考模拟预测）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A．144种 B．204种 C．156种 D．240种
【答案】C
【解析】第一步，唐胜杰、江新林2人相邻，有种排法；
第二步，分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论
第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法；
第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法，
故总共有种排法. 故选：C.
高频考点6 定序问题
核心知识：
1）当 全部元素顺序固定 时，采用以下步骤：对所有元素进行全排列，计算总排列数。
将总排列数除以固定顺序元素的全排列数（即消去重复计数）。公式 ：。
2）若 部分元素顺序可调整 ，但非完全自由排列，需进一步修正：按基本解法先除以固定顺序的全排列数。
再乘以允许交换的排列数。
3）若存在 多个独立定序组 ，需分别处理：总排列数除以各组定序元素的全排列数。
典例1：（2024·广东·高三专题练习）DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
【答案】C
【解析】依题意可知，不同的插入方式的种数为.故选：C
变式训练：
1.（2024·湖南·高三专题练习）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520 B．5040 C．7560 D．10080
【答案】A
【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，
因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
故一共有种，故选：A
2.六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨假设六位爸爸已经站好了位置，不同站位方法数为，
小孩找到各自的爸爸，则其为定序问题，不同站位方法数为
所以不需要插队的概率.故选：B
高频考点7 多面手问题
核心知识：
定义多面手 ：明确哪些元素具备多重属性（如既能唱歌又能跳舞） 。
分类讨论 ：按多面手被分配的角色（如选为A类任务、B类任务或未被选中）划分不同情况 。
组合计算 ：对每种情况单独计算组合数，再累加结果。
典例1：（2024·河南南阳·高三校考阶段练习）我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有______种不同的选法
【答案】216
【解析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.
第一类：2个只会跳舞的都不选，有种;
第二类：2个只会跳舞的有1人入选，有种;
第三类：2个只会跳舞的全入选，有种,
所以共有216种不同的选法, 故答案为：216.
变式训练：
1.（2024·湖北·高三统考期末）某龙舟队有8名队员，其中3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．26种 B．30种 C．37种 D．42种
【答案】C
【解析】根据题意，设只会划左桨的3人，只会划右桨的3人，既会划左桨又会划右桨的2人，据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法，
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法，
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法；故选：C．
2.我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选法．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可按照只会跳舞的人中入选的人数分类处理．
第一类个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择3人唱歌，故有种；
第二类个只会跳舞的有人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有种，再从剩余的6人中选择3人唱歌，有种，故有种；
第三类个只会跳舞的全入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有种，再从剩余的7人中选择3人唱歌，有种，有种，
所以共有种不同的选法，故选：A．
高频考点8 错位排列问题
核心知识：错位排列公式
典例1：（2024·吉林延边·高三校考期中）同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有
A．8种 B．9种 C．10种 D．12种
【答案】B
【解析】设四人分别为a，b，c，d，写的卡片分别为A，B，C，D， 由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种分配， 不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种分配， 所以共有3×3×1×1=9种分配方式
变式训练：
1.（2024·湖北·高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
【答案】B
【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，
另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，所以不同的坐法有种.故选：B
2.（2024·广东·高三专题练习）将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，分以下两步进行：
（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；
（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里，
对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子.
则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，对于编号为、的小球，只有种放法.
综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.故选：B.
高频考点9 涂色问题
核心知识：
1）基本类型：
平面图形涂色 ：如正方形、三角形等，通常需要考虑图形的对称性、相邻区域的颜色差异等。
立体图形涂色 ：如立方体、四面体等，需要考虑面的相邻关系、对立面的颜色是否相同等因素。
路径涂色 ：如网格路径、树形结构等，需要考虑路径的连续性、节点的颜色差异等。
2）解题思路：
确定颜色数量 ：首先明确有多少种颜色可供选择。
分析图形结构 ：了解图形的形状、对称性、相邻关系等特征。
应用排列组合原理 ：根据图形的特征和颜色数量，应用排列或组合的原理来计算涂色方案。
考虑特殊情况 ：如相邻区域颜色不能相同、对立面颜色必须相同或不同等限制条件。
使用辅助工具 ：如颜色板、图形模型等，帮助直观理解涂色方案。
典例1：（2024·广西南宁·校考模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），
不妨设四种颜色分别为、、、，
先填涂区域“火”，有种选择，不妨设区域“火”填涂的颜色为，
接下来填涂区域“土”，有种选择，分别为、、，
若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、；
若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、；
若区域“土”填涂的颜色为，则区域“金”填涂的颜色分别为、、.
综上所述，区域“金”填涂、、、的方案种数分别为、、、种，
接下来考虑区域“水”的填涂方案：
若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、；
若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、；
若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、；
若区域“金”填涂的颜色为，则区域“水”填涂的颜色可为、、.
则区域“水”填涂的方案种数为种，填涂的方案种数为种，
填涂的方案种数为种，填涂的方案种数为种.
从区域“火”、“土”、“金”填涂至区域“水”，填涂区域“水”的方案还和填涂区域“木”有关，
当区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、、；
若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、；
若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、；
若区域“水”填涂的颜色为时，区域“木”填涂的颜色可为、.
所以，当区域“火”填涂颜色时，填涂方案种数为种.
因此，不同的涂色方法种数有种.故选：D.
变式训练：
1.（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．
先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；
当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，
故不同的涂色方案有种．故选：B．
2.（2024·浙江·高三专题练习）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．360 C．480 D．600
【答案】C
【解析】将区域标号，如下图所示：
因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法.故选：C.
高频考点10 分组与分配问题
核心知识：
1. 均匀分组 :若每组元素数量相同，需 消除组间顺序影响 ，总方法数为组合数除以组数的阶乘。
2. 部分均匀分组 ：若存在多组元素数量相同，仅需对相同数量的组消序。
3. 不等分组 ：各组元素数量均不同，直接按组合数分步选取。
4. 定向分配 ：将元素按指定数量分配给不同对象，需先分组后排列。 公式 ：分组数 × 组数的全排列。
5. 不定向分配 ：仅要求分组，不指定对象，直接按分组问题处理。
6. 限制条件分配 ：结合排除法或分类讨论处理特殊限制。
典例1：（2024·重庆·校考一模）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ）
A．50 B．36 C．26 D．14
【答案】A
【解析】（1）按照分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
（2）按照分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
故共有种，故选：A.
变式训练：
1.（2024·江苏盐城·高三校联考阶段练习）将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（ ）
A．24 B．36 C．60 D．96
【答案】C
【解析】分两种情形：①社区只有甲，则另4人在3个社区，此时有；
②社区还有另一个志愿者，此时有，
，甲恰好被安排在 A 社区有60种不同安排方法.故选：C.
2.（2024·山西忻州·高三校联考阶段练习）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（ ）
A．54种 B．45种 C．36种 D．18种
【答案】A
【解析】从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆一共有种选派方法，
若游泳馆没有党员，篮球馆有党员，则有种，
同理游泳馆有党员，篮球馆没有党员，则有种，
故从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有，故选：A
高频考点11 隔板法
核心知识：
隔板法主要用于 相同元素的分组或分配 问题，核心是将元素通过插入隔板的方式划分到不同组中。
公式 ：将n个相同元素分给m个不同对象， 每个对象至少1个 时，方法数为组合数（即在n 1个空隙中插入m 1个隔板）。
典例1：（2024·河北衡水·统考模拟预测）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲 乙 丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ）
A．720种 B．420种 C．120种 D．15种
【答案】D
【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，
再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15，故选: D
变式训练：
1.（2024·湖南长沙·高三校考阶段练习）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（ ）
A．16 B．18 C．27 D．28
【答案】B
【解析】“每校至少一个名额的分法”的方法数是至少有两个学校的名额数相同”的分配方法数可以从反面入手去求，即先求出“出现相同名额”的分配方法数，第一种情形是两个学校名额数相同：有三种情形，共有9种分法；第二种情形是三个学校名额数均相同，有1种分法，所以至少有两个学校的名额数相同”的分配为种.所以，满足条件的分配方法共有种.选：B
2.（2024·浙江·高三专题练习）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种
【答案】D
【解析】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法.
故选：D.
高频考点12 环排与多排问题
典例1：已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有种，那么这位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因站成一排时甲在乙左与甲在乙右的站法数相同，而m位同学站成一排有，则，解得，
甲、乙、丙三位同学围成一个圆，“甲乙丙”、“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一排列，
其中每一个排列可以拆成以任意一个人为排首的直线排列3个，3人围成一个圆的排列数为，
由此可得n个人围成一个圆的排列数为，5位同学围成一个圆的排列数为.
故选：A
变式训练：
1.甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
【答案】D
【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法，由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有 种排法.
甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法，
又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为种.故选：D
2.一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【答案】B
【解析】将老人位置固定，夫妻两人在老人左右，此时有种站法，
将三个孩子插入两两大人之间的空隙中，有种站法，故总的站法有.故选：B
高频考点13 配对问题
核心知识：
典例1：（2024·重庆·高三阶段练习）鞋柜里有4双不同的鞋，从中随机取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】鞋柜里有4双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，基本事件总数n＝＝16，
恰好成双包含的基本事件个数m＝＝4，∴恰好成双的概率为p＝．故选A．
变式训练：
1.（2024·浙江·模拟预测）新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】5个快递送到5个地方有种方法，全送错的方法数：
先分步：第一步快递送错有4种方法，第二步考虑所送位置对应的快递，假设送到丙地，第二步考虑快递，对分类，第一类送到甲地，则剩下要均送错有2种可能（丁戊乙，戊乙丁），第二类送到乙丁戊中的一个地方，有3种可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送错有3种可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴总的方法数为，所求概率为．
故选：C．
2.（2024·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意：可以先选出左脚的一只有种选法，然后从剩下的两双的右脚中选出一只有种选法，所以一共有种不同的取法；又因为柜子里有不同的鞋，随机选出两只，一共有种选法，所以概率为，故选B．
1.（2024·上海·校考一模）若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得的展开式为，
的展开式为，要使的展开式中存在常数项，
则或， 所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5.故选：C.
2.（2024·湖北·统考一模）的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为.
的二项展开式的通项公式为.而，所以的系数为为. 故选：C.
3.（2024·北京·高三校考模拟预测）在学校运动会期间，学校安排甲、乙、丙、丁四名体育教师到三个比赛场地做比赛安全指导工作，且每个场地至少安排一人，则甲不安排在C场地，乙安排在A场地的不同安排方法种数为（ ）
A． B．10 C．12 D．24
【答案】A
【解析】因为甲不安排在C场地，乙安排在A场地，所以甲有两种安排方案：
若甲安排在场地，此时乙也在场地，剩下丙，丁两人安排去场地，则有种不同的安排方法；
若甲安排在B场地，此时乙在场地，若场地安排两人，则有种安排方法；
若场地安排一人，从丙丁中选一人，有种安排方法，另外一人去场地，有种安排方法，
由分步乘法计数原理可得，有种安排方法；
由分类加法计数原理可知，共有（种）不同的安排方法．故选：A．
4.（2024·重庆·高三校考模拟预测）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ）
A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种
【答案】D
【解析】采取对丙和甲进行捆绑的方法：
如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种，
如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种，
若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种．
则不同的安排方案共有(种)．故选：D．
5.（2024·成都·高三校考一模）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（ ）
A．432 B．864 C．1728 D．2592
【答案】C
【解析】甲队，先用捆绑法，将与捆绑有种，将与看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共为种；乙队，利用插空法得种；
按照计数原理可知，一共种.故选：C
6.（2024·广东·高三校考模拟预测）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240种 B．188种 C．144种 D．120种
【答案】D
【解析】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法，
最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种．故选：D.
7.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（ ）种.
A．10 B．20 C．60 D．120
【答案】A
【解析】设左车辆汽车依次为，右车辆汽车依次为，
则通过顺序的种数等价于将安排在5个顺序中的某两个位置（保持前后顺序不变），
安排在其余3个位置（保持前后顺序不变），，
所以，合流结束时汽车通过顺序共有.故选：A.
8.已知，则满足的有序数组共有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】所有有序数组中,满足的有序数组中包含个0，另外两个数在或中选择，每个位置有2种选择，由乘法计数原理得不同的种数为.故选：B.
9.某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
【答案】B
【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．
①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有种；
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有种．
综上分析，共可开出种．故选：B．
10.（2024·湖北·高三期末）如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给、、、这个三角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先对正方形涂色，共有种颜色可供选择，
然后涂区域，有种颜色可供选择，接下来涂区域，有种颜色可供选择，
若区域与区域同色，则区域有种颜色可供选择；
若区域与区域不同色，则区域有种颜色可供选择，区域有种颜色可供选择.
由计数原理可知，不同的涂色方法种数为.故选：C.
11.已知正四棱锥，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．420 C．336 D．120
【答案】B
【解析】当只用三种颜色时，同色且同色，5种颜色选择3种，且有种选择，
当只用四种颜色时，同色或同色，从5种颜色中选择4种，再从和中二选一，涂相同颜色，故有种选择，当用五种颜色时，每个顶点用1种颜色，故有种选择，
综上，共有种选择.故选：B
12.如图，对，，，，五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】先涂，，，有种方法.
若的颜色不同于，，所涂颜色，有种涂法，此时有种涂法，则对应总涂法数为；
若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为；
若的颜色与的颜色相同，此时有种涂法，则对应总涂法数为.
综上，总涂法数为.故选：C
13.小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】将问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果.问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.
进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.
由隔板法可知，不同的选购方法有种.故选：B.
14.把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
【答案】A
【解析】先将卡片分为符合条件的三份，由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张，
若分得的卡片超过一张，则必须是连号，
相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况，
再对应到三个人有种情况，则共有种法.故选：A．
15. A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
【答案】B
【解析】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，
考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，利用捆绑法可得种，
接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得种，
最后根据分步计数原理，得到种.故选：B.
16.现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
【答案】B
【解析】先安排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，则乙只能坐甲对面，
而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种.故选：B
17.（2024·浙江·高三校考模拟预测）（多选题）已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设，原式为,令，,A正确；
令，则，同乘得，
，，故B错误
令，则，故C错误
两边同时求导得：，
再令，,故D正确.故选：AD.
18.（2024·浙江·高三校考模拟预测）（多选题）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】令，得，解得，故A正确；
所以，令，得，
令，得，所以，故B正确；
展开式的第项（且），
所以，故C错误；令，则，
设，则，
令，得，又，所以
，故D正确.故选：ABD
19．（2024·福建福州·三模）的展开式中常数项为 ．
【答案】49
【分析】利用多项式乘法法写出展开式的通项，令次数为0即为常数项．
【详解】展开式的通项公式为
，，
当时，常数项为1；当时，得常数项为；
当时，得常数项为；
所以展开式中的常数项为.故答案为：.
20．（2024·河南·三模）若的展开式中存在常数项，则的值可以是 （写出一个值即可）
【答案】（答案不唯一，满足的即可）
【分析】写出展开式的通项，令，求出，再根据且，即可确定的取值.
【详解】二项式展开式的通项为
（且），
令，则，又且，所以
故答案为：（答案不唯一，满足的即可）
21．（2024·上海·模拟预测）设为大于2的自然数，将二项式两边同时求导，可以得到一些特别的组合恒等式，结合课本中杨辉三角研究方法，可以得到 .
【答案】
【详解】对 ，两边同乘以得：
，
两边同时求导得，
令得，
即.故答案为：.
22.（2024·福建·高三校考模拟预测）在的二项展开式中，系数最小的项为 .
【答案】
【解析】根据二项展开公式可得，，
所以系数最小的项为故答案为：.
23．（2024·河北·高三校考模拟预测）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ．
【答案】/
【解析】由题意得，通项，
当满足时，系数最大，，即，解得
又解得，所以，故．故答案为：
24.某宾馆安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且甲和乙住同一个房间，则共有 种不同的安排方法．（用数字作答）
【答案】36
【解析】若甲乙连同另一个人共3人一起住一个房间，其它2人一人一间房，三组作全排列，此时有种方法，若只有甲乙两人住一个房间，其它3人选1人住一间房，三组再作全排列，此时由种方法，
故共有方法，故答案为：36．
25.为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请、、、、五位党的二十大代表分别到一中、五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中、因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有 种.
【答案】126
【解析】根据题意可分为2种情况讨论：
（1）从、、三人中选1人去蒙中，有种选法，剩下4人安排到其余三所学校，
即4人分成2,1,1三组，有种分法，然后将这三组全排列安排这三所学校有种排法，
根据分步原理，这种情况的选派方案有种；
（2）从、、三人中选2人去蒙中，有种选法，剩下3人安排到其余三所学校，
有种排法，根据分步原理，这种情况的选派方案有种；
综上可得，共有种不同的选法.故答案为：126.
26.将分别标有号码的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有 种.
【答案】5
【解析】方法一（间接法）：事件“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的反面是“标号为4的小球是所在组标号最大的”“标号为3的小球是所在组标号最小的”至少一个成立.当标号分别为3和4的小球不在同一组时，有124，356一种分法，
且“标号为4的小球是所在组标号最大的”和“标号为3的小球是所在组标号最小的”同时成立.
当标号分别为3和4的小球在同一组时，
若“标号为4的小球是所在组标号最大的”成立，则有134，256和234，156两种分法；
若“标号为3的小球是所在组标号最小的”成立，则有126，345和125，346两种分法．
综上，不符合题意的分法有5种.
将6个小球平均分成两组，有种分法，所以符合题意的分法有种．
方法二（直接法）：当标号分别为3和4的小球在同一组时，
不论和它们在一组的小球的标号是1，2，5，6中的哪一个，
“标号为4的小球不是所在组标号最大的”和“标号为3的小球不是所在组标号最小的”不能同时成立，
所以标号分别为3和4的小球不在同一组.
由题意可得，标号为1，2的小球中至少有1个与标号为3的小球一组，
标号为5，6的小球中至少有1个与标号为4的小球一组．
故符合题意的分组方式有种．故答案为：5
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑