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6.2 概率与统计常考小题归类
考点分布 考查频率 命题趋势
统计图表、方差、平均数、中位数 2024年II卷第4题，5分 2023年上海卷第14题，4分 2022年甲卷第2题，5分 预测2025年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查逻辑推理与数学运算两大核心素养．（2）热点是古典概型和条件概率与全概率公式。.
古典概型 2024年I卷第14题，5分 2024年甲卷第16题，5分 2023年乙卷第9题，5分 2023年甲卷第4题，5分
相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 2022年乙卷第10题，5分
回归方程、正态分布 2024年I卷第9题，6分 2023年天津卷第7题，5分
概率与统计小题是每年高考必考的内容．一是求统计图表、方差、平均数；二是求古典概型；三是相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．多以选择、填空题的形式考查，难度容易或中等．
1．（2024·全国Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
2．（2024·全国Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B． C． D．
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
5．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
6．（2024年天津高考数学真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
7．（2023年天津高考数学真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ．
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
10．（2023·全国Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于用单次传输方案译码为0的概率
11．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系
B．花瓣长度和花萼长度负相关
C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
12．（2023·全国Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差
13．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
14．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
15．（2021·全国·高考真题）在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
高频考点1 抽样方法与随机数表
核心知识： 读取规则 ：按固定方向读取数字，跳过无效或重复编号，直至抽满样本量。
典例1：（2024·山东·高三专题练习）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．02 C．63 D．01
变式训练
1.（2024·海南·高三校考阶段练习）某饮料厂生产A，B两种型号的饮料，每小时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，其中抽到A型号饮料15瓶，则每小时B型号饮料的产量为（ ）
A．600瓶 B．750瓶 C．800瓶 D．900瓶
2.（2024·重庆·校考一模）某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600．从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是（ ）
32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08
71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30
A．098 B．147 C．513 D．310
高频考点2 统计图表及其数字特征
核心知识：
集中趋势指标：
平均数（均值） ：反映数据集的中心位置，公式；
中位数 ：数据排序后位于中间位置的值，适用于偏态分布数据；
众数 ：数据中出现次数最多的值，常用于分类数据描述 。
离散程度指标：
方差与标准差 ：衡量数据偏离均值的程度，公式为；
极差 ：最大值与最小值的差值，反映数据范围
典例1：（2024·广东广州·校考一模）（多选）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（　　）
A．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值
变式训练：
1．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ）
A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元
2.（多选题）（2024·广东惠州·高三惠州一中校考阶段练习）某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（ ）
A．甲地区：平均数为90，方差为10 B．乙地区：平均数为60，众数为50
C．丙地区：中位数为50，极差为70 D．丁地区：极差为20，80%分位数为80
高频考点3 传统线性拟合
核心知识：
求回归方程：（1）根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关．（2）利用公式，求出回归系数．（3）待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．
回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
典例1：（2024·四川成都·三模）如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
变式训练：
1.（2024·广东深圳·高三统考期末）某同学收集了变量，的相关数据如下：
x 0.5 2 3 3.5 4 5
y 15
为了研究，的相关关系，他由最小二乘法求得关于的线性回归方程为，经验证回归直线正好经过样本点，则 ．
2.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:
单价(元)
销量(件)
由表中数据，求得线性回归方程，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 。
高频考点4 非线性拟合处理
核心知识：采用换元法，将非线性拟合代换为线性拟合即可。
典例1：（2024·四川宜宾·校考模拟预测）下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ）
第个月 1 2 3
繁殖数量
A．百只 B．百只 C．百只 D．百只
变式训练：
1.已知，之间的一组数据：
1 4 9 16
1 2.98 5.01 7.01
若与满足经验回归方程，则此曲线必过点 .
2.（2024·内蒙古·高三统考期末）用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A． B． C．35 D．21
高频考点5 传统独立性检验
核心知识：
比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法：（1）通过计算的大小判断：越大，两变量有关联的可能性越大．（2）通过计算的大小判断：越大，两变量有关联的可能性越大．
独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表．（2）根据公式，计算的观测值．（3）比较与临界值的大小关系，进行统计推断．
典例1：（2024·四川达州·统考一模）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数
变式训练：
1.（2024·浙江温州·高三校联考阶段练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）
选物理 不选物理 总计
男生 340 110 450
女生 140 210 350
总计 480 320 800
表一
选生物 不选生物 总计
男生 150 300 450
女生 150 200 350
总计 300 500 800
表二
试根据小概率值的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（ ）
附:
A．选物理与性别有关，选生物与性别有关 B．选物理与性别无关，选生物与性别有关
C．选物理与性别有关，选生物与性别无关 D．选物理与性别无关，选生物与性别无关
2.（2024·重庆·高三专题练习）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．11 B．12 C．13 D．14
高频考点6 创新类定义统计
核心知识：
典例1：（2024·辽宁沈阳·模拟预测）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 .
变式训练：
1.（多选题）（2024·湖北·模拟预测）教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( )
A． B． C． D．
2.（2024·湖北·高三校联考开学考试）定义空间直角坐标系中的任意点的“数”为：在点的坐标中不同数字的个数，如：，若点的坐标，则所有这些点的“数”的平均值为（ ）
A． B． C． D．
3.（多选题）为了估计一批产品的不合格品率，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为的样本，定义，于是，，，记（其中或1，），称表示为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．根据以上原理，下面说法正确的是（ ）
A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的
B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的
C．
D．达到极大值时，参数的极大似然估计值为
高频考点7 正态分布
核心知识：
典例1：（2024·重庆·高三校考阶段练习）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）

A．Y的数据较X更集中 B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D．
变式训练：
1.（2024·山东·模拟预测）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A．236 B．246 C．270 D．275
2.某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ．
附：，则，．
高频考点8 超几何分布与二项分布
核心知识：
典例1：（2024·江苏常州·高三校考期中）设随机变量，记，．在研究的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值；若不为正整数，则当且仅当取的整数部分时，取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
变式训练：
1.（2024·上海浦东新·高三统考期末）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为 （结果精确到0.01）．
2.（2024·浙江金华·校联考模拟预测）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ．
高频考点9 随机变量的分布列、期望、方差
核心知识：
典例1：“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（ ）
A． B．
C． D．
变式训练：
1.飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点10条件概率与全概率
核心知识：
典例1：（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示）
变式训练：
1．（2024·浙江·模拟预测）已知，，，则 .
2．（2024·湖北荆州·三模）天道酬勤，勤能补拙，努力的人得到的结果也许不尽如人意，虽然问心无愧的他们往往能平静看待生活中的点点滴滴，后悔这个词离他们似乎很遥远，但面对不顺时，他们有时候也会反思一些细节，情不自禁的流下悔恨的泪水.其实每个人在生活中都曾有过后悔的经历，即便是懒惰成性，不思进取的人，遇到挫折时，他们中也会有人会反思过去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往会流下悔恨的泪水.某位经验丰富的班主任老师，从高一开始，一直在反复告诫自己的学生：珍惜当下，积极进取，争做高考后无怨无悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者.一晃三年过去了，这位班主任老师结合学生三年的表现，调查发现，自己任教的班级勤懒生人数之比为，结合自己对以前毕业于自己班的学生高考后的表现发现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.020.展望本届学生高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考后流下悔恨的泪水，若真如该老师所料，有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒生的概率为 （结果用既约分数表示）
3.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（ ）
A． B． C． D．
高频考点11 新赛制概率问题
核心知识：
典例1：通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，，据此计算的近似值为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1.（2024·河南信阳·高二统考期末）2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比赛中战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数X的期望为（ ）
A． B． C． D．2
2.在立德学校举办的春季运动会上，甲、乙两位教师进行某项比赛，采取七局四胜制（当一人赢得四局时就获胜，比赛结束）．根据甲、乙两人多次比赛的成绩统计，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，设各局比赛结果相互独立，则乙在第一局负的情况下获胜的概率是 ．
高频考点12 概统结合问题
核心知识：
典例1：某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．则当漏诊率时，误诊率 .
变式训练：
1.某校高三年级有男生660人，女生440人，现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男队长的概率为 .
2.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则抽到的次品的个数小于2的概率约为 ．（参考数据：）
高频考点13 递推型概率命题（马尔科夫链）
核心知识：
典例1：（2024·湖北·校联考模拟预测）盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：
（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为 ；
（2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为 .
变式训练：
1.“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，已知该粒子的初始位置在2号仓. 则粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率=

2.（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为 .
1.（2024·青海西宁·高三统考期末）用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（ ）
A．8人 B．6人 C．4人 D．2人
2.豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图．根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法错误的是（ ）
A．的值是 B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星
C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则
D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件
3.对于独立性检验，下列说法中错误的是（ ）
A．的值越大，说明两事件相关程度越大 B．的值越小，说明两事件相关程度越小
C．时，则在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件与有关
D．时，则可以大概率认为事件与有关
4.（2024·甘肃兰州·统考一模）一组数据的平均数为，现定义这组数据的平均差.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图
根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5.（2024·江西九江·统考一模）恩格尔系数(Engel’sCoefficien)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.
给出三个结论：①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．②③
6.抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ）
A．大于2 B．小于2 C．等于2 D．与2的大小无法确定
7.（2024·湖北·高三专题练习）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位：Q元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示：
时间t/（单位：天） 10 20 70
销售价格Q（单位：元/千克） 100 50 100
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系：.利用你选取的函数模型，在以下四个日期末，杨梅销售价格最低的日期为（ ）
A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日
8.年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
9.（多选题）（2024·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）某单位为了解职工健康情况，采用分层随机抽样的方法从5000名职工中抽取了一个容量为100的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，下列说法正确的是（ ）
A．样本为该单位的职工 B．每一位职工被抽中的可能性为
C．该单位职工平均体重 D．单位职工的方差
10.（多选题）（2024·河南·模拟预测）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（ ）
A．90后考生比00后考生多150人 B．笔试成绩的60%分位数为80
C．参加面试的考生的成绩最低为86分 D．笔试成绩的平均分为76分
11．（2024·山西运城·三模）下列说法正确的是（ ）
A．已知，，则
B．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11
C．若随机变量，，则
D．已知关于的回归方程为，则样本点的残差的绝对值为
12．（2024·安徽芜湖·三模）下列说法正确的为（ ）
A．在回归模型的残差分析中，决定系数越接近1，意味着模型的拟合效果越好
B．数据的标准差为，则数据的标准差为
C．已知随机变量，若，则
D．在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是对立事件
13．（2024·湖北黄冈·模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．8道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数
B．100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取8件，其中的次品数
C．设随机变量，，则
D．设M，N为两个事件，已知，，，则
14.已知个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为 ．
15.商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果．它与项目落地国的商业环境，政府执政能力，法律生态等都有重大的关联．如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表．
项目落地国 中国 南亚某国
投资额x（亿元） 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14
利润y（亿元） 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15
请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为 ．参考数据和公式：，中国，南亚某国，，．
16.害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为 .
17.为了反映城市的人口数量x与就业压力指数y之间的变量关系，研究人员选择使用非线性回归模型对所测数据进行拟合，并设，得到的数据如表所示，则 .
x 4 6 8 10
z 2 c 5 6
18．某批零件的尺寸服从正态分布，且，规定时零件合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则的最小值为 .
19．某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做 次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）．
20.某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有20人每周的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学生中随机抽取的15人中有7人每周的体育锻炼时长超过6小时，估计班级学生的总人数为 ．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过6小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值）
21.某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大.
22.（2024·江苏·高三专题练习）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题答对与否相互独立．若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总得分的数学期望为 ，方差为 ．
23.（2024·广东·高三专题练习）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则 ， ．
24.（2024·重庆·高三专题练习）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为 ．
25．（2024·福建·模拟预测）设是一个随机试验中的两个事件，若，则 ．
26.（2024·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则
27.（2024·河南·模拟预测）设同一随机试验中的两个事件A，B满足，，，则 .
28.甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为 ，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为 .
29．校乒乓球锦标赛共有位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军，实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中 最好，次之， …，最差，假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且 当与比赛时，获胜的概率为p，其中 ，求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员与之间进行的概率为 。
30.某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ．
30.如图，一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 步回到点 的概率 ，则 ， .
31.（2024·广东佛山·统考二模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 ．
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6.2 概率与统计常考小题归类
考点分布 考查频率 命题趋势
统计图表、方差、平均数、中位数 2024年II卷第4题，5分 2023年上海卷第14题，4分 2022年甲卷第2题，5分 预测2025年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现，考查逻辑推理与数学运算两大核心素养．（2）热点是古典概型和条件概率与全概率公式。.
古典概型 2024年I卷第14题，5分 2024年甲卷第16题，5分 2023年乙卷第9题，5分 2023年甲卷第4题，5分
相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 2022年乙卷第10题，5分
回归方程、正态分布 2024年I卷第9题，6分 2023年天津卷第7题，5分
概率与统计小题是每年高考必考的内容．一是求统计图表、方差、平均数；二是求古典概型；三是相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．多以选择、填空题的形式考查，难度容易或中等．
1．（2024·全国Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【详解】对于 A, 据频数分布表可知, ,所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；
对于B，亩产量不低于的频数，所以低于的稻田占比，故B错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误.故选；C.
2．（2024·全国Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出.
【详解】依题可知，，所以，
故，C正确，D错误；
因为，所以，
因为，所以，
而，B正确，A错误，故选：BC．
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ．
【答案】
【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，故有10种，
当，则，则为：，
，故有16种，
当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为.故答案为：
4．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
【答案】/0.5
【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为.
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以.
从而.记.
如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，两式相减即得，故.
所以甲的总得分不小于2的概率为.故答案为：.
5．（2024·上海·高考真题）某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为，
则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．
6．（2024年天津高考数学真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
【答案】
【解析】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到有6种可能性：，则甲参加“整地做畦”的概率为：；
乙选活动有6种可能性：，其中再选择有3种可能性：，
故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.
解法二：设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，则甲选到的概率为；
乙选了活动，他再选择活动的概率为故答案为：；
7．（2023年天津高考数学真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ．
【答案】 /
【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，所以，．故答案为：；．
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，
则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，
结合对称性可得所求概率.故选：C.
9．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为，记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，则，所以.故选:.
10．（2023·全国Ⅱ卷·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确.故选：ABD
11．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系
B．花瓣长度和花萼长度负相关
C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【答案】C
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，
把代入可得，C选项正确；
由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误故选：C
12．（2023·全国Ⅰ卷·高考真题）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差
【答案】BD
【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；例如，可得；
例如，可得；故A错误；对于选项B：不妨设，
可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
对于选项C：因为是最小值，是最大值，
则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，标准差，
显然，即；故C错误；对于选项D：不妨设，
则，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：BD.
13．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
【答案】 ， /
【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
所以,故答案为：，.
14．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
【答案】/．
【详解】因为，所以，因此．故答案为：．
15．（2021·全国·高考真题）在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为

，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．故选：B.
16．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【详解】
故选：B
高频考点1 抽样方法与随机数表
核心知识： 读取规则 ：按固定方向读取数字，跳过无效或重复编号，直至抽满样本量。
典例1：（2024·山东·高三专题练习）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．02 C．63 D．01
【答案】D
【解析】根据题意，依次读出的数据为65（舍去），72（舍去），08，02，63（舍去），14，07，02（舍去，重复），43（舍去），69（舍去），97（舍去），28（舍去），01.即第5个数字为01.故选:D.
变式训练
1.（2024·海南·高三校考阶段练习）某饮料厂生产A，B两种型号的饮料，每小时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，其中抽到A型号饮料15瓶，则每小时B型号饮料的产量为（ ）
A．600瓶 B．750瓶 C．800瓶 D．900瓶
【答案】B
【解析】设每小时B型号饮料的产量为，所以有，故选：B
2.（2024·重庆·校考一模）某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600．从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是（ ）
32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08
71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30
A．098 B．147 C．513 D．310
【答案】C
【解析】由题意可知得到的编号依次为231，023，147，098，513，…，
则得到的第5个编号是513.故选：C.
高频考点2 统计图表及其数字特征
核心知识：
集中趋势指标：
平均数（均值） ：反映数据集的中心位置，公式；
中位数 ：数据排序后位于中间位置的值，适用于偏态分布数据；
众数 ：数据中出现次数最多的值，常用于分类数据描述 。
离散程度指标：
方差与标准差 ：衡量数据偏离均值的程度，公式为；
极差 ：最大值与最小值的差值，反映数据范围
典例1：（2024·广东广州·校考一模）（多选）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（　　）
A．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值
【答案】CD
【解析】在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A错误；
在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，而不是不断减弱，故B错误；
在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差，故C正确；
在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值，故D正确．故选：CD．
变式训练：
1．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（ ）
A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元
【答案】B
【解析】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，超过五成，故A正确；对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比：，故B错误；
对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，
人均参保费用在，而54岁及以上人群参保比例虽，
但人均参保费用在6000，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确；
对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，
不超过5000元，故D正确.故选：B
2.（多选题）（2024·广东惠州·高三惠州一中校考阶段练习）某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100，则认为该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断，环境治理一定达标的地区是（ ）
A．甲地区：平均数为90，方差为10 B．乙地区：平均数为60，众数为50
C．丙地区：中位数为50，极差为70 D．丁地区：极差为20，80%分位数为80
【答案】AD
【解析】设每天的空气质量指数为（，2，…，10），则方差.
对于A，由，得，若这10天中有1天的空气质量指数大于100，则必有，矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都不大于100，故A正确；
对于B，假设有8天为50，有1天为140，有1天为60，此时平均数为60，众数为50，但该地区的环境治理不达标，故B错误；对于C，假设第1天为120，后面9天为50，此时中位数为50，极差为70，但该地区的环境治理不达标，故错误；对于D，如果最大值大于100，根据极差为20，则最小值大于80，这与分位数为80矛盾，故最大值不大于100，故D正确.故选：AD
高频考点3 传统线性拟合
核心知识：
求回归方程：（1）根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关．（2）利用公式，求出回归系数．（3）待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．
回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
典例1：（2024·四川成都·三模）如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】由可得：，
由可得：，
由回归方程 必过样本中心点，即过点，所以，解得，故选：C.
变式训练：
1.（2024·广东深圳·高三统考期末）某同学收集了变量，的相关数据如下：
x 0.5 2 3 3.5 4 5
y 15
为了研究，的相关关系，他由最小二乘法求得关于的线性回归方程为，经验证回归直线正好经过样本点，则 ．
【答案】69
【解析】因为线性回归方程经过样本点，所以.
因为：，所以.
所以：.故答案为：69
2.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:
单价(元)
销量(件)
由表中数据，求得线性回归方程，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为 。
【答案】/
【解析】由已知，，
又样本中心在回归直线上，即，解得，
所以回归直线方程为，
当时，，所以点在回归直线上；
当时，，所以点在回归直线左下方；
当时，，所以点在回归直线右上方；
当时，，所以点在回归直线右上方；
当时，，所以点在回归直线右上方；
当时，，所以点在回归直线左下方；
所以个样本点中在回归直线右上方的有个，
所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为，故答案为：.
高频考点4 非线性拟合处理
核心知识：采用换元法，将非线性拟合代换为线性拟合即可。
典例1：（2024·四川宜宾·校考模拟预测）下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ）
第个月 1 2 3
繁殖数量
A．百只 B．百只 C．百只 D．百只
【答案】D
【解析】由题意，两边取自然对数得，令，则，
，，
∵回归直线必过样本点的中心，∴，得，∴，则，
当时，．故选：D.
变式训练：
1.已知，之间的一组数据：
1 4 9 16
1 2.98 5.01 7.01
若与满足经验回归方程，则此曲线必过点 .
【答案】
【解析】依题意，的平均数为，的平均数为，
所以此曲线必过点.故答案为：
2.（2024·内蒙古·高三统考期末）用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A． B． C．35 D．21
【答案】B
【解析】由题意得，故，
即，故，解得.故选：B
高频考点5 传统独立性检验
核心知识：
比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法：（1）通过计算的大小判断：越大，两变量有关联的可能性越大．（2）通过计算的大小判断：越大，两变量有关联的可能性越大．
独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表．（2）根据公式，计算的观测值．（3）比较与临界值的大小关系，进行统计推断．
典例1：（2024·四川达州·统考一模）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多 D．样本中男生人数少于女生人数
【答案】C
【解析】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；
根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；
样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；
样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.故选：C.
变式训练：
1.（2024·浙江温州·高三校联考阶段练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）
选物理 不选物理 总计
男生 340 110 450
女生 140 210 350
总计 480 320 800
表一
选生物 不选生物 总计
男生 150 300 450
女生 150 200 350
总计 300 500 800
表二
试根据小概率值的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（ ）
附:
A．选物理与性别有关，选生物与性别有关 B．选物理与性别无关，选生物与性别有关
C．选物理与性别有关，选生物与性别无关 D．选物理与性别无关，选生物与性别无关
【答案】C
【解析】由题意，先分析物理课是否与性别有关：根据表格数据，
结合题干表格数据，， 因此，有充分证据推断选择物理学科与性别有关
再分析生物课是否与性别有关：根据表格数据，
结合题干表格数据，，因此，没有充分证据推断选择生物学科与性别有关故选：C
2.（2024·重庆·高三专题练习）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】设男性人数为，依题意，得列联表如下：
喜爱足球 不喜爱足球 合计
男性
女性
合计
则的观测值为，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
于是，即，解得，而，因此故选：B
高频考点6 创新类定义统计
核心知识：
典例1：（2024·辽宁沈阳·模拟预测）切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 .
【答案】1250
【详解】由题意知，所以，，
若，则，即，即，
由切比雪夫不等式知，
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，
则，解，所以估计信号发射次数n的最小值为1250.故答案为：1250
变式训练：
1.（多选题）（2024·湖北·模拟预测）教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( )
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】根据平均数与方差公式，得，
，即，．故选：BD．
2.（2024·湖北·高三校联考开学考试）定义空间直角坐标系中的任意点的“数”为：在点的坐标中不同数字的个数，如：，若点的坐标，则所有这些点的“数”的平均值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，点的坐标中不同数字的个数，可分为三类：
（1）恰有3个相同数字的排列为种，则共有个；
（2）恰有2个相同数字的排列为种，则共有个；
（3）恰有0个相同数字的排列为种，则共有个；
所以平均值为故选：A.
3.（多选题）为了估计一批产品的不合格品率，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为的样本，定义，于是，，，记（其中或1，），称表示为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．根据以上原理，下面说法正确的是（ ）
A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的
B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的
C．
D．达到极大值时，参数的极大似然估计值为
【答案】BCD
【解析】极大似然是一种估计方法，A错误；
设鲤鱼和草鱼的比例为，则出现80条鲤鱼，20条草鱼的概率为，
设，
时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，
故当时，最大，故B正确；根据题意，（其中或1，），
所以，可知C正确；
令，解得，且时，时，故在上递增，在上递减，故达到极大值时，参数的极大似然估计值为，故D正确.故选：BCD
高频考点7 正态分布
核心知识：
典例1：（2024·重庆·高三校考阶段练习）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（ ）

A．Y的数据较X更集中 B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D．
【答案】D
【解析】观察图象知，，
对于A，的密度曲线瘦高、的密度曲线矮胖，即随机变量的标准差小于的标准差，即，
因此Y的数据较X更集中，A正确；
对于B，显然，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确；
对于C，显然，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确；
对于D，显然，因此，D错误.故选：D
变式训练：
1.（2024·山东·模拟预测）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A．236 B．246 C．270 D．275
【答案】B
【解析】由题可知，，，所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天．故选：B．
2.某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ．
附：，则，．
【答案】
【解析】①根据题意：投篮命中的次数服从二项分布，所以（次），
故该同学投中次数的期望为20次；
②由该同学n次投篮总得分在区间，则该同学n次投篮命中次数在区间，
，
又因为，所以，
根据服从标准正态分布，可知，所以，
则n需满足，故n的最小值为，故答案为：；.
高频考点8 超几何分布与二项分布
核心知识：
典例1：（2024·江苏常州·高三校考期中）设随机变量，记，．在研究的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值；若不为正整数，则当且仅当取的整数部分时，取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
【答案】17
【解析】继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数服从二项分布，
由，结合题中结论可知，时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的4次，所以出现17次的概率最大.故答案为：17.
变式训练：
1.（2024·上海浦东新·高三统考期末）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为 （结果精确到0.01）．
【答案】0.25
【解析】从这批产品中抽取3件，则事件总数为，其中恰好有一件二等品的事件有，
所以恰好有一件二等品的概率为.故答案为：0.25
2.（2024·浙江金华·校联考模拟预测）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ．
【答案】
【解析】一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种，
两枚骰子点数之和为5的情况有4种，两枚骰子点数之和为6的情况有5种，
在一次试验中，出现成功试验的概率，设出现成功试验的次数为，则，
所以重复做这样的试验4次，则恰出现一次成功试验的概率为， 答案：．
高频考点9 随机变量的分布列、期望、方差
核心知识：
典例1：“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知，
由二项分布的数学期望公式与方差公式可知：，.
由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4，
，，，
，，
，.故选：D.
变式训练：
1.飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】，即投掷1次到达终点，故第一次投掷的点数为3，故，
，即投掷2次到达终点，故第一次投掷的点数不为3，
第二次投掷的点数可根据第一次投掷的点数来唯一确定，
两次投掷的点数有以下的情况，，故，
，即投掷3次到达终点，前两次投掷均没有到达终点，，……，
，即投掷次到达终点，前次投掷均没有到达终点，，
故①，
②，则①-②得，
故. 故选：B
2．a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若有放回的摸出n个球，每次摸到白球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故，，其中.
期望，方差.
若一次性摸出n张卡牌，随机变量的可能取值有、、，则，，
由结论（苏教版2019第121页）：当时，，得，
故，选项C正确；特别地，取，，其中.
的分布为，
0 1 2
期望，方差 随机变量的可能取值有、、，
则，，，
所以，，.
显然；；.故ABD不正确.故选：C.
高频考点10条件概率与全概率
核心知识：
典例1：（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为 ；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为 .（结果均以既约分数表示）
【答案】
【详解】设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则；
设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D，
根据题意得，，，，
则，
所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为.故答案为：；.
变式训练：
1．（2024·浙江·模拟预测）已知，，，则 .
【答案】/
【详解】,，，
即，则.故答案为：
2．（2024·湖北荆州·三模）天道酬勤，勤能补拙，努力的人得到的结果也许不尽如人意，虽然问心无愧的他们往往能平静看待生活中的点点滴滴，后悔这个词离他们似乎很遥远，但面对不顺时，他们有时候也会反思一些细节，情不自禁的流下悔恨的泪水.其实每个人在生活中都曾有过后悔的经历，即便是懒惰成性，不思进取的人，遇到挫折时，他们中也会有人会反思过去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往会流下悔恨的泪水.某位经验丰富的班主任老师，从高一开始，一直在反复告诫自己的学生：珍惜当下，积极进取，争做高考后无怨无悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者.一晃三年过去了，这位班主任老师结合学生三年的表现，调查发现，自己任教的班级勤懒生人数之比为，结合自己对以前毕业于自己班的学生高考后的表现发现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.020.展望本届学生高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考后流下悔恨的泪水，若真如该老师所料，有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒生的概率为 （结果用既约分数表示）
【答案】
【详解】记事件“抽取学生是勤生”， 事件“抽取学生是懒生”， 事件“抽取学生流下了悔恨的泪水”，则依题意有，，;
同理，，
故,
.故答案为：
3.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，，，，
所以，
，综上ABD说法正确，C说法错误；故选：C
高频考点11 新赛制概率问题
核心知识：
典例1：通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检.单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等.调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.0005.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X次，采用“5合1”混检方式共需检测Y次，已知当时，，据此计算的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，
若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，故这10人组检测次数的期望为，相当于每个个体平均检测次，
同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，
∴.故选：B
变式训练：
1.（2024·河南信阳·高二统考期末）2022年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队与法国队在120分钟比赛中战平，经过四轮点球大战阿根廷队以总分战胜法国队，第三次获得世界杯冠军．其中门将马丁内斯扑出法国队员的点球，表现神勇，扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．若不考虑其他因素，在点球大战中，门将在前四次扑出点球的个数X的期望为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为．
门将在前四次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，4．，
，，1，2，3，4．期望．故选：C．
2.在立德学校举办的春季运动会上，甲、乙两位教师进行某项比赛，采取七局四胜制（当一人赢得四局时就获胜，比赛结束）．根据甲、乙两人多次比赛的成绩统计，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，设各局比赛结果相互独立，则乙在第一局负的情况下获胜的概率是 ．
【答案】
【解析】由题意可得：乙在第一局负的情况下获胜，则乙还需要胜四局比赛．
若再比赛四局乙获胜，则概率为；若再比赛五局乙获胜，则概率为；
若再比赛六局乙获胜，则概率为；
综上所述：乙在第一局负的情况下获胜的概率是．故答案为：．
高频考点12 概统结合问题
核心知识：
典例1：某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．则当漏诊率时，误诊率 .
【答案】
【解析】依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，
所以，解得：，
由右边的频率分布直方图可得.故答案为：
变式训练：
1.某校高三年级有男生660人，女生440人，现按性别用分层随机抽样的方法从高三年级所有学生中抽取5人组成某活动志愿者小队，再从被抽取的这5人中抽取2人作为志愿者小队队长，则恰有1名男队长的概率为 .
【答案】/0.6
【解析】由分层抽样知，所抽取的这5人中有3男2女，所以恰有1个男队长的概率.
故答案为：
2.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则抽到的次品的个数小于2的概率约为 ．（参考数据：）
【答案】0.74/
【解析】由已知，，，
所以抽到的次品的个数小于2的概率为，故答案为：0.74.
高频考点13 递推型概率命题（马尔科夫链）
核心知识：
典例1：（2024·湖北·校联考模拟预测）盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：
（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为 ；
（2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为 .
【答案】 /
【解析】（1）设取出红球的个数为,则的可能取值为.,
,,
的分布列为
（2）次取完表示最后一次是红球，则前次中有一次取得红球，所以
故答案为：；
变式训练：
1.“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，已知该粒子的初始位置在2号仓. 则粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率=

【答案】
【解析】记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为，则，消去，得，即，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，
；故答案为：
2.（2024上·甘肃·高三统考阶段练习）某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为 .
【答案】
【解析】当且时，若甲在第天选择了餐厅，那么在第天有的可能性选择餐厅，
若甲在第天选择了餐厅，那么在第天有的可能性选择餐厅，
所以第天选择餐厅的概率，
即，所以.
又由题意得，，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.故答案为：
1.（2024·青海西宁·高三统考期末）用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（ ）
A．8人 B．6人 C．4人 D．2人
【答案】D
【解析】由题可知，男居民选取人，女居民选取人，
则女居民比男居民多选取2人.故选：D.
2.豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图．根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法错误的是（ ）
A．的值是
B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星
C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则
D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件
【答案】C
【解析】对A选项，参与评价的观众中有的评价不低于二星，
则，所以，故A正确；
对B选项，随机抽取名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B正确；
对C选项，因为，则，故C错误；
对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，
事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确.故选：C.
3.对于独立性检验，下列说法中错误的是（ ）
A．的值越大，说明两事件相关程度越大
B．的值越小，说明两事件相关程度越小
C．时，则在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件与有关
D．时，则可以大概率认为事件与有关
【答案】C
【解析】对于A,B,因观测值，的值越大，越大，事件A与事件B关系越强；反之，事件A与事件B关系越弱,故A,B项均正确；
对于C，D，因只有时，说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件与有关，而，故C错误；D正确.故选：C.
4.（2024·甘肃兰州·统考一模）一组数据的平均数为，现定义这组数据的平均差.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图
根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小.
甲乙两图的纵坐标表示的为频率/组距，即指数据落在此处的概率，甲图中，不同组距区间的概率相差不大，即指数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处指代的区间，其他区间分布的比较少，故乙图平均差比较小.故选：C
5.（2024·江西九江·统考一模）恩格尔系数(Engel’sCoefficien)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图.
给出三个结论：①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．②③
【答案】C
【解析】由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，
故两者之间存在负相关关系，结论①正确；恩格尔系数越小，居民人均可支配收入越多，经济越富裕，结论②正确；家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品，结论③错误.故选：C
6.抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为，则随机变量的数学期望（ ）
A．大于2 B．小于2 C．等于2 D．与2的大小无法确定
【答案】B
【解析】由题意，在第次结束抛掷的概率为，第100次结束的概率为，
所以，
则，
故，
所以.故选：B
7.（2024·湖北·高三专题练习）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位：Q元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示：
时间t/（单位：天） 10 20 70
销售价格Q（单位：元/千克） 100 50 100
根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系：.利用你选取的函数模型，在以下四个日期末，杨梅销售价格最低的日期为（ ）
A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日
【答案】C
【解析】根据表中数据，描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调函数，函数在时均为单调函数，这与表格中的数据不吻合，
所以应选取进行描述，将表中数据代入可得
，解得，所以，
，所以当时杨梅销售价格最低，
而6月5日时，6月15日时，6月25日时，7月5日时，
所以时杨梅销售价格最低.故选：C.
8.年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
【答案】C
【解析】设等高条形图对应列联表如下：
岁及以上 岁以下 总计
男性
女性
总计
根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即；
岁以下男性比岁以下女性多，即．
根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即；
女性中岁及以上的比岁以下的多，即，
对于A，男性人数为，女性人数为，因为，所以，所以A正确；
对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为，因为，所以B正确；
对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为，
无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确；
对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为，
因为，所以，所以D正确．故选：C.
9.（多选题）（2024·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）某单位为了解职工健康情况，采用分层随机抽样的方法从5000名职工中抽取了一个容量为100的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，下列说法正确的是（ ）
A．样本为该单位的职工 B．每一位职工被抽中的可能性为
C．该单位职工平均体重 D．单位职工的方差
【答案】BCD
【解析】A项，样本为该单位的职工的健康情况，所以A项错误；
B项，由题可知，每一位职工被抽中的可能性为，所以B项正确；
C项，D项，设设男性人数为，女性人数为，
该单位全体人员体重的平均数为：，
方差，所以C、D项正确；故选：BCD.
10.（多选题）（2024·河南·模拟预测）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和扇形统计图所示，则（ ）
A．90后考生比00后考生多150人 B．笔试成绩的60%分位数为80
C．参加面试的考生的成绩最低为86分 D．笔试成绩的平均分为76分
【答案】BD
【解析】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有人，
00后的考生有人，可得人，所以A不正确；
对于B中，由频率分布直方图性质，可得，
解得，则前三个矩形的面积和，
所以试成绩的分位数为分，所以B正确；
对于C中，设面试成绩的最低分为，由前三个矩形的面积和为，第四个矩形的面积为，则分，所以C不正确；
对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：
分，所以D正确.故选：BD.
11．（2024·山西运城·三模）下列说法正确的是（ ）
A．已知，，则
B．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11
C．若随机变量，，则
D．已知关于的回归方程为，则样本点的残差的绝对值为
【答案】ABD
【详解】对于A，因为，又，，所以，故A正确；对于B，将数据从小到大排列为1，2，4，5，7，11，16，21，
又，可得第百分位数为，故B正确；
对于C，因为，则，又，
所以，故C错误；
对于D，因为关于的回归方程为，所以当时，，
所以样本点的残差的绝对值为，故D正确.故选：ABD
12．（2024·安徽芜湖·三模）下列说法正确的为（ ）
A．在回归模型的残差分析中，决定系数越接近1，意味着模型的拟合效果越好
B．数据的标准差为，则数据的标准差为
C．已知随机变量，若，则
D．在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是对立事件
【答案】ABC
【详解】对于A，决定系数的值越大，残差平方和越小，拟合的效果越好，故A正确.
对于B：设数据的平均数，则的平均数为，
标准差为
，故B正确；
对于C：因为随机变量，所以，
又因为，所以，所以，故C正确；
对于D：在装有3个黑球，2个红球的袋子中随机摸出两个球，
则摸出的两个球“均为黑球”的对立事件为“摸出的两个球“不全为黑球”，故D错误.故选：ABC.
13．（2024·湖北黄冈·模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．8道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数
B．100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取8件，其中的次品数
C．设随机变量，，则
D．设M，N为两个事件，已知，，，则
【答案】ACD
【详解】对于A，8道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数服从二项分布：，故A正确；对于B，100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取8件，其中的次品数服从超几何分布，故B错误；对于C，设随机变量，，而，这表明在0附近的数据集中一些，从而，故C正确；
对于D，，∴，
则.故选：ACD.
14.已知个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】回归直线经过，且，
代入回归方程得：，即，
所以当时，的最小值为.故答案为：.
15.商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果．它与项目落地国的商业环境，政府执政能力，法律生态等都有重大的关联．如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表．
项目落地国 中国 南亚某国
投资额x（亿元） 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14
利润y（亿元） 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15
请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为 ．参考数据和公式：，中国，南亚某国，，．
【答案】
【解析】两国的平均利润分别为和，故中国的平均利润较高.根据题设数据，有，.故答案为：.
16.害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为 .
【答案】
【解析】对两边同时取对数可得；
即，可得 由可得，
代入可得，即，所以.故答案为：
17.为了反映城市的人口数量x与就业压力指数y之间的变量关系，研究人员选择使用非线性回归模型对所测数据进行拟合，并设，得到的数据如表所示，则 .
x 4 6 8 10
z 2 c 5 6
【答案】3
【解析】，，依题意，，
而回归直线方程过点，故，解得.故答案为：3
18．某批零件的尺寸服从正态分布，且，规定时零件合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】因为服从正态分布，且，
所以，
即每个零件合格的概率为，合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1.
依题意，，即，
令，则，
所以单调递减，而，
所以不等式的解集为，所以的最小值为4.故答案为：4.
19．某项实验的随机误差为实验次数．要求的概率低于，则至少需做 次实验（，在该实验的误差估计中，可认为）．
【答案】
【解析】由题可得，即，
而，所以．
又因为，所以，所以，即，
解得，故至少需做次实验．故答案为：
20.某班班主任为了解班级学生每周的体育锻炼情况进行了调查，发现班级中有20人每周的体育锻炼时长超过6小时，若从班级学生中随机抽取的15人中有7人每周的体育锻炼时长超过6小时，估计班级学生的总人数为 ．（记为抽取的每周的体育锻炼时长超过6小时的学生人数，以使得最大的班级学生的总人数为估计值）
【答案】42
【解析】设班级学生的总人数为，且，则，
记，则，易得，
由可得，
所以当时，，当时，，
所以的最大值在时取到，所以估计班级学生的总人数为42人．故答案为：42.
21.某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大.
【答案】18
【解析】继续再进行80次投掷试验，出现点数为6次数服从二项分布，
由，结合题中结论可知，时概率最大，
即后面80次中出现13次点数6的概率最大，
加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大.故答案为：18.
22.（2024·江苏·高三专题练习）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题答对与否相互独立．若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总得分的数学期望为 ，方差为 ．
【答案】 28 76.8
【解析】设该同学答对题目的数量为，因为该同学每道题答对的概率为，共答道题，
所以，所以，．
设该同学总得分为，则，，．
故答案为：；.
23.（2024·广东·高三专题练习）有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则 ， ．
【答案】
【解析】由题意得服从二项分布，且每次取到次品的概率为，所以，
所以，．故答案为：；.
24.（2024·重庆·高三专题练习）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为 ．
【答案】1.2
【解析】由题意知随机变量X服从超几何分布，其中，，，
于是次品件数X的期望，
故答案为：1.2
25．（2024·福建·模拟预测）设是一个随机试验中的两个事件，若，则 ．
【答案】
【详解】,将代入可以求得,
将，，求得故答案为：.
26.（2024·山东滨州·高三统考期末）甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则
【答案】
【解析】由题意得，，，
若发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则．
，
；
.故答案为：
27.（2024·河南·模拟预测）设同一随机试验中的两个事件A，B满足，，，则 .
【答案】/0.375
【解析】由，得；由全概率公式：，
则.故答案是：.
28.甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为 ，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为 .
【答案】
【解析】记事件“两人在自主传球环节得分之和为2分”，“甲在自主传球环节得分”，“乙在自主传球环节得分”，由题意可知，与相互独立，且，事件与互斥， 故，解得；
记事件“‘梦队’在比赛中得分不低于6分”， “甲在自主投篮环节得分”，“乙在自主投篮环节得分”，由题意可知相互独立，
则，
且事件两两互斥，
则.故答案为：；.
29．校乒乓球锦标赛共有位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军，实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中 最好，次之， …，最差，假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且 当与比赛时，获胜的概率为p，其中 ，求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员与之间进行的概率为
【答案】
【解析】一般情形：求倒数第k轮开始前剩下的选手恰好为的概率.
要实现这一点，这名选手是种子选手，即在前面的比赛中两两不能相遇，而且必须在其
全部场比赛中获胜，锦标赛树形的片树叶的填写方式有种，为使其称为种子，
我们有种方式放置最上面的2个选手，且有种方式放置其他选手，
因此其概率为，特别地，本题为的情形，
故所求概率为，故答案为：.
30.某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 ．
【答案】
【解析】因为，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即，
若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是，，，，，，，其中两人的成绩都低于的情况有6种，
分别为，
所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为.故答案为：．
30.如图，一只蚂蚁从正四面体 的顶点 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 步回到点 的概率 ，则 ， .
【答案】
【解析】由题可知，在1步后蚂蚁位于、、、点的概率分别为0，，，
故经过 2 步回到点 的概率，
，，数列是公比为的等比数列，
又，，即，故答案为：；.
31.（2024·广东佛山·统考二模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第个盒子中取到白球的概率是 ．
【答案】
【解析】记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，
所以，
，
，
进而可得，，
又，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，故答案为：；.
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