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5.3 圆锥曲线高频压轴解答题
考点分布 考查频率 命题趋势
轨迹问题 2023年II卷第21题，12分 预测2025年高考，多以解答题形式出现，具体估计为：（1）以解答题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．（2）热点是定点定值与极点极线问题. 这些问题不仅要求学生具备扎实的数学基础，还需要他们具备灵活运用数学知识解决实际问题的能力。
弦长、面积问题 2024年I卷第16题，15分 2023年甲卷第21题，12分 2023年天津卷第18题，15分 2023年I卷第22题，12分
斜率之和差商积问题 2022年甲卷第21题，12分 2021年乙卷第20题，12分 2021年I卷第21题，12分
定点定值问题 2024年天津卷第18题，15分 2023年乙卷第21题，12分 2023年乙卷第20题，12分
解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型。
解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开。
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
2．（2024·全国·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
3．（2024北京卷高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
4．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
5．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
6．（2023·全国·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
7．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
8．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
9．（2023·全国·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
10．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
11．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
12．（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．
高频考点一 轨迹方程
核心知识：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
典例1：（2024·贵州贵阳·高三校考阶段练习）已知椭圆C：（）的离心率为，左顶点A到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.
变式训练
1.（2024·河北衡水·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，点满足方程.
（1）求点的轨迹的方程；（2）作曲线关于轴对称的曲线，记为，在曲线上任取一点，过点作曲线的切线，若切线与曲线交于、两点，过点、分别作曲线的切线、，证明：、的交点必在曲线上.
2.已知直线交抛物线于两点.（1）设直线与轴的交点为，若，求实数的值；（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆：（3）记为抛物线的焦点，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足分别为点，若的面积是的面积的两倍，求线段中点的轨迹方程.
高频考点2 向量共线与多点共线问题
核心知识：首先，明确向量的定义和性质，理解共线向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的坐标表示法，通过比较两向量的对应坐标分量是否成比例，来判断它们是否共线。若成比例，则两向量共线。另外，也可以利用向量的几何意义，结合圆锥曲线的特性，通过观察或计算向量的方向来判断其共线性。综上所述，结合向量的代数和几何性质，可以有效解决圆锥曲线中的向量与共线问题。
典例1：（2024·高三·上海杨浦·期中）已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，.(1)求椭圆的方程；(2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程；(3)设，，求的取值范围.
变式训练：
1.（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围；
(3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围.

2.（2024·高三·山东威海·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，.
(1)求的标准方程；(2)直线交直线于点，证明：，，三点共线.
3.（2024·高三·浙江·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；(2)延长交椭圆于，若，求直线的方程.
高频考点3 定值问题-线段与面积
核心知识：
1、定值问题：解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量；（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数；（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值。
2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
典例1：（2024·湖北荆州·三模）从抛物线上各点向轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为.
(1)求的轨迹方程；(2)是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，
①若，求的值；②证明：三角形与三角形的面积之比为定值.
变式训练：
1.（2024·重庆·三模）已知，曲线上任意一点到点的距离是到直线的距离的两倍.
(1)求曲线的方程；(2)已知曲线的左顶点为，直线过点且与曲线在第一、四象限分别交于，两点，直线、分别与直线交于，两点，为的中点.（i）证明：；
（ii）记，，的面积分别为，，，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
2.（2024·高三·山西·期末）已知椭圆：.(1)若椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，求证：；(2)为直线：上的一个动点，，为椭圆的左、右顶点，，分别与椭圆交于，两点，证明为定值，并求出此定值.
高频考点4 定值问题-向量与坐标
核心知识：
1、定值问题：解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量；（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数；（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值。
2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
典例1：（2024·高三·江苏盐城·开学考试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.(1)求线段的中点的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
变式训练：
1.（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.(1)求椭圆的方程；(2)求证：为定值.
2.（2024·四川凉山·三模）已知平面内动点与两定点，连线的斜率之积为3．
(1)求动点的轨迹的方程：(2)过点的直线与轨迹交于，两点，点，均在轴右侧，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点横坐标为定值．
高频考点5 定值问题-斜率与角度
核心知识：
1、定值问题：解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量；（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数；（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值。
2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
典例1：（2024·河南·二模）已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.
变式训练：
1.（2024·高三·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．
2.（2024·重庆·模拟预测）如图，轴，垂足为D，点P在线段上，且．
(1)点M在圆上运动时，求点P的轨迹方程；(2)记（1）中所求点P的轨迹为，过点作一条直线与相交于两点，与直线交于点Q．记的斜率分别为，证明：是定值．
3.（2024·高三·广东广州·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值 若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
高频考点6 直线过定点问题
核心知识：
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
典例1：（2024·陕西·模拟预测）已知动圆M经过定点，且与圆内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.（i）求证：为定值；（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.
变式训练：
1.（2024·广西·模拟预测）已知圆E恒过定点，且与直线相切，记圆心E的轨迹为，直线与相交于A，B两点，直线与相交于C，D两点，且，M，N分别为弦的中点，其中A，C均在第一象限，直线与直线的交点为G．
(1)求圆心E的轨迹的方程；(2)直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由．
2.（2024·江西·二模）已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；(2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
高频考点7 动点在定直线上问题
核心知识：
典例1：已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点．(1)求点的坐标；(2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上．
变式训练：
1.已知椭圆经过点，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值.(3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.
高频考点8 动圆过定点问题
核心知识：
典例1：【变式11-3】（2024·河北·三模）已知椭圆C的中心在原点O、对称轴为坐标轴，、是椭圆上两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的左、右顶点分别为和，M，N为椭圆上异于、的两点，直线MN不过原点且不与坐标轴垂直．点M关于原点的对称点为S，若直线与直线相交于点T．（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值；
（ii）证明：直线OT与直线MN的交点在定直线上．
变式训练：
1.（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线上的两点的横坐标分别为.
(1)求抛物线的方程；(2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
2.（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点在上，直线∶与相交于两点，过分别向的准线作垂线，垂足分别为.
(1)设的面积分别为，求证：；
(2)若直线，分别与相交于，试证明以为直径的圆过定点，并求出点的坐标.
高频考点9 最值（范围）问题-弦长
核心知识：
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
典例1：（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．(1)若点P是直线与圆的交点，求a；(2)求的取值范围．
变式训练：
1.（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，上 下顶点分别为，四边形的面积为且有一个内角为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值.
2.（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．(1)求的方程：(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
高频考点10 最值（范围）问题-面积
核心知识：
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
典例1：（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，且经过点.(1)求的方程；(2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.
变式训练：
1.（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．(1)求的标准方程；(2)证明：；(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
2.（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．(1)求的方程．(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．（i）证明：直线过定点；（ii）求面积的最大值．
高频考点11 最值（范围）问题-向量数量积、参数
核心知识：
求参数范围问题的常用方法：构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
典例1：（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.(1)求的轨迹方程；(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
变式训练：
1.（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点.
(1)设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求.
(2)在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值.
2.（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为．①若直线的倾斜角为，求线段的长度；②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由．
3.（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆的左 右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为.(1)求的方程；(2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
1．（2024·北京海淀·二模）已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为.(1)求栯圆的方程；(2)设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.
2．（2024·北京·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为点，求证：直线与的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.
3.（2024·高三·浙江宁波·期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值.
4.（2024·辽宁·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，.(1)求椭圆的方程；(2)证明：为定值；
5.（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .(1)求双曲线 的方程;(2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.
6.（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点；(1)求的离心率；(2)设点，点在上，求的最大值和最小值；(3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
7.（2024·广东广州·模拟预测）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1.(1)求动点的轨迹的方程.(2)过点A的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.
8.（2024·湖北·模拟预测）平面直角坐标系中，动点满足，点P的轨迹为C，过点作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)求面积的取值范围；(3)若直线l与直线交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：为定值．
9.（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，，的面积为.(1)求的方程；(2)是上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线过点且与交于，两点（均异于点），点在上，设直线，，的斜率分别为，，，若，问点的横坐标是否为定值？若为定值，求出点的横坐标；若不为定值，请说明理由.
10.（2024·河南·三模）已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程：(2)直线与曲线交于两点，且交于点，求定点的坐标，使为定值；(3)过（2）中的点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为，求的值．
11.已知椭圆的长轴长为4，离心率为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的切线，交轴于点A，直线过点且垂直于，交轴于点．(1)求椭圆的方程；(2)试判断以为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
12.（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．(1)求的方程；(2)若的面积为，求的方程；(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
13.（2024·广东珠海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．(1)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；
(2)当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求最大值．
14.（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xoy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为；（i）求证：P，O，Q三点共线；（ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值．
15.已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率．
(1)求椭圆的标准方程．(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围．
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5.3 圆锥曲线高频压轴解答题
考点分布 考查频率 命题趋势
轨迹问题 2023年II卷第21题，12分 预测2025年高考，多以解答题形式出现，具体估计为：（1）以解答题形式出现，考查数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．（2）热点是定点定值与极点极线问题. 这些问题不仅要求学生具备扎实的数学基础，还需要他们具备灵活运用数学知识解决实际问题的能力。
弦长、面积问题 2024年I卷第16题，15分 2023年甲卷第21题，12分 2023年天津卷第18题，15分 2023年I卷第22题，12分
斜率之和差商积问题 2022年甲卷第21题，12分 2021年乙卷第20题，12分 2021年I卷第21题，12分
定点定值问题 2024年天津卷第18题，15分 2023年乙卷第21题，12分 2023年乙卷第20题，12分
解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型。
解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开。
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故，故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，
又，而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
2．（2024·全国·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
【答案】(1)(2)直线的方程为或.
【详解】（1）由题意得，解得，所以.
（2）法一：，则直线的方程为，即，
，由（1）知，设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为：，则，解得或，
当时，联立，解得或，即或，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立得，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为或.
法二：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，
设，则，解得或，即或，以下同法一.
法三：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，
设，其中，则有，
联立，解得或，即或，以下同法一；
法四：当直线的斜率不存在时，此时，
，符合题意，此时，直线的方程为，即，
当线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立椭圆方程有，则，其中，即，
解得或，，，令，则，则
同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，
则，解得，
此时，则得到此时，直线的方程为，即，
综上直线的方程为或.
法五：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当的斜率存在时，设，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直线距离，
或，均满足题意，或，即或.
3．（2024北京卷高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为；
（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或.
4．（2024·天津·高考真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
【答案】(1) (2)存在，使得恒成立.
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，
所以，故，
故，所以，，故椭圆方程为：.
（2）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设， 由可得，
故且
而，故
，
因为恒成立，故，解得.
若过点的动直线的斜率不存在，则或，
此时需，两者结合可得.综上，存在，使得恒成立.
5．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，显然，与不重合，所以.
6．（2023·全国·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设，由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，
由可得，，所以，，，
因为，所以，即，
亦即，将代入得，
，，所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，当时，的面积．
7．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)(2)证明见详解
【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，因为，则直线，
令，解得，即,同理可得，
则
，所以线段的中点是定点.

8．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆的方程和离心率；(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.(2).
【详解】（1）如图，由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.

（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，所以，.
所以,,，所以，
所以，即，解得，所以直线的方程为.
9．（2023·全国·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，故.
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，

则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则，易知
则令,令，解得，
当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，
则，故,即. 当时,,且，即时等号成立，矛盾，故, 得证.
法二：不妨设在上，且，

依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，直线的方程为，
则联立得，，则
则，同理，
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，
则，，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
10．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)(2)证明见解析.
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，据此可得点在定直线上运动.
11．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：，
,即,即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,∴,
所以直线的斜率,直线,即,
代入双曲线的方程,即中，得：,
解得的横坐标：,同理：，
∴∴,
∴条件②等价于，
综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；
选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.
12．（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，即，
即，所以，
化简得，，即，所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］： 设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，联立，及得，，
同理，，，故，
而，，由，得，
故
高频考点一 轨迹方程
核心知识：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
典例1：（2024·贵州贵阳·高三校考阶段练习）已知椭圆C：（）的离心率为，左顶点A到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.
【解析】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.
（2）当直线的斜率存在时，可设l：，，，
与椭圆方程联立，，得，
，，，
因为直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以，
得，即，所以或，
当时，经过定点，与A重合，舍去，
当时，，经过定点，
当直线的斜率不存在时，l：，此时，，满足条件，
因为，，
所以点的轨迹是以为直径的圆（除去点），圆心坐标为，半径为，
所以点的轨迹方程为.
变式训练
1.（2024·河北衡水·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，点满足方程.
（1）求点的轨迹的方程；（2）作曲线关于轴对称的曲线，记为，在曲线上任取一点，过点作曲线的切线，若切线与曲线交于、两点，过点、分别作曲线的切线、，证明：、的交点必在曲线上.
【解析】（1）由，两边平方并化简，得，即，
故点的轨迹的方程为.
（2）依题可设点，，曲线切于点的切线的斜率为，
切线l的方程为，整理得，依题可知曲线，，
联立方程组，即，，
设，，则，，
设曲线上点处的切线斜率为，
切线方程为，整理得，
同理可得曲线上点处的切线方程为，
联立方程组，解得，因为，，
所以，，、的交点坐标为，
满足曲线的方程，即、的交点必在曲线上.
2.已知直线交抛物线于两点.（1）设直线与轴的交点为，若，求实数的值；（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆：
（3）记为抛物线的焦点，过抛物线上的点作准线的垂线，垂足分别为点，若的面积是的面积的两倍，求线段中点的轨迹方程.
【解析】（1）由得.设，则
因为直线与相交，所以，得由，得，所以，
解得，从而，因为，所以，故.
（2）设，因为两点关于直线对称，
则，故.又于是，
即.由点在抛物线上，有.
因为，所以，于是
因此，同理，于是点在以为直径的圆上，即四点共圆.
（3）易知设，则
设直线与轴的交点为，则
由题设，可得，所以或.
设线段的中点为，有 当时，当与轴不垂直时，
由可得，即
而，所以.同理，当时，.
当与轴垂直时，与重合.符合
综上，线段的中点的轨迹方程或.
高频考点2 向量共线与多点共线问题
核心知识：首先，明确向量的定义和性质，理解共线向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的坐标表示法，通过比较两向量的对应坐标分量是否成比例，来判断它们是否共线。若成比例，则两向量共线。另外，也可以利用向量的几何意义，结合圆锥曲线的特性，通过观察或计算向量的方向来判断其共线性。综上所述，结合向量的代数和几何性质，可以有效解决圆锥曲线中的向量与共线问题。
典例1：（2024·高三·上海杨浦·期中）已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且的面积为，过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.且直线，分别与轴交于点，.(1)求椭圆的方程；(2)若以为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程；(3)设，，求的取值范围.
【解析】（1）因为椭圆经过点，所以解得（负值舍去）．
由的面积为可知，解得，所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，，．
联立，消整理可得．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得，
因为，所以的取值范围是，所以，，
则，
因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，则，
即，解得（负值舍去），所以直线的方程为.
（3）因为，，，，所以直线的方程是：，
令，解得，所以点的坐标为．同理可得点的坐标为．
所以，，．由，，
可得，，所以，同理，
由（2）得，所以
，
因为，所以，所以，
则，所以，所以的范围是．
变式训练：
1.（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆的左右焦点为，短轴长为为上一点，为的重心.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆上不同三点，满足，且成等差数列，线段中垂线交轴于点，求点纵坐标的取值范围；
(3)直线与交于点，交轴于点，若，求实数的取值范围.

【解析】（1）不妨设，因为的重心，所以，所以，
又短轴长为6，所以，代入解得，所以椭圆方程为:；
（2）由上可知，设中点，则，
又，消去并整理得，同理，
又，由题意得，即，
因B，D在上，易得，化简得，
所以线段中垂线的斜率，线段中垂线方程:，
令得，
又线段中点在椭圆内所以，所以；
（3）设，由得，
联立消整理得，得，
所以，当时，，
当时，，解不等式得.
2.（2024·高三·山东威海·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点的坐标为，过点作直线交于，两点（异于，），当垂直于轴时，.
(1)求的标准方程；(2)直线交直线于点，证明：，，三点共线.
【解析】（1）如图所示，
由，可得，所以，即，因为，
所以，解得，，所以的标准方程为.
（2）由题意知，直线斜率不为，如图所示，
设，，而，
由，整理得，显然，则,
因为，所以，即.
则
，
所以，又因为有公共点，所以，，三点共线.
3.（2024·高三·浙江·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；(2)延长交椭圆于，若，求直线的方程.
【解析】（1）由条件得，即，则，
则，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意可知：，则，且直线与椭圆必相交，
若直线的斜率不存在，可知，联立方程，解得，
不妨取，则，
可得，不合题意；
若直线的斜率存在，设直线，则，，
与椭圆联列方程得，消去y得，
可得，
则
，
可得，解得所以直线的方程为；综上所述：直线的方程.
高频考点3 定值问题-线段与面积
核心知识：
1、定值问题：解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量；（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数；（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值。
2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
典例1：（2024·湖北荆州·三模）从抛物线上各点向轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为.
(1)求的轨迹方程；(2)是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，
①若，求的值；②证明：三角形与三角形的面积之比为定值.
【解析】（1）设垂线段中点坐标为，则抛物线上点坐标为，
代入抛物线方程，则，即，所以的轨迹方程：.
（2）①如图，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，
设，
则抛物线上过点的切线方程为，将切线方程与抛物线方程联立，得：
联立，消去，整理得，
所以，从而有，
所以抛物线上过点的切线方程为，
同理可得抛物线上过点的切线方程分别为，
两两联立，可以求得交点的纵坐标分别为：，
则，
同理可得，即，
当时，，故，即，因此.
②易知，则直线的方程为，
化简得即，且，
点到直线的距离为：，
则三角形的面积．
由（2）①知切线的方程为，，
可知，点到直线的距离为，
则外切三角形的面积．
故．因此三角形与外切三角形的面积之比为定值2．
变式训练：
1.（2024·重庆·三模）已知，曲线上任意一点到点的距离是到直线的距离的两倍.
(1)求曲线的方程；(2)已知曲线的左顶点为，直线过点且与曲线在第一、四象限分别交于，两点，直线、分别与直线交于，两点，为的中点.（i）证明：；
（ii）记，，的面积分别为，，，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设曲线上任意一点坐标为，则由题意可知：
，故曲线的方程为.
（2）(i)设直线：，，，其中且，
，故，；
直线：，当时，，故，
同理，为中点， 故；
；（*）
；
故，即，则，
直线的方向向量，，故.
(ii)法一：；（**）
故；，
又，故.
；
；
，，
由（*）知，由（**）知，
故，
故，则.
法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，，同理，
故，
又，故，又，
且由（*）知，记直线与轴相交于点，
由可得，即，即，故；
又为的中点，故，即.
2.（2024·高三·山西·期末）已知椭圆：.(1)若椭圆的离心率为，直线与椭圆交于，两点，求证：；(2)为直线：上的一个动点，，为椭圆的左、右顶点，，分别与椭圆交于，两点，证明为定值，并求出此定值.
【解析】（1）由题意得,所以，所以椭圆方程：，
设，，联立可得，
且，则，，
，
所以；
（2）设，，，而，，设，，
则，，
所以，，，，
因为，在椭圆：上，所以，
所以，，
代入作差可得：.化简得：，所以，
综上所述，为定值为3.
高频考点4 定值问题-向量与坐标
核心知识：
1、定值问题：解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量；（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数；（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值。
2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
典例1：（2024·高三·江苏盐城·开学考试）已知椭圆：，，过点的动直线与椭圆交于、两点.(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）①当直线存在斜率时，设、、，，
则应用点差法：，两式联立作差得：，
∴，
又∵，∴，化简得（），
②当直线不存在斜率时，，综上，无论直线是否有斜率，的轨迹方程为；
（2）①当直线存在斜率时，设直线的方程为：，
联立并化简得：，
∴恒成立，∴，，
又，，，，
∴，
，
若使为定值，只需，即，其定值为，
②当直线不存在斜率时，直线的方程为：，则有、，
又，，，，
∴，当时，也为定值，
综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数，使为定值.
变式训练：
1.（2024·高三·天津河北·期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.(1)求椭圆的方程；(2)求证：为定值.
【解析】（1）由题设，，得，椭圆的方程为.
（2）由（1）知，由题意知，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，联立，
消去得，其中是直线与椭圆一个交点，
所以，则，代入直线得，故.
又，将代入，得，则.
所以，为定值.
2.（2024·四川凉山·三模）已知平面内动点与两定点，连线的斜率之积为3．
(1)求动点的轨迹的方程：(2)过点的直线与轨迹交于，两点，点，均在轴右侧，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点横坐标为定值．
【解析】（1）设动点，根据题意，
动点的轨迹的方程为.
（2）易知直线斜率不为0，设方程为，且．设，，
由，，
由题意易得 直线方程为①
同理，直线方程为②
由①÷②得
，点横坐标为定值．
高频考点5 定值问题-斜率与角度
核心知识：
1、定值问题：解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量；（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数；（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值。
2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
典例1：（2024·河南·二模）已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.
【解析】（1）由题焦距，解得，
由两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形可知，则，
所以，所以椭圆的标准方程为.
（2）是定值. 已知，设，
直线的方程为，即，
代入并整理，得，
，.
，三点共线，且与同向，
，
同理可得，化简得，
，所以为定值0.
变式训练：
1.（2024·高三·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．
【解析】（1）不妨设双曲线C的半焦距为，
，，
解得，则，故双曲线C的方程为；
（2）设，则，
为双曲线C上的两点，
两式相减得，整理得，
则，故为定值，定值为4．
2.（2024·重庆·模拟预测）如图，轴，垂足为D，点P在线段上，且．
(1)点M在圆上运动时，求点P的轨迹方程；(2)记（1）中所求点P的轨迹为，过点作一条直线与相交于两点，与直线交于点Q．记的斜率分别为，证明：是定值．
【解析】（1）设，根据题意有，又因为M在圆上运动，所以，
即，所以点P的轨迹方程为：.
（2）根据已知条件可知，若直线的斜率不存在，不合题意，
若直线斜率为，直线与直线平行无交点也不合题意，
所以直线的斜率存在设为，直线的方程为，
联立，则有，且，
设，，则，
，，所以
，对，令，得，所以，
所以，所以为定值.
3.（2024·高三·广东广州·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值 若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）依题意知：，
解之得：，，，所以椭圆C的方程为.
（2）由于B，D异于A，故设直线的方程为，
联立得： 设，，则
因为，，所以设直线的方程为，
联立得：，同理有
因为，所以， 所以
所以，即.
高频考点6 直线过定点问题
核心知识：
求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
典例1：（2024·陕西·模拟预测）已知动圆M经过定点，且与圆内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.（i）求证：为定值；（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.
【解析】（1）设动圆的半径为r，圆的圆心，半径，
显然点在圆内，则，于是，
因此动点M的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
长半轴长，半焦距，则短半轴长，所以轨迹C的方程为.
（2）（i）设，，，由（1）知，，
显然，，而，则，
，又，即，
所以，为定值.
（ii）由消去x得，，
由（i）得，又，
则
，解得，满足，
因此直线PQ的方程为，所以直线PQ过定点.
变式训练：
1.（2024·广西·模拟预测）已知圆E恒过定点，且与直线相切，记圆心E的轨迹为，直线与相交于A，B两点，直线与相交于C，D两点，且，M，N分别为弦的中点，其中A，C均在第一象限，直线与直线的交点为G．
(1)求圆心E的轨迹的方程；
(2)直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由．
【解析】（1）设圆E的圆心．因为圆E恒过定点且与直线相切，
即圆心E到点的距离与到直线的距离相等，
即圆心E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以圆心E的轨迹方程为．
（2）直线恒过定点．解法一：直线的方程为，直线的方程为，
设，，联立，消去x整理得，，
则，则，则，
所以，同理可得．
当时，直线的方程为，
即
．
因为，所以直线的方程，故当时，，此时过定点；
当时，由，得，此时直线的方程为，同样经过点．
综上，直线恒过定点，该定点为．
解法二：设，，由题可知直线，都恒过定点，
斜率均存在，不为0，且互相垂直，设直线，，则直线，
联立，去y整理得，
易得，则，则，所以，同理可得．
若直线的斜率存在，则，
直线，，则直线恒过定点；
若直线的斜率不存在，则，得，
直线的方程为，则直线恒过定点．综上，直线恒过定点，该定点为．
2.（2024·江西·二模）已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
【解析】（1）连接OM，
由题意可得，且M为的中点，又O为的中点，所以，且|.
因为线段的中垂线与直线相交于点T，所以，
所以，
由双曲线的定义知动点T的轨迹是以，为焦点的双曲线.
设其方程为（，），则，，，
故曲线C的方程为.
（2）证明：由（1）知依题意直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，，，
由，得，，由，得，
所以，.则
，整理得，
即，解得或，
当时，直线l的方程为，直线l过定点；
当时，直线l的方程为，
直线l过定点，不合题意，舍去. 综上所述，直线l过定点.
高频考点7 动点在定直线上问题
核心知识：
典例1：已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点．(1)求点的坐标；(2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上．
【解析】（1）依题意，点，，解得，椭圆：，
显然过点的椭圆的切线斜率存在，设其方程为，
由消去并整理得，
，整理得，
解得，切线方程为，由，得，所以点的坐标是.
（2）设直线的方程为，，线段的中点，
由消去得，
则，，，
直线的方程为，则点，
于是，
，
，因此点在直线上，
所以线段的中点在定直线上.
变式训练：
1.已知椭圆经过点，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值.(3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.
【解析】（1）由题意，点在椭圆上得，可得①
又由，所以②，
由①②联立且，可得，故椭圆的标准方程为；
（2）易知，则，所以，
设，联立与有，
则，由解得，
到的距离即为在边上高的最小值，即，
此时面积的最小值；
（3）设，则，即，
又由，得，整理得，
再代入得，即，
所以，同理令，，则，
则，，
则直线的方程为
，
同理的方程为
，
两式相减，整理得，即点在定直线上.
高频考点8 动圆过定点问题
核心知识：
典例1：【变式11-3】（2024·河北·三模）已知椭圆C的中心在原点O、对称轴为坐标轴，、是椭圆上两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的左、右顶点分别为和，M，N为椭圆上异于、的两点，直线MN不过原点且不与坐标轴垂直．点M关于原点的对称点为S，若直线与直线相交于点T．（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值；
（ii）证明：直线OT与直线MN的交点在定直线上．
【解析】（1）设椭圆C的方程为，
将A、B代入得，解得，故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意得，，
设直线MN的方程为，，，，则．
（i）由题意可得：，即，
所以，
当且仅当，（或，）时等号成立．
（ii）联立方程，消去x得，
由得且，
故，，即
由、S、T三点共线得，即；
由、N、T三点共线得，即；
两式相加得
，
则直线OT斜率为，可得直线OT方程为
由得，即．故直线OT与直线MN的交点在定直线上．
变式训练：
1.（2024·西藏拉萨·二模）已知抛物线上的两点的横坐标分别为.
(1)求抛物线的方程；(2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
【解析】（1）因为点的横坐标分别为，所以，
则，解得，所以抛物线的方程为.
（2）由题意，知直线的斜率存在，设，过点的直线的方程为，直线的斜率分别为.
当时，，因为，所以以为直径的圆过原点.
以下证明当时，以为直径的圆过原点.
由，消去，得，由根与系数的关系，得，
，
所以，所以以为直径的圆过原点.综上，以为直径的圆过原点.
2.（2024·山东泰安·模拟预测）已知抛物线，焦点为，点在上，直线∶与相交于两点，过分别向的准线作垂线，垂足分别为.
(1)设的面积分别为，求证：；
(2)若直线，分别与相交于，试证明以为直径的圆过定点，并求出点的坐标.
【解析】（1）将代入，得，所以抛物线方程为，
由题意知，设，
由得，，，所以，
所以
，即.
（2）直线的斜率，
故直线的方程为，令得，
所以点的坐标为，同理，点的坐标为，
设线段的中点为，则
=，
又=
，
所以以为直径的圆为，
即，令得或，
故以为直径的圆过定点和.
高频考点9 最值（范围）问题-弦长
核心知识：
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
典例1：（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．(1)若点P是直线与圆的交点，求a；(2)求的取值范围．
【解析】（1）联立方程：，解得或，即点为或，
将点代入双曲线C：可得，解得，所以.
（2）先证：在双曲线上一点处的切线方程为.
因为点在双曲线上，则，
显然直线过点，即，，
联立方程，消去y可得，
即，则，解得，
所以在双曲线上一点处的切线方程为.
设，，则，
可得线段OP的垂直平分线为，即，
设直线与双曲线C切于点，则直线，
则，即，且，即，整理可得，
又因为在双曲线C上，则，即，
可得，解得（舍负），
则，
令，则，可得，
令，则关于x的方程有正根，
即关于t的方程在内有根，设，
若，即，则，不合题意；
若，即，则，解得，不合题意；
若，即，则，解得；
综上所述：，则，即.
变式训练：
1.（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，上 下顶点分别为，四边形的面积为且有一个内角为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若以线段为直径的圆与椭圆无公共点，过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值.
【解析】（1）由题意可得，可得，
，或，所以椭圆的方程为：或；
（2）由以线段为直径的圆与椭圆无公共点，得，所以椭圆的标准方程为：，
因为，所以点在椭圆外，设，
当直线的斜率存在时，，
由，可得，解得，（*）
设直线，联立，整理可得：，
由，整理可得：，解得或，且，代入整理可得，
代入直线的方程，得，可得，
当直线的斜率不存在时，，则，
由，得，也满足方程，
所以点在直线（在椭圆内部）上，
设点关于直线的对称点为，
则解得，所以，
此时点在椭圆内，符合题意，所以的最小值为.
2.（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．(1)求的方程：(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
【解析】（1）由椭圆得：左右焦点分别是，
因为双曲线的顶点恰好是、，设双曲线的方程为：，所以，
又由一条渐近线是，可得，所以，即双曲线的方程为：，
（2）设直线的方程为：，与椭圆联立得：，
可设，则
则，
同理可设直线的方程为：，与椭圆联立得：，
可设，则
则，
再由直线的方程为：与直线的方程为：联立解得：，
由于这两直线交点就是点，则把点的坐标代入双曲线的方程得：
，化简得：，点（异于顶点），所以，即，
则
，
当且仅当，即时，有最小值.
高频考点10 最值（范围）问题-面积
核心知识：
1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
典例1：（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，且经过点.(1)求的方程；(2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，因为点在椭圆上，所以.
即，解得，所以，所以椭圆的方程为.
（2）解法一：由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设，则，设，则，
，由得，，
即，因为，所以，所以，
所以，令且，
则，解得，且，所以，所以的取值范围为.
解法二：由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设，则，所以，
设，则，，
令且，则代入可得，
消去得：，因为，所以，
所以，解得，且，所以，所以的取值范围为.
变式训练：
1.（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．(1)求的标准方程；(2)证明：；(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围．
【解析】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为，
所以 ，整理得，所以的标准方程为.
（2）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为，
①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，，
则且由点A和点B在曲线E上，故，所以，
同理可得，所以；
②直线斜率存在时，则可设方程为，、，
联立，
则即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，综上，.
（3）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于，且曲线E的渐近线方程为，
故可分别设直线和直线的方程为和，且，
联立得，设、，
则，，，
故，
因为P是中点，所以即，同理可得，
所以P到两渐近线的距离分别为，，
Q到两渐近线的距离分别为，，
由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接，
则四边形面积为
，
因为，所以，所以，
所以四边形面积的取值范围为.
2.（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．(1)求的方程．(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．（i）证明：直线过定点；（ii）求面积的最大值．
【解析】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，
由三角形面积为，得，则，，所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，点，设直线的方程为，设，
由消去x得：，则，
直线与的斜率分别为，，
于是
，整理得，解得或，
当时，直线过点，不符合题意，因此，直线：恒过定点.
（ii）由（i）知，，
则，
因此的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
高频考点11 最值（范围）问题-向量数量积、参数
核心知识：
求参数范围问题的常用方法：构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：（1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
典例1：（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.(1)求的轨迹方程；(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意设点，由于，
故，整理得，即的轨迹方程为；
（2）由题意知直线的斜率分别为，，且满足，
设直线的方程为，令，则可得，即，
直线，同理求得，又直线的方程为，
令，得，即，
故
，
当时，取到最大值12，即存在最大值，最大值为12.
变式训练：
1.（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点.
(1)设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求.
(2)在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值.
【解析】（1）因为点P在椭圆C上，所以，解得；
所以椭圆C的方程为，故，设动点，则，所以，
故，，所以．
（2）不妨设，的外接圆半径为，则由正弦定理得，
所以.如图，过作直线的垂线，垂足为，
过作于点，由（1）的结论可得，
所以，即，
所以，又，得，
则，即，
所以，当且仅当时等号，所以的最大值为.
2.（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为．①若直线的倾斜角为，求线段的长度；②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由．
【解析】（1）由题知，解得，所以椭圆的方程为.
（2）设，①当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
由，消得到，所以，
所以.
②由（1）知，易知，
设直线，由，消得到，
所以，设直线的斜率分别为，且，
所以，
得到，又，
当且仅当，即时，的最大值为，又，所以的最大值.
3.（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆的左 右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为.(1)求的方程；(2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
【解析】（1）焦点在抛物线的准线上，则椭圆半焦距，
当点为短轴顶点时，面积最大，此时，
则，所以椭圆方程为.
（2）当轴时，显然，当与轴不垂直时，设直线的方程为，
由消去得，，
设，线段的中点，
则，
线段的垂直平分线方程为，
令，得，显然，当且仅当时取等号，
当时，；当时，，于是或，
所以的取值范围是.
1．（2024·北京海淀·二模）已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为.(1)求栯圆的方程；(2)设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.
【解析】（1）由题意可设椭圆的方程为.
因为以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为，
所以且，所以.所以.所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，令，得，即.
由得.设，则.
设的中点为，则.所以.
因为四边形为菱形，所以为的中点，.所以直线的斜率为.
所以直线的方程为.
令得.所以.
设点的坐标为，则，即.
所以直线的方程为，即.所以直线过定点.
2．（2024·北京·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为点，求证：直线与的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.
【解析】（1）由题可得：，，又；解得；
故椭圆的方程为：.
（2）设直线与的交点为，根据题意，作图如下：
由题可知，直线的斜率存在，又过点，故设其方程为，
联立，可得，显然其，
设两点坐标为，则；
因为都垂直于轴，故，
则方程为：，方程为：，
联立方程可得：，
故，也即直线与的交点在定直线上.
3.（2024·高三·浙江宁波·期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值.
【解析】（1）设，由题意得，化简得:.
（2）设：，
与联立得，，因为，则定点在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点，所以
因为，所以，即，所以③，
由①③得，将④⑤代入②，得，
化简得，，解得.
4.（2024·辽宁·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，.(1)求椭圆的方程；(2)证明：为定值；
【解析】（1）由题知，得到，又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，设，，
则，，，，
由，得到，所以，
又在椭圆上，所以，即.
又，故，即.
将其展开，得到，即.
从而，即，易知，所以，得到，
同理，由，得到，所以，
又在椭圆上，所以，即.
又，故，即.
将其展开，得到，即.
从而，即，
易知，所以，得到，所以，即为定值.
5.（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .(1)求双曲线 的方程;(2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.
【解析】（1）由题意得，且
（2）由 (1) 得，
设直线 的方程为，则，
由 得，
直线 的方程为，令 ，则，
，
所以三点共线.
6.（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点；(1)求的离心率；(2)设点，点在上，求的最大值和最小值；(3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
【解析】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为，
则，则，所以.
（2）依题意，设，则，，故，
则，
所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为.
（3）设，又，
易得，则直线为，即 ，
而，
，
，
联立，消去，得
则，得，
所以，故
，
所以，故存在，使得恒成立.
7.（2024·广东广州·模拟预测）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1.(1)求动点的轨迹的方程.(2)过点A的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.
【解析】（1）设，，由题意可得：，整理得，
故求动点的轨迹方程为.
（2）由题意可知：，且，可得，
显然直线MN的斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立方程，消去x得，
则，，可得，则，
整理可得，则，
因为，则，可得，整理可得，
所以直线方程为，即直线过定点，则，
此时，，所以为定值.
8.（2024·湖北·模拟预测）平面直角坐标系中，动点满足，点P的轨迹为C，过点作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)求面积的取值范围；(3)若直线l与直线交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：为定值．
【解析】（1）由题意可知：动点到定点的距离比到定点的距离大，且，
从而点的轨迹为双曲线的右支．设双曲线方程为，则，，，
轨迹C的方程为：．
（2）直线l不与y轴垂直，设其方程为，
与联立得：，，
设，，则，，解得．
设，则．
由于在单调递减，则，故．
（3）证明：与联立，得，．
设，，由A，S，N三点共线，得，
解得，同理有．
，
即ST的中点为，故为定值1．
9.（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，，的面积为.(1)求的方程；(2)是上位于第一象限的一点，其横坐标为1，直线过点且与交于，两点（均异于点），点在上，设直线，，的斜率分别为，，，若，问点的横坐标是否为定值？若为定值，求出点的横坐标；若不为定值，请说明理由.
【解析】（1）因为，所以，即，
又，所以为等边三角形，所以，所以，
又，所以，则，所以，所以椭圆方程为.
（2）将代入解得，所以，由（1）可知，则直线的斜率存在，
设直线，，，，
由得，由，
所以，，所以
，
因为，所以，所以，解得，所以点的横坐标为定值.
10.（2024·河南·三模）已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程：(2)直线与曲线交于两点，且交于点，求定点的坐标，使为定值；(3)过（2）中的点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为，求的值．
【解析】（1）设是曲线上的任意一点，
因为点，且动点满足直线与直线的斜率之积为，
可得，整理得，其中．所以曲线的轨迹方程为.
（2）①当直线斜率存在时，设的方程为，设，
联立方程组，整理得，
则，即，且
所以，
因为，所以，
所以，化简得，即，
所以，且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点，记为点．
②当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线，
联立方程组，解得，此时直线也过点，
综上，直线过定点．又由，所以点在以为直径的圆上，
故当为该圆圆心，即点为的中点时，为该圆半径，即，
所以存在定点，使为定值．
（3）设，易得直线的斜率不为0，可设直线
联立方程组，整理得，
则，且，则，
所以．
11.已知椭圆的长轴长为4，离心率为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的切线，交轴于点A，直线过点且垂直于，交轴于点．(1)求椭圆的方程；(2)试判断以为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
【解析】（1）因为，所以．所以椭圆的方程为．
（2）解法一：设点，直线的方程为，
代入，整理得，
因为是方程的两个相等实根，所以，解得．
所以直线的方程为，令，得点A的坐标为．
又因为，所以．所以点A的坐标为．
又直线的方程为，令，得点的坐标为．
所以以为直径的圆的方程为．整理得．
令，得，所以以为直径的圆恒过定点和．
解法二：设点，
根据切线方程可知直线的方程为，所以点A的坐标为．
又直线的方程为，令，得点坐标为，
所以以为直径的圆方程为
整理得，令，得，所以以为直径的圆恒过定点和．
12.（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．(1)求的方程；(2)若的面积为，求的方程；(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，故的方程为．
（2）易知的斜率不为0，设，
联立，得，所以．
所以，由，
解得，所以的方程为或．
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，得．
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为．
13.（2024·广东珠海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．(1)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；
(2)当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求最大值．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则，故，
而在椭圆上，故，故，故椭圆方程为：，
由可得，故即即.
（2）当时，直线，故，
由题设可得为位于直线的两侧，不妨设在直线上方，在直线的下方，
当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，到直线的距离最大及的面积最大，
当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，到直线的距离最大及的面积最大，
由（1）可得相切时即，
当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线上方，
此时到的距离为，
当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线下方；
此时到的距离为，
又故.
14.（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xoy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为；（i）求证：P，O，Q三点共线；（ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值．
【解析】（1）圆，圆，
设圆的半径为，由已知得，，从而，
故圆心的轨迹为以为焦点的椭圆（不含左顶点），
又，从而轨迹的方程为.
（2）（i）设，，，直线的斜率为，
由直线TP与TQ的斜率之积为，则存在且，则，只需证且.
联立，消得，
整理得：，， ，
以代得，故.
又，，
故三点共线.
（ii）由（i）知，则，
的方程：，从而，
则，
由，当且仅当取等号，
故，即四边形面积的最大值为.
15.已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率．
(1)求椭圆的标准方程．(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点是线段OF上的一个动点，且，求m的取值范围．
【解析】（1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为
抛物线方程化为，其焦点为，则椭圆的一个顶点为，即．
由，解得，∴椭圆的标准方程为．
（2）由（1）得，则，设，，，
结合题意可设直线l的方程为．
由，消y得，
直线l过椭圆焦点，必有，∴，则
，，∵，∴，
∴，
两边同除以，有，
∴，∴
∴m的取值范围为．
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