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平行线的性质定理
1．平行线性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角 ．简称：两直线平行，同位角 ．如图所示，因为AB∥CD，所以 ．
2．平行线性质定理Ⅱ：(1)两条平行直线被第三条直线所截，内错角 ．简称：两直线平行，内错角 ．如图所示，因为AB∥CD，所以 ．
(2)两条平行直线被第三条直线所截， 互补．简称：两直线平行， 互补．如图所示，因为AB∥CD，所以 ．
在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，若没有两直线平行的条件，以上结论是不成立的．
平行线的性质
典例1 [2024·乐山]如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝ ．
典例1图
本题考查了平行线的性质，注意利用邻补角将∠1和∠2转化为同位角关系，再利用两直线平行同位角相等求解．
变式 [2024·福建]在同一平面内，将直尺、含30°角的三角板和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为( )
变式图
A．30° B．45° C．60° D．75°
典例2 [2024春·绥化期中]如图，直线AD∥BC，若∠1＝42°，∠BAC＝78°，则∠2的度数为( )
典例2图
A．42° B．50° C．60° D．68°
根据平行线的性质，得出∠CAD＝∠1＝42°，再根据∠BAC＝78°求出结果即可．
变式 [2024·通辽]将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是( )
变式图
A．45° B．35° C．30° D．25°
典例3 [2024·青海]如图，一个弯曲管道AB∥CD，∠ABC＝120°，则∠BCD的度数是( )
典例3图
A．120° B．30° C．60° D．150°
根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结果．
变式 [2024·陕西]如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为( )
变式图
A．25° B．35° C．45° D．55°
平行线性质与判定的综合应用
典例4 [2023·金华]如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是( )
典例4图
A．120° B．125° C．130° D．135°
先由同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出∠5的度数，根据对顶角相等即可求出∠4的度数．
变式 [2024春·开封期末]古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出几何模型如图所示，在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是( )
变式图
A．DE∥BC
B．∠ADE＝∠B
C．∠BFD＝∠AED
D．∠B＋∠CED＝180°
1．[2024·呼伦贝尔]如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数
是( )
第1题图
A．35°48′ B．55°12′
C．54°12′ D．54°52′
2．[2024·盐城]小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1＝55°，则∠2的度数为( )
第2题图
A．25° B．35° C．45° D．55°
3．[2024·包头]如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有( )
第3题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．[2024春·泰安期中]抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题，AB∥CD，∠DCE＝124°，∠E＝28°，则∠BAE的度数为 ．
第4题图
5．[2024春·济宁期中]如图，已知∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，则∠4＝ 度．
第5题图平行线的性质定理
1．平行线性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等．如图所示，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2．
2．平行线性质定理Ⅱ：(1)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角相等．如图所示，因为AB∥CD，所以∠2＝∠4．
(2)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补．如图所示，因为AB∥CD，所以∠2＋∠3＝180°．
在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，若没有两直线平行的条件，以上结论是不成立的．
平行线的性质
典例1 [2024·乐山]如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝120°．
典例1图
本题考查了平行线的性质，注意利用邻补角将∠1和∠2转化为同位角关系，再利用两直线平行同位角相等求解．
变式 [2024·福建]在同一平面内，将直尺、含30°角的三角板和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为( A )
变式图
A．30° B．45° C．60° D．75°
典例2 [2024春·绥化期中]如图，直线AD∥BC，若∠1＝42°，∠BAC＝78°，则∠2的度数为( C )
典例2图
A．42° B．50° C．60° D．68°
根据平行线的性质，得出∠CAD＝∠1＝42°，再根据∠BAC＝78°求出结果即可．
变式 [2024·通辽]将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是( B )
变式图
A．45° B．35° C．30° D．25°
典例3 [2024·青海]如图，一个弯曲管道AB∥CD，∠ABC＝120°，则∠BCD的度数是( C )
典例3图
A．120° B．30° C．60° D．150°
根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结果．
变式 [2024·陕西]如图，AB∥DC，BC∥DE，∠B＝145°，则∠D的度数为( B )
变式图
A．25° B．35° C．45° D．55°
平行线性质与判定的综合应用
典例4 [2023·金华]如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是( C )
典例4图
A．120° B．125° C．130° D．135°
先由同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出∠5的度数，根据对顶角相等即可求出∠4的度数．
变式 [2024春·开封期末]古代房梁建筑中多采用“四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出几何模型如图所示，在三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DF∥AC，∠C＝∠EDF，则下列结论错误的是( D )
变式图
A．DE∥BC
B．∠ADE＝∠B
C．∠BFD＝∠AED
D．∠B＋∠CED＝180°
1．[2024·呼伦贝尔]如图，AD∥BC，AB⊥AC，若∠1＝35.8°，则∠B的度数
是( C )
第1题图
A．35°48′ B．55°12′
C．54°12′ D．54°52′
2．[2024·盐城]小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1＝55°，则∠2的度数为( B )
第2题图
A．25° B．35° C．45° D．55°
3．[2024·包头]如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有( C )
第3题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．[2024春·泰安期中]抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题，AB∥CD，∠DCE＝124°，∠E＝28°，则∠BAE的度数为96°．
第4题图
5．[2024春·济宁期中]如图，已知∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，则∠4＝120度．
第5题图

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