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6.3 概率与统计的综合运用解答题
考点分布 考查频率 命题趋势
统计综合： 统计图表及数字特征、独立性检验、线性拟合 2024年甲卷17题，12分 2023年乙卷第17题，12分 2023年II卷第19题，12分 2023年甲卷第17题，12分 2022年I卷第20题，12分 2022年II卷第19题，12分 预测2025年高考，概率与统计综合问题以解答题形式出现，概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等。
概率综合： 古典概型、条件概率、全概率公式、分布列、期望与方差 2024年II卷第18题，17分 2024年北京卷第18题，17分 2023年I卷第21题，12分 2023年上海卷第19题，14分 2022年甲卷第19题，12分
从近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．
1．（2024新高考Ⅱ卷·18）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
2．（2024年北京高考数学真题18）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
3．（2024年全国甲卷17）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
4．（2023新高考Ⅰ卷·21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
5．（2023年新高考Ⅱ卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
6．（2023年全国乙卷数学真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记，记的样本平均数为，样本方差为．
(1)求，；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
7．（2022新高考Ⅰ卷·20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
8．（2022新高考Ⅱ卷·19）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

9．（2022年全国乙卷数学（理）真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
10．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
高频考点1 求概率及随机变量的分布列与期望
核心知识：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
典例1：（2024·河北邯郸·高三校考阶段练习）某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．(1)求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望；
(2)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．
变式训练
1.（2024·河南驻马店·高三校联考期末）一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.
(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；
(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.
2.（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.(1)求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；(2)用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望.
高频考点2 超几何分布与二项分布
核心知识：超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．
一般地，在含有件产品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称超几何分布列。
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．此时有。
典例1：高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；
(2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）
变式训练：
1.在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
2．同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗 其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：
1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.(1)估计甲队每局获胜的概率；
(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；
(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）.
高频考点3 概率与其它知识的交汇问题
核心知识：在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类：
1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解．
2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和．
典例1：在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.在维空间中，设点，定义维向量，数量积，为坐标原点，即.
(1)在3维空间单位立方体中任取两个不同顶点，求的概率；
(2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量.
（i）当时，若最大，求的值；（ii）求的分布列及期望值.
变式训练：
2.为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为．(1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望；
(2)有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率．（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．
【变式3-1】（2024·江苏南通·统考一模）已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
(1)求概率的值； (2)求的分布列，并求其数学期望．
2.（2024·广东·统考一模）已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
（1）求概率的值；（2）求随机变量的概率分布及其数学期望.
高频考点4 期望与方差的实际应用
核心知识：数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度．现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案．（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量的期望，当时，不应认为它们一定一样好，还需要用来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．
（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．
（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．
典例1：（2024·山东潍坊·高三统考期末）某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口.(1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.(2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.
变式训练：
1.（2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考阶段练习）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：
运动鞋款式 A B C D E
回访顾客（人数） 700 350 300 250 400
满意度
注：①满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；
②对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；(3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）
2.（2024·北京海淀·高三统考期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
高频考点5 正态分布与标准正态分布
核心知识：解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴标准差分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率．注意在标准正态分布下对称轴为．
典例1：（2024·河南开封·校联考模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．附：当时，，．
变式训练：
1.（2024·江苏南通·高三校考阶段练习）某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩.(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；(2)甲 乙 丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，
2.（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用于数学学习时间的分布情况，做了全区8000名高三学生的问卷调查，现抽取其中部分问卷进行分析（问卷中满时长为12小时），将调查所得学习时间分成，，，，，6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

(1)求a的值；(2)以样本估计总体，该地区高三学生数学学习时间近似服从正态分布，试估计该地区高三学生数学学习时间在内的人数；(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在，内的学生随机抽取8人，并从这8人中再随机抽取3人作进一步分析，设3人中学习时间在内的人数为变量X，求X的期望．
高频考点6 统计图表及数字特征
核心知识：
1、制作频率分布直方图的步骤．
第一步：求极差，决定组数和组距，组距
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；
第四步：画频率分布直方图．
2、解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．
（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；
（2）直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距
（3）直方图中每组样本的频数为频率总体个数．
3、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．
（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；
（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．
典例1：睡眠是守卫健康的忠臣，小周同学就高三同学睡眠问题展开了一次调研活动：
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人
(3,4］ 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
(4,5］ 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4
(5,6］ 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12
(6,7］ 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
(7,8］ 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
(9,10］ 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2
(1)小周同学调查了振兴中学高三随机十个班级的单个学生睡眠平均时长所在区间的人数分布，请补全这张统计表（横向代表班级序号，纵向代表平均睡眠时长所在区间，框内数据代表人数）与直方图并通过直方图估计振兴中学高三同学睡眠的分位数（作图不要求写出过程）；
(2)之后，小周同学收集了随机名同学的具体平均睡眠时长，这些数据中男生有人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为与；女生有人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为与，请根据以上数据计算出这名同学的睡眠时长总方差.
(3)睡眠连续性得分是判断睡眠质量的分数度量，一般算合格.临近大型考试，小周同学用智能手表测出了考试前一周他的睡眠连续性得分，请根据图表得出两条有效信息并为他提出一条可行的睡眠建议.
变式训练：
1.某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）：
10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
甲 60 65 66 65 67 66 63
乙 57 62 63 62 64 63 60
丙 55 60 61 60 62 61 58
(1)从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率；(2)从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望；(3)记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明）
2．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和，样本方差分别记为 和．
(1)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）
(2)假设该厂计划用新设备全面投产，若生产一系列产品的指标数据不少于10.3即为质量优秀产品，以表中的频率估计概率，现从该厂生产的一批产品中随机抽取100件产品进行质量抽检，求抽检的产品中质量优秀产品的件数ξ的数学期望.
高频考点7 线性回归与非线性回归分析
核心知识：线性回归分析的原理、方法和步骤：
（1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值．（2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数．（3）相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量．（4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归．
典例1：（2024·湖南衡阳·高三校联考阶段练习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1 10分别对应年份2013 2022.

根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
表中，.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型 并说明理由；(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大
附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
变式训练：
1.（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期 1月5日 1月20日 2月5日 2月20日 3月5日 3月20日
昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数y（个） 22 25 29 26 16 12
该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验．参考公式：，．
(1)求剩余的2组数据都是20日的概率；(2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据．①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程；②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）．
2.随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为.
年份代码
中国健身器材市场规模
(1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）；(2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望.
参考数据：
其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
高频考点8 独立性检验
核心知识：解独立性检验应用问题的注意事项：（1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题．（2）在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆．（3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错．（4）对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他．
典例1：新能源汽车越来越引起广大消费者的关注，目前新能源汽车的电池有石墨烯电池、三元锂电池、铅酸电池等，其中铅酸电泡有技术成熟.成本较低、高倍率放电的特点，而石墨烯电池可以减少热量对电池的损害，提高电池的使用寿命，石墨烯电池应用到新能源汽车上.对整个汽车行业将是根本性的改变.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名驾驶者，年龄在60周岁以下的为年轻驾驶者，年龄在60周岁及以上的为中老年驾驶者，其中被调查的年轻驾驶者中偏好铅酸电池车的占，得到以下的列联表：
偏好石墨烯电池车 偏好铅酸电池车 合计
中老年驾驶者 200 100
年轻的驾驶者
合计 S00
(1)根据以上数据，完成列联表．依据小概率的独立性检验，能否认为驾驶者对这两种电池的电动车的偏好与年龄有关：(2)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶者中按年轻驾驶者和中老年驾驶者进行分层抽样，随机抽取5名驾驶者，再从这5名驾驶者中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的驾驶者中来自偏好石墨烯电池电动车的中老年驾驶者的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．参考数据：
0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001
2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
变式训练：
1.“八段锦”，起源于北宋，已有八百多年的历史. 古人把这套动作比喻为“锦”，意为五颜六色，美而华贵. 体现其动作舒展优美，视其为“祛病健身，效果极好，编排精致，动作完美”，此功法分为八段，每段一个动作，故名为“八段锦”. 作为传统养生功法，对人体有着很多的益处. 为了继续推广“八段锦”，吸引更多的老年市民练习“八段锦”，促进老年市民的延年益寿，市老体协统计了全市的男性老年人和女性老年人(不小于 60 岁的均为老年人)练习“八段锦”的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了练习“八段锦”的 200 位老年人，得到了性别与年龄的有关数据，并整理得到以下列联表：
类型 年龄 (岁) 合计
男性 36 111
女性 25
合计 200
(1)补全 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为老年人的性别与年龄是否大于 65 岁有关联 (2)在这 200 位老年人随机抽取一位，求在该老人年龄大于 65 岁的情况下，为女性老年人的概率. 附： ，其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
2.随机数广泛应用于数据加密、安全通信、金融等领域.计算机中的随机数是由算法产生的，其“随机性”的优劣取决于所采用的算法.某工厂计划生产一种随机数发生器，这种发生器的显示屏能显示1，2，3，4中的一个数字，每按一次数字更新按钮后，显示屏上的数字将等可能地更新为另三个数字中的一个.在试生产阶段，采用两种不同算法，生产出相应算法的甲、乙两种随机数发生器.为评估两种算法的优劣，从这两种随机数发生器中随机抽取150件进行检验，得到数据饼图如下：
(1)已知这150件发生器中，乙种发生器的三级品为2件.在答题卡中填写列联表；依据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两种发生器的一级品率存在差异
一级品 非一级品 合计
甲
乙
合计
(2)若发生器显示屏的初始显示数字为1，记按次数字更新按钮后得到的数字为，.（i）求，；（ii）检测一个发生器是否为一级品的方案为：每件被测发生器需进行100轮测试，每轮测试共按10次数字更新按钮；表示100轮测试得到“”的频率，规定满足的被测发生器为一级品.若某件发生器经100轮测试后得到，能否判断该发生器为一级品 附：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
高频考点9 与体育比赛规则有关的概率问题
核心知识：
1、在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用．
2、与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ．
3、在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小．
4、有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布．
典例1：（2024·福建福州·高三校考开学考试）第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．
(1)求甲通过测试的概率；(2)设为本次测试中乙的得分，求的分布列，
变式训练：
1.某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则：
(1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率；(2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p的取值范围；(3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.
2.（2024·湖南长沙·高三校考阶段练习）甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分.已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值.（参考公式）
高频考点10 决策型问题
核心知识：求解决策型问题的求解流程为：
第一步：先确定函数关系式；第二步：列出分布列，求出期望；第三步：根据期望进行最后的决策．
典例1：（2024·山东·高三专题练习）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．
变式训练：
1.（2024·福建福州·高三校考阶段练习）核酸检测也就是病毒和的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝 丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备份试验用血液标本，从标本中随机取出份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果：份阳性，份阴性.若每次检测费用为元（为常数），记检测的总费用为元.(1)当时，求的分布列和数学期望.
(2)以检测成本的期望值为依据，在与中选其一，应选哪个？
2.（2024·河北衡水·统考模拟预测）随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝 微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码x 1 2 3 4 5
使用扫码支付的人次y(单位：万人) 5 12 16 19 21
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状 大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点的回归直线为
相关数据：(其中.
高频考点11 递推型概率命题
核心知识：递推型概率命题，综合性较强，主要有以下类型：
1、求通项公式：关键与找出概率或数学期望的递推关系式，然后根据构造法（一般构造等比数列），求出通项公式.
2、求和：主要与数列中的倒序求和错位求和、裂项求和.
3、利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.
典例1：（2024·山东·高三校考阶段练习）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．(1)求的值，并探究数列的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
变式训练：
1.（2024·贵州黔西·高三兴义第一中学校联考阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.(1)求，和，；(2)证明：为等比数列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
2.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为．
(1)求和．(2)证明：为等比数列．(3)求的数学期望（用n表示）．
高频考点12 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
核心知识：1、一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
2、全概率公式:
3、贝叶斯公式一般地，当且时，有
典例1：如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室 室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.
(1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求；(2)若，求两个粒子经过2号门后都为上旋状态的概率；(3)求的分布列和数学期望.
变式训练：
1.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和.试解决一下问题：(1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；(2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．
2.（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名．(1)若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率．(2)现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分，后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为X，求X的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率．
1．（2024·山东·模拟预测）近年来，马拉松比赛受到广大体育爱好者的喜爱.某地体育局在五一长假期间举办比赛，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.现抽取了200名候选者的面试成绩，并分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
男生 女生 合计
被录取 20
未被录取
合计
(1)求；(2)估计候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)在抽出的200名候选者的面试成绩中，若规定分数不低于80分的候选者为被录取的志愿者，已知这200名候选者中男生与女生人数相同，男生中有20人被录取，请补充列联表，并判断是否有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.附：，其中.
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
2．（2024·湖南邵阳·三模）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中，.(1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程.(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
性别 佩戴头盔 合计
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合计 22 18 40
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：，，，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
3．（2024·江西九江·三模）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如下表所示：
行驶里程万 0.0 0.4 1.0 1.6 2.4 2.8 3.4 4.4
轮胎凹槽深度 8.0 7.8 7.2 6.2 5.6 4.8 4.4 4.0
(1)求该品牌轮胎凹槽深度与行驶里程的相关系数，并判断二者之间是否具有很强的线性相关性；（结果保留两位有效数字）；(2)根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为（当凹槽深度低于时刹车距离增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎）.某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全部更换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶情况下，更换新轮胎后继续行驶约多少公里需对轮胎再次更换？
附：变量与的样本相关系数；对于一组数据，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
4．（2024·河南郑州·三模）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
(1)求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；(2)请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
附：样本相关系数，．
5．（2024·重庆九龙坡·三模）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两个对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者获得第三名：最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立.
(1)若，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签决定两两对阵，两场比赛的胜者晋级到冠军决赛，败者参加三、四名比赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
6．（2024·新疆喀什·三模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：） 54 58 60 63 64
件数（单位：件） 5 25 45 20 5
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
参考数据：若随机变量，则，，
7．（2024·安徽合肥·三模）在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为、，且各场比赛互不影响．(1)若，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为，求的分布列和数学期望；(2)设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试求当取何值时，取得最大值．
8．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望；(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
9．（2024·山东青岛·三模）为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于 的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表 （单位:人):
性別 身高 合计
低于 不低于
女 14 5 19
男 8 10 18
合计 22 15 37
(1)依据 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
(2)从身高不低于的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望.(3)若低于的8 名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于的10名男生身高数据的平均数为，方差为 .请估计该中学男生身高数据的平均数和方差.
附: .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
10．（2024·广东汕头·三模）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．(1)若每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.(2)已知第一局目前比分为10∶10，求（ⅰ）再打两个球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率；
11．（2024·浙江绍兴·三模）如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行.(1)求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率；(2)在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望；(3)设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）.
12．为了让高三同学们在紧张的学习之余放松身心，缓解压力，激发同学们的竞争意识，培养积极向上的心态，为高三生活增添一抹别样的色彩，某校高三（1）班利用课余时间开展一次投篮趣味比赛．已知该班甲同学每次投篮相互独立，每次投篮命中的概率为，且次投篮至少命中次的概率为．
(1)求；(2)若甲同学连续投篮次，每次投进记分，未投进记分，记甲同学的总得分为，求的分布列和数学期望；(3)若甲同学投篮时出现命中就停止投篮，且最多投篮次，设随机变量为投篮的次数，证明：．
13.（2024·河南南阳·高三校考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400．
(1)求a，b，c，d的值；(2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
①求在各组应该抽取的人数；②在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
14.（2024·云南昆明·统考一模）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.(1)求一个问题的应答被采纳的概率；(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.
15.（2024·江苏苏州·校联考模拟预测）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：）
16.（2024·全国·模拟预测）乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利的选手获胜，且该场比赛结束．已知甲、乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲运动员每局比赛获胜的概率为，每局比赛无平局，且每局比赛结果互不影响．(1)若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为，求乙每局比赛获胜的概率；(2)若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为，求的分布列和数学期望，并求当为何值时，最大．
17．组合投资需要同时考虑风险与收益．为了控制风险需要组合低风险资产，为了扩大收益需要组合高收益资产，现有两个相互独立的投资项目A和B，单独投资100万元项目A的收益记为随机变量X，单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y．若将100万资金按进行组合投资，则投资收益的随机变量Z满足，其中．假设在组合投资中，可用随机变量的期望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.(1)若，，求Z的期望与方差；
(2)已知随机变量X满足分布列：
X … …
… …
随机变量Y满足分布列：
Y … …
… …
且随机变量X与Y相互独立，即，，．求证：；
(3)若投资项目X是高收益资产，其每年的收益满足：有30%的可能亏损当前资产的一半；有70%的可能增值当前资产的一倍．投资项目是低风险资产，满足．试问能否满足投资第1年的收益不低于17万，风险不高于500？请说明理由．
18.高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为．(1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率；(2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望．(3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望．（结果四舍五入保留整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，
19．2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.(1)令，则，且，求，并证明：；(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题.（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；
（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据：，则，，.
20．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．
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6.3 概率与统计的综合运用解答题
考点分布 考查频率 命题趋势
统计综合： 统计图表及数字特征、独立性检验、线性拟合 2024年甲卷17题，12分 2023年乙卷第17题，12分 2023年II卷第19题，12分 2023年甲卷第17题，12分 2022年I卷第20题，12分 2022年II卷第19题，12分 预测2025年高考，概率与统计综合问题以解答题形式出现，概率统计在高考中扮演着很重要的角色，概率统计解答题是新高考卷及多数省市高考数学必考内容，考查热点为古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等。
概率综合： 古典概型、条件概率、全概率公式、分布列、期望与方差 2024年II卷第18题，17分 2024年北京卷第18题，17分 2023年I卷第21题，12分 2023年上海卷第19题，14分 2022年甲卷第19题，12分
从近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问题．
1．（2024新高考Ⅱ卷·18）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设，（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1)(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，，
，，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，同理
，
因为，则，，则，
应该由甲参加第一阶段比赛.
2．（2024年北京高考数学真题18）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估值大于（i）中估计值
【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得.
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，，，
故 故（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为，
故（万元），从而.
3．（2024年全国甲卷17）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解
【详解】（1）根据题意可得列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
可得，因为，所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
4．（2023新高考Ⅰ卷·21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，.
（2）设，依题可知，，则，
即，构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，所以当时，，故．
5．（2023年新高考Ⅱ卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；
(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．
【解析】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，
所以，解得：，．
（2）当时， ；
当时， ,
故，所以在区间的最小值为．
6．（2023年全国乙卷数学真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记，记的样本平均数为，样本方差为．
(1)求，；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
【解析】（1），
，，
的值分别为: ，故
（2）由（1）知:，，故有,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
7．（2022新高考Ⅰ卷·20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)；
【详解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以所以，
(ii) 由已知，，
又，，所以
8．（2022新高考Ⅱ卷·19）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

【答案】(1)岁；(2)；(3)．
【详解】（1）平均年龄
（岁）．
（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以
．
（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，
则由已知得：,
则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．
9．（2022年全国乙卷数学（理）真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
【解析】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．
则该林区这种树木的总材积量估计为
10．（2021·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
高频考点1 求概率及随机变量的分布列与期望
核心知识：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
典例1：（2024·河北邯郸·高三校考阶段练习）某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．(1)求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望；
(2)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．
【解析】（1）取值可能为，；
；，所以的分布列为
0 10
．
（2）由（1）可知在一局比赛中，乙获得10分的概率为，乙获得0分的概率为，乙获得分的概率为．
在3局比赛中，乙获得30分的概率为；
在3局比赛中，乙获得20分的概率为；
在3局比赛中，乙获得10分的概率为，
所以乙最终获胜的概率为．
变式训练
1.（2024·河南驻马店·高三校联考期末）一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.
(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；
(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.
【解析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，则
故所求的概率为.
（2）由题意知可能的取值为，
则，
则的分布列为
0 2 4
2.（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）某校高一年级开设建模，写作，篮球，足球，音乐，朗诵，素描7门选修课，每位同学须彼此独立地选3门课程，其中甲选择篮球，不选择足球，丙同学不选素描，乙同学没有要求.(1)求甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率；(2)用表示甲、乙、丙选中建模的人数之和，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）由题意，甲选择篮球，并在建模，写作，音乐，朗诵，素描5门里再选2门，则选中建模的概率为；乙同学没有要求，则选中建模的概率为.
故甲同学选中建模且乙同学未选中建模的概率为.
（2）由（1）甲选中建模的概率为，乙选中建模的概率为，丙选中建模的概率为，
由题意可能的取值有0，1，2，3，故，
，
，.
故的分布列：
0 1 2 3
.
高频考点2 超几何分布与二项分布
核心知识：超几何分布与二项分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．
一般地，在含有件产品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称超几何分布列。
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．此时有。
典例1：高三（1）班有名同学，在某次考试中总成绩在分（含分）以上的有人：甲、乙、丙、丁；在分—分之间的有人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过分的有人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
(1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率；
(2)从数学成绩超过分的同学中随机抽取人.①采取不放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的分布列和期望；②采取放回抽样方式抽取，记为成绩在分—分之间的同学的个数，求的值.（直接写出结果）
【解析】（1）解法一：记事件所抽取的学生的数学成绩超过分，则，
记事件所抽取的学生的总成绩超过分，则，所以.
即任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为；
解法二：数学成绩超过分的有人，其中包含总成绩超过分以上的有人，
所以任取一人，在数学成绩超过分的条件下，总成绩超过分的概率为
（2）①名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，
所以所有可能的取值为：、、、，
，，
，.所以的分布列为：
.
②名数学成绩超过分的同学包含个总成绩在分之间的，
按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量，所以.
变式训练：
1.在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
【解析】（1）由已知，解得，
所以平均数为.
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，所以，，则分布列为
期望；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则，即，
即，解得，又，且，则.
2．同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗 其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：
1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.(1)估计甲队每局获胜的概率；
(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；
(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）.
【解析】（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为，
用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
可得：，，
，，所以的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，
设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，
因两队积分相等，所以，即，则，
而，，
，
所以
，因为，所以两队积分相等的概率小于.
高频考点3 概率与其它知识的交汇问题
核心知识：在知识交汇处设计试题是高考命题的指导思想之一，概率作为高中数学具有实际应用背景的主要内容，除与实际应用问题相交汇，还常与排列组合、函数、数列等知识交汇．求解此类问题要充分理解题意．根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化．这类题型具体来说有两大类：
1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题．求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解．
2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为关于某一变量的函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系式，再通过构造特殊数列求通项或求和．
典例1：在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.在维空间中，设点，定义维向量，数量积，为坐标原点，即.
(1)在3维空间单位立方体中任取两个不同顶点，求的概率；
(2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量.
（i）当时，若最大，求的值；（ii）求的分布列及期望值.
【解析】（1）记“”为事件，
满足题意的两点坐标为，则.
（2）（i）当随机变量时，坐标与中有个对应的坐标值均为1即，剩下个坐标值满足，此时所对应情况数为种，即，
当时，设，要使得最大，
则，即，所以；
因此，即，综上可知，时取最大值.
（ii）由（i）可知，，故分布列为：
0 1 … …
… …
所以
，
设，则，令可知，
设，则，
令可知，，故.
变式训练：
2.为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为．(1)求甲选手得分X的分布列及其数学期望；
(2)有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率．（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．
【解析】（1）甲选手得分X的取值可为0，1，2，3，
，．
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
X的数学期望是．
（2）（i）X的分布函数为；
（ii）设随机变量Y的分布函数为， 若，此时；若，由题意设，
当时，有，又因为，所以，即，
所以；若，此时，
综上所述，．
【变式3-1】（2024·江苏南通·统考一模）已知正六棱锥的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
(1)求概率的值；
(2)求的分布列，并求其数学期望．
【解析】分析：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中面积的三角形有个，由古典概型概率公式可得结果；(2)的可能取值，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望．
（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，
共有种取法，其中的三角形如，
这类三角形共有个
因此.
（2）由题意，的可能取值为
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
因此
所以随机变量的概率分布列为：
所求数学期望
.
2.（2024·广东·统考一模）已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
（1）求概率的值；（2）求随机变量的概率分布及其数学期望.
【解析】（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，
共有种取法.其中的三角形如，这类三角形共有个.因此.
（2）由题意，的可能取值为，2，.
其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；
其中的三角形有两个，和.因此，.
所以随机变量的概率分布列为：
2
所求数学期望.
高频考点4 期望与方差的实际应用
核心知识：数学期望反映的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反映随机变量取值在其平均值附近的离散程度．现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差来对事件发生大小的可能性和稳定性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案．（1）若我们希望实际的平均水平较理想，则先求随机变量的期望，当时，不应认为它们一定一样好，还需要用来比较这两个随机变量的方差，确定它们的偏离程度．
（2）若我们希望比较稳定性，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近．
（3）方差不是越小就越好，而是要根据实际问题的需要来判断．
典例1：（2024·山东潍坊·高三统考期末）某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口.(1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.(2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.
【解析】（1）应选择第一条路线，
理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、，则，，
，，，所以；
又，，，
所以；因为，所以应选择第一条路线.
（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为，
所以；，
设随机变量，取值为，其概率分别为，且，
所以
又因为，所以.
变式训练：
1.（2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考阶段练习）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：
运动鞋款式 A B C D E
回访顾客（人数） 700 350 300 250 400
满意度
注：①满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；
②对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；(3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）
【解析】（1）由题意知，是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为，
故从所有的回访顾客中随机抽取1人，此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．
（2）的取值为0，1，2．设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
且事件与相互独立．根据题意，，．
则，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
0.24 0.52 0.24
的期望是：．（3）都服从两点分布，，，
，，所以.
2.（2024·北京海淀·高三统考期末）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
【解析】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.
（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，
分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，
分别是第2场、第5场、第8场、第9场.所以的所有可能取值为0，1，2.
，，. 所以的分布列为
0 1 2
所以.
（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以
，，
故.
高频考点5 正态分布与标准正态分布
核心知识：解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴标准差分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率．注意在标准正态分布下对称轴为．
典例1：（2024·河南开封·校联考模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．
附：当时，，．
【解析】（1）由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为，
由且，可得，由，可得，
估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分.
（2）若，则，，由题意可知，
，.
变式训练：
1.（2024·江苏南通·高三校考阶段练习）某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩.(1)从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；(2)甲 乙 丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，
【解析】（1）记“至少有一人进入面试”，由已知得，
所以，则，
即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.
（2）由题意可得：的可能取值为，则：，
，，
，可得随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以.
2.（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用于数学学习时间的分布情况，做了全区8000名高三学生的问卷调查，现抽取其中部分问卷进行分析（问卷中满时长为12小时），将调查所得学习时间分成，，，，，6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

(1)求a的值；(2)以样本估计总体，该地区高三学生数学学习时间近似服从正态分布，试估计该地区高三学生数学学习时间在内的人数；(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在，内的学生随机抽取8人，并从这8人中再随机抽取3人作进一步分析，设3人中学习时间在内的人数为变量X，求X的期望．
【解析】（1）由题意得，解得；
（2）
则，
所以估计该地区高三学生数学学习时间在(8，9.48]内的人数约为1087人；
（3），对应的频率比为，即为3∶1，
所以抽取的8人中学习时间在，内的人数分别为6人，2人，
设从这8人中抽取的3人学习时间在内的人数为，则的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以.
高频考点6 统计图表及数字特征
核心知识：
1、制作频率分布直方图的步骤．
第一步：求极差，决定组数和组距，组距
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；
第四步：画频率分布直方图．
2、解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．
（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；
（2）直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距
（3）直方图中每组样本的频数为频率总体个数．
3、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．
（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；
（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．
典例1：睡眠是守卫健康的忠臣，小周同学就高三同学睡眠问题展开了一次调研活动：
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人
(3,4］ 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
(4,5］ 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4
(5,6］ 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12
(6,7］ 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
(7,8］ 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
(9,10］ 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2
(1)小周同学调查了振兴中学高三随机十个班级的单个学生睡眠平均时长所在区间的人数分布，请补全这张统计表（横向代表班级序号，纵向代表平均睡眠时长所在区间，框内数据代表人数）与直方图并通过直方图估计振兴中学高三同学睡眠的分位数（作图不要求写出过程）；
(2)之后，小周同学收集了随机名同学的具体平均睡眠时长，这些数据中男生有人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为与；女生有人，平均睡眠时长与睡眠时长方差分别为与，请根据以上数据计算出这名同学的睡眠时长总方差.
(3)睡眠连续性得分是判断睡眠质量的分数度量，一般算合格.临近大型考试，小周同学用智能手表测出了考试前一周他的睡眠连续性得分，请根据图表得出两条有效信息并为他提出一条可行的睡眠建议.
【解析】（1）图表如图：由图可知，从左到右各组的频率分别为，
则，所以60%分位数位于组内，设为，
得，解得，所以60%分位数为6.475.
（2），
.
（3）信息：①临近考试时睡眠连续性得分呈下降趋势；
②考试前3天睡眠连续性得分均不合格.建议：调整心态、规律作息、不要紧张、自信迎考.
* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人
(3,4］ 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6
(4,5］ 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 60
(5,6］ 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 120
(6,7］ 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240
(7,8］ 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60
(9,10］ 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 14
变式训练：
1.某景点奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在国庆黄金周期间的日销售量数据，如下表（单位：杯）：
10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
甲 60 65 66 65 67 66 63
乙 57 62 63 62 64 63 60
丙 55 60 61 60 62 61 58
(1)从10月1日至7日中随机选取一天，求该天甲款奶茶日销售量大于65杯的概率；(2)从乙、丙两款奶茶的日销售量数据中各随机选取1个，这2个数据中大于60的个数记为，求的分布列和数学期望；(3)记乙款奶茶日销售量数据的方差为，表格中所有的日销售量数据的方差为，试判断和的大小．（结论不要求证明）
【解析】（1）对于甲款奶茶，7天中共有3天销量大于65，
设为：“该天甲款奶茶日销售量大于65杯”，则.
（2）设为：“乙款奶茶日销售量大于60杯”，为：“丙款奶茶日销售量大于60杯”，
则，，而可取，则，
而，故，故的分布列为：
故.
（3）乙款奶茶日销售量数据的平均值为，
故，
同理可得表格中所有的日销售量数据的平均值为，
，而，故.
2．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和，样本方差分别记为 和．
(1)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）
(2)假设该厂计划用新设备全面投产，若生产一系列产品的指标数据不少于10.3即为质量优秀产品，以表中的频率估计概率，现从该厂生产的一批产品中随机抽取100件产品进行质量抽检，求抽检的产品中质量优秀产品的件数ξ的数学期望.
【解析】（1），
，
，
，
依题意，，
所以，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
（2）从表中数据可得产品的指标数据不少于10.3在10次中有6次，
所以从中取一件产品为优秀的概率为，所以随机变量ξ服从，
所以抽检的产品中质量优秀产品的件数ξ的数学期望为.
高频考点7 线性回归与非线性回归分析
核心知识：线性回归分析的原理、方法和步骤：
（1）利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测．在选取数据观察的时候，要注意大量相对稳定的数据比不稳定的数据更有价值，近期的数据比过去久远的数据更有价值．（2）判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数．（3）相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量．（4）利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归．
典例1：（2024·湖南衡阳·高三校联考阶段练习）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1 10分别对应年份2013 2022.

根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
75 2.25 82.5 4.5 120 28.35
表中，.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型 并说明理由；(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大
附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【解析】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.
（2）（i）设，所以，所以，，
所以关于的经验回归方程为
（ii）由题设可得，
当取对称轴即，即时，年利润L有最大值，故该公司2028年的年利润最大.
变式训练：
1.（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期 1月5日 1月20日 2月5日 2月20日 3月5日 3月20日
昼夜温差x（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数y（个） 22 25 29 26 16 12
该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验．
参考公式：，．
(1)求剩余的2组数据都是20日的概率；(2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据．①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程；②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）．
【解析】（1）记6组依次为1，2，3，4，5，6，从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中2组数据都是20日，即都取自2，4，6组的情况有3种．
根据古典概型概率计算公式，剩余的2组数据都是20日的概率．
（2）①由所选数据，得，，
所以，所以，
所以y关于x的线性回归方程为．
②当时，，所以某日的昼夜温差为7℃，预测当日就诊人数约为14人．
2.随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为.
年份代码
中国健身器材市场规模
(1)由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）；(2)数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望.
参考数据：
其中，.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【解析】（1）两边同时取自然对数得.设，所以，
因为，，，所以.
把代入，得，可得，.
所以，即关于的回归方程为.
（2）由题意，得的所有可能取值依次为，，，，，且，
，，，
，，所以的分布列为
0 1 2 3 4
.
高频考点8 独立性检验
核心知识：解独立性检验应用问题的注意事项：（1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题．（2）在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆．（3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错．（4）对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他．
典例1：新能源汽车越来越引起广大消费者的关注，目前新能源汽车的电池有石墨烯电池、三元锂电池、铅酸电池等，其中铅酸电泡有技术成熟.成本较低、高倍率放电的特点，而石墨烯电池可以减少热量对电池的损害，提高电池的使用寿命，石墨烯电池应用到新能源汽车上.对整个汽车行业将是根本性的改变.某公司为了了解消费者对两种电池的电动车的偏好，在社会上随机调查了500名驾驶者，年龄在60周岁以下的为年轻驾驶者，年龄在60周岁及以上的为中老年驾驶者，其中被调查的年轻驾驶者中偏好铅酸电池车的占，得到以下的列联表：
偏好石墨烯电池车 偏好铅酸电池车 合计
中老年驾驶者 200 100
年轻的驾驶者
合计 S00
(1)根据以上数据，完成列联表．依据小概率的独立性检验，能否认为驾驶者对这两种电池的电动车的偏好与年龄有关：(2)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶者中按年轻驾驶者和中老年驾驶者进行分层抽样，随机抽取5名驾驶者，再从这5名驾驶者中随机抽取2人进行座谈，记2名参加座谈的驾驶者中来自偏好石墨烯电池电动车的中老年驾驶者的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．参考数据：
0．100 0．050 0．025 0．010 0．005 0．001
2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
【解析】（1）被调查的年轻驾驶者人数为，
其中偏好铅酸电池车的年轻的驾驶者人数为．
偏好石墨烯电池车的年轻的驾驶者人数为，
所以列联表为：
偏好石墨烯电池车 偏好铅酸电池车 合计
中老年驾驶者 200 100 300
年轻的驾驶者 80 120 200
合计 280 220 500
零假设：驾驶者对使用这两种电池的新能源汽车的偏好与年龄无关，
根据列联表中的数据可以求得
由于，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为驾驶者对使用这两种电池的新能源汽车的偏好与驾驶者的年龄有关．
（2）因为所有参加调查的驾驶者中，中老年驾驶者和年轻驾驶者的比为，
所以由分层抽样知，随机抽取的5名驾驶者中，中老年驾驶者有3人，年轻驾驶者有2人．
根据频率估计概率知，中老年驾驶者偏好石墨烯电池电动车的概率为，偏好铅酸电池电动车的概率为，
从选出的5名驾驶者中随机抽取2人进行座谈，则可能的取值为0，1，2．
“3名被抽取的中老年驾驶者中，恰好抽到人参加座谈”记为事件，
则．“参加座谈的2名驾驶者中是偏好石墨烯电池电动车中老年驾驶者的人数恰好为人”记为事件，则，，，
，，，
所以，
，
，故的分布列如下：
0 1 2
．
变式训练：
1.“八段锦”，起源于北宋，已有八百多年的历史. 古人把这套动作比喻为“锦”，意为五颜六色，美而华贵. 体现其动作舒展优美，视其为“祛病健身，效果极好，编排精致，动作完美”，此功法分为八段，每段一个动作，故名为“八段锦”. 作为传统养生功法，对人体有着很多的益处. 为了继续推广“八段锦”，吸引更多的老年市民练习“八段锦”，促进老年市民的延年益寿，市老体协统计了全市的男性老年人和女性老年人(不小于 60 岁的均为老年人)练习“八段锦”的情况，采用简单随机抽样的方法抽取了练习“八段锦”的 200 位老年人，得到了性别与年龄的有关数据，并整理得到以下列联表：
类型 年龄 (岁) 合计
男性 36 111
女性 25
合计 200
(1)补全 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为老年人的性别与年龄是否大于 65 岁有关联 (2)在这 200 位老年人随机抽取一位，求在该老人年龄大于 65 岁的情况下，为女性老年人的概率. 附： ，其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【解析】（1）补全 列联表如下：
类型 年龄 (岁) 合计
男性 36 75 111
女性 64 25 89
合计 100 100 200
零假设为 ： 老年人的性别与年龄是否大于 65 岁无关联.
根据列联表中的数据， 得
依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即老年人的性别与年龄是否大于 65 岁有关联，该推断犯错误的概率不大于 0.001 .
（2）设事件 “抽取的一位老年人年龄大于 65 岁”，事件 “抽取的一位老年人为女性老年人”，
法一： 所求概率为 . 法二： 所求概率为 .
2.随机数广泛应用于数据加密、安全通信、金融等领域.计算机中的随机数是由算法产生的，其“随机性”的优劣取决于所采用的算法.某工厂计划生产一种随机数发生器，这种发生器的显示屏能显示1，2，3，4中的一个数字，每按一次数字更新按钮后，显示屏上的数字将等可能地更新为另三个数字中的一个.在试生产阶段，采用两种不同算法，生产出相应算法的甲、乙两种随机数发生器.为评估两种算法的优劣，从这两种随机数发生器中随机抽取150件进行检验，得到数据饼图如下：
(1)已知这150件发生器中，乙种发生器的三级品为2件.在答题卡中填写列联表；依据小概率值的独立性检验，能否认为甲、乙两种发生器的一级品率存在差异
一级品 非一级品 合计
甲
乙
合计
(2)若发生器显示屏的初始显示数字为1，记按次数字更新按钮后得到的数字为，.（i）求，；（ii）检测一个发生器是否为一级品的方案为：每件被测发生器需进行100轮测试，每轮测试共按10次数字更新按钮；表示100轮测试得到“”的频率，规定满足的被测发生器为一级品.若某件发生器经100轮测试后得到，能否判断该发生器为一级品 附：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）根据题意可得列联表：
一级品 非一级品 合计
甲 26 24 50
乙 70 30 100
合计 96 54 150
零假设为：甲、乙两批发生器的一级品率没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以可以认为甲、乙两批发生器的一级品率存在差异，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）依题意可得.记“按次按钮后显示的数字为1”，由全概率公式，得.
（ii）由全概率公式，得，
所以，即，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即.
所以.因为，所以该发生器为一级品.
解法二：（i）依题意可得.
记“按次按钮后显示的数字为1”，“按次按钮后显示的数字为2”，
“按次按钮后显示的数字为3”，“按次按钮后显示的数字为4”，
则，且，，，两两互斥.
依据题意得，，.
由全概率公式，得
.
（ii）
所以，即，且，
所以是首项为，公比为的等比数列.所以，即.
所以. 因为，所以该发生器为一级品.
解法三：（i）依题意可得.记“按次按钮后显示的数字为1”，由全概率公式，得.
.
.
.
.
.
.
.
.
因为，所以该发生器为一级品.
高频考点9 与体育比赛规则有关的概率问题
核心知识：
1、在与体育比赛规则有关的问题中，一般都会涉及分组，处理该类问题时主要借助于排列组合．对于分组问题，要注意平均分组与非平均分组，另外，在算概率时注意“直接法”与“间接法”的灵活运用．
2、与体育比赛有关的问题中最常见的就是输赢问题，经常涉及“多人淘汰制问题”“ 三局两胜制问题”“ 五局三胜制问题”“ 七局四胜制问题”，解决这些问题的关键是认识“三局两胜制”“ 五局三胜制”等所进行的场数，赢了几场与第几场赢，用互斥事件分类，分析事件的独立性，用分步乘法计数原理计算概率，在分类时要注意“不重不漏” ．
3、在体育比赛问题中，比赛何时结束也是经常要考虑的问题，由于比赛赛制已经确定，而比赛的平均场次不确定，需要对比赛的平均场次进行确定，常用的方法就是求以场数为随机变量的数学期望，然后比较大小．
4、有些比赛会采取积分制，考查得分的分布列与数学期望是常考题型，解题的关键是辨别它的概率模型，常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布，要注意分布是相互独立的，超几何分布不是，值得注意的是，在比赛中往往是伪二项分布，有的只是局部二项分布．
典例1：（2024·福建福州·高三校考开学考试）第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．
(1)求甲通过测试的概率；(2)设为本次测试中乙的得分，求的分布列，
【解析】（1）甲通过测试包括种情况：①第一次得分，第二次得分，概率为；
②第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率为；
③第一次得分，第二次得分，第三次得分，概率为.
所以甲通过测试的概率为.
（2）的可能取值为，
，，
，，，所以的分布列为：
变式训练：
1.某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则：
(1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率；(2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p（），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p的取值范围；(3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望.
【解析】（1）设“甲担任前锋”；“甲担任中锋”；“甲担任后卫”；
“某场比赛中该球队获胜”.则：，，，
，，，
由全概率公式可得：，
所以甲参加比赛时，Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率是.
（2）设这10场比赛，Ⅰ队获胜的场数是k，则P（Ⅰ队获胜k场），
由题意，时，P（Ⅰ队获胜k场）最大，所以有，解得，
所以p的取值范围为.
（3）由题意，Ⅰ队一共需要打5场比赛，
设“5场比赛中Ⅰ队获胜i场”（，4，5），“5场比赛中Ⅰ队至少获胜3场”，
；；，
则，，
同理可得，
，则X的分布列为：
X 3 4 5
P
.
2.（2024·湖南长沙·高三校考阶段练习）甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分.已知甲每轮投中的概率是，乙每轮投中的概率是；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响.
（1）假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率；（2）①设“虎队”两轮得分之和为，求的分布列；②设“虎队”轮得分之和为，求的期望值.（参考公式）
【解析】（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，根据相互独立事件的概率公式，即可求解.
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，求得相应的概率，得到分布列；②得到，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解.（1）设甲、乙在第轮投中分别记作事件，，“虎队”至少投中3个记作事件，
则
.
（2）①“虎队”两轮得分之和的可能取值为：0，1，2，3，4，6，则，
，
，
，
，.
故的分布列如下图所示：
0 1 2 3 4 6
②，，
，，
∴，.
高频考点10 决策型问题
核心知识：求解决策型问题的求解流程为：
第一步：先确定函数关系式；第二步：列出分布列，求出期望；第三步：根据期望进行最后的决策．
典例1：（2024·山东·高三专题练习）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．
【解析】（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为，
则，解得，故的最小值为0.8．
（2）设为正常工作的设备数，由题意可知，，
，，
，，从而的分布列为：
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
（3）设方案1 方案2的总损失分别为，，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，
可知计算机网络断掉的概率为：，故万元．
采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”，
计算机网络断掉的概率为：，故万元．
因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2．
变式训练：
1.（2024·福建福州·高三校考阶段练习）核酸检测也就是病毒和的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝 丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备份试验用血液标本，从标本中随机取出份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果：份阳性，份阴性.若每次检测费用为元（为常数），记检测的总费用为元.(1)当时，求的分布列和数学期望.
(2)以检测成本的期望值为依据，在与中选其一，应选哪个？
【解析】（1）当时，共分组，
当份阳性在一组时，第一轮检测次，第二轮检测次，共检测次，
若份阳性各在一组，第一轮检测次，第二轮检测次，共检测次，
检测的总费用的所有可能值为，，任意检测有种等可能结果，份阳性在一组有种等可能结果，，，
检测的总费用的分布列为：
数学期望.
（2）当时，共分组，当份阳性在一组，共检测次，
若份阳性各在一组，共检测次，检测的总费用的所有可能值为，，
任意检测有种等可能结果，份阳性在一组有种等可能结果，
，，检测的总费用的分布列为：
数学期望，，时的方案更好一些.
2.（2024·河北衡水·统考模拟预测）随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝 微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码x 1 2 3 4 5
使用扫码支付的人次y(单位：万人) 5 12 16 19 21
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状 大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点的回归直线为
相关数据：(其中.
【解析】（1）计算知14.6，所以=10，
，所以所求的回归方程为，
当时，(万人次)，估计2021年该商场使用移动支付的有23万人次；
（2）（i）若选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为140，160，200，
，，
故X的分布列为
140 160 200
所以(元)；
（ii）若选择方案二，记需支付的金额为Y元，则Y的可能取值为160，180，190，
则其对应的概率分别为，所以，
由（1）知，故从概率角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大.
高频考点11 递推型概率命题
核心知识：递推型概率命题，综合性较强，主要有以下类型：
1、求通项公式：关键与找出概率或数学期望的递推关系式，然后根据构造法（一般构造等比数列），求出通项公式.
2、求和：主要与数列中的倒序求和错位求和、裂项求和.
3、利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.
典例1：（2024·山东·高三校考阶段练习）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．(1)求的值，并探究数列的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【解析】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
．
因为，，，所以，
所以，所以，
又因为，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
变式训练：
1.（2024·贵州黔西·高三兴义第一中学校联考阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.(1)求，和，；(2)证明：为等比数列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
【解析】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，乙盒为2白，概率为，所以，
①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
综上可知：，.
（2）经过次这样的操作.记甲盒子恰有2个黑1白的概率为，恰有1黑2白的概率为，3白的概率为，①当甲盒1黑2白，乙盒为1黑1白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为3白，概率为，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
②当甲盒2黑1白，乙盒为2白，概率为，此时：
若甲盒取黑，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
若甲盒取白，乙盒取白，此时互换，则甲盒中变为2黑1白，概率为，
③当甲盒中3白，乙盒2黑，概率为，此时：
若甲盒取白，乙盒取黑，此时互换，则甲盒中变为1黑2白，概率为，
故. ，
因此，
因此为等比数列，且公比为.
（3）由（2）知为等比数列，且公比为，首项为，
故，所以，
.
2.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为．
(1)求和．(2)证明：为等比数列．(3)求的数学期望（用n表示）．
【解析】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率；若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率，研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：
①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，
乙盒中的球仍为1白1黑，概率为；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，
概率为，
②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，
乙盒中的球变为1白1黑，概率为
若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为，
综上，.
（2）依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为，
恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为，
研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下：
①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，
乙盒中的球仍为1白1黑，概率为；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为，
②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为，此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为，
③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为，
此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为，综上，
则，
整理得，又，
所以数列是公比为的等比数列.
（3）由（2）知，则，随机变量的分布列为
1 2 3
所以.
高频考点12 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
核心知识：1、一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
2、全概率公式:
3、贝叶斯公式一般地，当且时，有
典例1：如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室 室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.
(1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求；(2)若，求两个粒子经过2号门后都为上旋状态的概率；(3)求的分布列和数学期望.
【解析】（1）设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.
事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，
故，解得或.
（2）设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，
“两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2个”，
则，
则.
（3）由题知，时分3类情形，①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态；②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态；③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，
所以，
同理，
所以所求的分布列为
X 0 1 2
P
所以所求数学期望.
变式训练：
1.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和.试解决一下问题：(1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；(2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．
【解析】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，，，，，，由全概率公式得，
，所以该航班准点放行的概率为.
（2），，
，
因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大．
2.（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名．(1)若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率．(2)现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分，后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为X，求X的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率．
【解析】（1）设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，则.
（2）由题意可知的取值可为，
前两道题答错的概率为，后两道题答错的概率也为，
，，
，，
，，
，故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 6
P
数学期望为，
因为累积计分不低于5分的学生为优秀学员，
所以张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率为.
1．（2024·山东·模拟预测）近年来，马拉松比赛受到广大体育爱好者的喜爱.某地体育局在五一长假期间举办比赛，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.现抽取了200名候选者的面试成绩，并分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
男生 女生 合计
被录取 20
未被录取
合计
(1)求；(2)估计候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)在抽出的200名候选者的面试成绩中，若规定分数不低于80分的候选者为被录取的志愿者，已知这200名候选者中男生与女生人数相同，男生中有20人被录取，请补充列联表，并判断是否有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.附：，其中.
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)(2)68.5(3)没有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关
【详解】（1）由概率和为1得：，解得；
（2）由题意知，候选者面试成绩的平均数，
所以候选者面试成绩的平均数约为68.5.
（3）由频率分布直方图知不低于80分的人数为，即被录取的共有30人，
所以被录取的女生为，又男生与女生各100人，完善列联表如下：
男生 女生 合计
被录取 20 10 30
未被录取 80 90 170
合计 100 100 200
，
所以没有的把握认为“候选者是否被录取与性别有关”.
2．（2024·湖南邵阳·三模）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5 8.7 1.9 301 385 79.75
表中，.
(1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程.
(3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
性别 佩戴头盔 合计
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合计 22 18 40
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：，，，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)更适合(2)(3)能
【详解】（1）依据散点图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型.
（2）由，得，依题意得，
，所以，即.
（3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，
此推断犯错误的概率不超过0.10.
3．（2024·江西九江·三模）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如下表所示：
行驶里程万 0.0 0.4 1.0 1.6 2.4 2.8 3.4 4.4
轮胎凹槽深度 8.0 7.8 7.2 6.2 5.6 4.8 4.4 4.0
(1)求该品牌轮胎凹槽深度与行驶里程的相关系数，并判断二者之间是否具有很强的线性相关性；（结果保留两位有效数字）；(2)根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为（当凹槽深度低于时刹车距离增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎）.某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全部更换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶情况下，更换新轮胎后继续行驶约多少公里需对轮胎再次更换？
附：变量与的样本相关系数；对于一组数据，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
【答案】(1)，具有很强的线性关系(2)6.4万公里
【详解】（1）计算得，，
由公式知，二者之间具有很强的线性关系.
（2）设轮胎凹槽深度与行驶里程的线性回归方程为，
则==
线性回归方程为 令，得
即更换新轮胎后继续行驶约6.4万公里需要对轮胎再次更换.
4．（2024·河南郑州·三模）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
(1)求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；(2)请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
附：样本相关系数，．
【答案】(1)(2)(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%
【详解】（1）由己知可得，，，由题可列下表：
0 1 2
1.3 0.4
，
．
（2）由小问1知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述．由小问1知，，
，所求经验回归方程为．
（3）令，则，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%．
5．（2024·重庆九龙坡·三模）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两个对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者获得第三名：最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立.
(1)若，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签决定两两对阵，两场比赛的胜者晋级到冠军决赛，败者参加三、四名比赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
【答案】(1)①；②；(2)答案见解析.
【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件，即甲双败，则；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，则的所有可能取值为
连败两局：，可以分为三种情形：甲第一、第二局连胜两局，第三局不管胜负；甲第一局负，第二局胜，第三局负；甲第一局胜，第二局负，第三局负；
，
可以分为三种情形：甲第一局负，第二局胜，第三局胜；甲第一局胜，第二局负，第三局胜，且第四局都不管胜负.；
故的分布列如下：
2 3 4
故数学期望；
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
6．（2024·新疆喀什·三模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：） 54 58 60 63 64
件数（单位：件） 5 25 45 20 5
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
参考数据：若随机变量，则，，
【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）由题意可知:，则，
所以
（2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则，，，，
所以；
（ii）因为，所以，
所以．
7．（2024·安徽合肥·三模）在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为、，且各场比赛互不影响．(1)若，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为，求的分布列和数学期望；(2)设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试求当取何值时，取得最大值．
【答案】(1)分布列见解析，(2)
【详解】（1）由题可知，的可能取值为．因为，所以，
，故的分布列为：
2 3 4 5
的数学期望.
（2）设一天得分不低于4分为事件，则，
则，
则，
当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值．
8．（2024·北京西城·三模）根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深圳、重庆、 广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.
(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；
(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机变量X的分布列和期望；(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量Y表示新一线城市的数量，比较E（X）与E（Y）的大小关系.（直接写出结果）
【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)
【详解】（1）10个超大城市中包含4个一线城市，
所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为.
（2）10个超大城市中包含6个新一线城市，X所有可能的取值为：.
；；
；.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
（3） 理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，
随机变量，，所以.
9．（2024·山东青岛·三模）为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于 的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表 （单位:人):
性別 身高 合计
低于 不低于
女 14 5 19
男 8 10 18
合计 22 15 37
(1)依据 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联
(2)从身高不低于的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望.(3)若低于的8 名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于的10名男生身高数据的平均数为，方差为 .请估计该中学男生身高数据的平均数和方差.
附: .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)可以认为性别与身高有关联(2)分布列见解析，1(3)平均数为174，方差为59
【详解】（1）解：零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联
根据列联表中的数据，经计算得，
由此可知根据小概率值 的独立性检验，零假设不成立，可以认为性别与身高有关联
（2）解：由题意，可得随机变量的可能取值为，
可得
所以随机变量的分布列为:
0 1 2 3
所以，期望为，
（3）解：由题意知，18名男生身高数据的平均数，
18 名男生身高数据的方差
，
所以，该中学男生身高数据的平均数为174，方差为59.
10．（2024·广东汕头·三模）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．(1)若每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.(2)已知第一局目前比分为10∶10，求（ⅰ）再打两个球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率；
【答案】(1)(2)（ⅰ）分布列见详解，；（ⅱ）
【详解】（1）因为甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则，
设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立，所以的所有可能取值为，
可得；
故该场比赛甲获胜的概率.
（2）（ⅰ）依题意，的所有可能取值为
设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，
所以，
.
所以的分布列为
0 1 2
故的均值为；
（ⅱ）设第一局比赛甲获胜为事件，则.
由（ⅰ）知，，由全概率公式，得
解得，即第一局比赛甲获胜的概率.
11．（2024·浙江绍兴·三模）如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点出发，再次回到顶点时停止爬行.
(1)求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点的概率；(2)在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为，求的分布列及其数学期望；(3)设电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到顶点）的概率记为，求（用表示）.
【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)
【详解】（1）记事件“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，
“电子蛐蛐爬行的第米终点为”，“电子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，
则
（2）记事件“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米”
的可能取值为2，3，4，根据条件概率的知识，可得的分布列为
，，
，用表格表示的分布列为：
2 3 4
．
（3）（，）① ②
②－①得： ，
12．为了让高三同学们在紧张的学习之余放松身心，缓解压力，激发同学们的竞争意识，培养积极向上的心态，为高三生活增添一抹别样的色彩，某校高三（1）班利用课余时间开展一次投篮趣味比赛．已知该班甲同学每次投篮相互独立，每次投篮命中的概率为，且次投篮至少命中次的概率为．
(1)求；(2)若甲同学连续投篮次，每次投进记分，未投进记分，记甲同学的总得分为，求的分布列和数学期望；(3)若甲同学投篮时出现命中就停止投篮，且最多投篮次，设随机变量为投篮的次数，证明：

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