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专题4.3.2十字相乘法和分组分解法八大题型（一课一讲）
（内容:十字相乘法、分组分解法及其应用）
【浙教版】
题型一：因式分解与有理数综合
【经典例题1】计算 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【变式训练1-2】设，，则数a，b，c的大小关系是 ．
【变式训练1-3】简便计算
(1)
(2)
【变式训练1-4】简便计算：
(1)；
(2)．
【变式训练1-5】利用因式分解的方法简算
(1)
(2)
(3)
题型二：利用十字相乘求参数的值
【经典例题2】若因式分解得：，则、的值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【变式训练2-1】分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个
【变式训练2-3】已知是因式分解的结果，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】已知，这个整式可以因式分解为．则a、b的正确的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】若二次三项式可分解成，则的值是（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
【变式训练2-6】若多项式因式分解后有一个因式，则 ．
题型三：判断因式分解是否正确
【经典例题3】下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】下列因式分解正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-4】下列对多项式进行因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-5】下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：因式分解计算题
【经典例题4】把下列多项式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练4-1】因式分解：
(1)；
(2)．
【变式训练4-2】分解因式：
(1)；
(2)．
【变式训练4-3】因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练4-4】因式分解
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【变式训练4-5】因式分解
(1)；
(2)；
(3)．
题型五：因式分解的应用
【经典例题5】仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解法一：设另一个因式为，得，
即，
解得，
另一个因式为，的值为．
解法二：设另一个因式为，得，
当时，，
即：，
解得：，
，
另一个因式为，的值为．
问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题．
(1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______．
(2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值．
【变式训练5-1】仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则．
．
解得：．
另一个因式为的值为，
解法二：二次三项式有一个因式是，
当，即时，．
把代入，
得，
而．
问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【变式训练5-2】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
【变式训练5-3】 阅读下列材料：
材料1、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例：（1）（2）
材料2、因式分解：
解：将看成一个整体，令则原式
再将“A”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把分解因式．
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：
②分解因式：
【变式训练5-4】【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
（1）；
（2）；
（3）．
我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式： ______；
【类比应用】
（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值；
【拓展应用】
（3）分解因式：．
【变式训练5-5】阅读材料
材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例：①；
②．
材料2 因式分解：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式，
再将“A”还原，得原式．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把分解因式；
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
【变式训练5-6】材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．
这样，我们可以得到：．
材料：分解因式：
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．
【迁移运用】
(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
；
(2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：
；．
题型六：分组分解计算题
【经典例题6】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练6-1】分解因式：
(1)；
(2)；
【变式训练6-2】因式分解：
【变式训练6-3】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【变式训练6-4】将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
【变式训练6-5】因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型七：分组分解求代数式的值
【经典例题7】已知，，则整式的值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式训练7-1】已知，，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】设为实数，且，则（　　）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【变式训练7-4】若，，则的值为 ．
【变式训练7-5】已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
【变式训练7-6】已知，，则代数式的值为 ．
题型八：分组分解的应用
【经典例题8】（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若．，都是正整数且，求的值；
（2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值．
【变式训练8-1】阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题：
(1)分解因式：；
(2)已知△ABC的三边长，，，满足，试判断△ABC的形状．
【变式训练8-2】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：． 再如“”分法：．利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：
①．
②．
(2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，，求△ABC的周长．
【变式训练8-3】因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业．
因式分解：．
小明：将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，可以得到原式．
张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做法完成下列题目．
(1)因式分解：．
(2)因式分解：．
(3)因式分解：．
【变式训练8-4】第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得：．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有：．这种方法称为分组分解法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）________
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【变式训练8-5】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等
①分组分解法：例如：
．
②拆项法：例如：
．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当，，满足时，求，，的值．
【变式训练8-6】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________；
(2)请你用换元法对多项式进行因式分解；
(3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”）．中小学教育资源及组卷应用平台
专题4.3.2十字相乘法和分组分解法八大题型（一课一讲）
（内容:十字相乘法、分组分解法及其应用）
【浙教版】
题型一：因式分解与有理数综合
【经典例题1】计算 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
故选：A．
【变式训练1-1】若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【答案】D
【详解】解：，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
【变式训练1-2】设，，则数a，b，c的大小关系是 ．
【答案】/
【详解】解：，
，
∵，
∴；
故答案为：．
【变式训练1-3】简便计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）
【变式训练1-4】简便计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式训练1-5】利用因式分解的方法简算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)(2)8(3)40000
【详解】（1）
（2）
（3）
题型二：利用十字相乘求参数的值
【经典例题2】若因式分解得：，则、的值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】解：
，
故选：A
【变式训练2-1】分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则；
王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则，
∴，
故选：B．
【变式训练2-2】多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个
【答案】B
【详解】解：时，；
时，；
时，；
时，；
的取值有4个．
故选：．
【变式训练2-3】已知是因式分解的结果，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵，
∴
∴．
故选：A．
【变式训练2-4】已知，这个整式可以因式分解为．则a、b的正确的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
∴
解得：．
故选：B
【变式训练2-5】若二次三项式可分解成，则的值是（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
【答案】A
【详解】解：二次三项式可分解成即，
，
解得：，，
则，
故选：A．
【变式训练2-6】若多项式因式分解后有一个因式，则 ．
【答案】
【详解】解：根据题意可设另一个因式为，
，
∴，
，．
故答案为：．
题型三：判断因式分解是否正确
【经典例题3】下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、不能进行因式分解，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练3-1】下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，因式分解正确，选项正确；
B、，因式分解错误，不符合题意；
C、，因式分解错误，不符合题意；
D、，因式分解错误，不符合题意；
故选：A．
【变式训练3-2】下列因式分解正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、
，故该选项不正确，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练3-3】下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式训练3-4】下列对多项式进行因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A．，选项分解错误，不符合题意；
B．，选项分解错误，不符合题意；
C．，选项分解正确，符合题意；
D．，选项分解错误，不符合题意．
故选：C．
【变式训练3-5】下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确．
故选：D．
题型四：因式分解计算题
【经典例题4】把下列多项式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式；
（4）解：原式
．
【变式训练4-1】因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
．
【变式训练4-2】分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
，
．
【变式训练4-3】因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式训练4-4】因式分解
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式训练4-5】因式分解
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
题型五：因式分解的应用
【经典例题5】仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解法一：设另一个因式为，得，
即，
解得，
另一个因式为，的值为．
解法二：设另一个因式为，得，
当时，，
即：，
解得：，
，
另一个因式为，的值为．
问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题．
(1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______．
(2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）解：设另一个因式为，得，
当时，，
即：，
解得：，
故答案为：；
（2）解：设另一个因式为，得，
当时，，
即：，
解得：，
，
另一个因式为，的值为．
【变式训练5-1】仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则．
．
解得：．
另一个因式为的值为，
解法二：二次三项式有一个因式是，
当，即时，．
把代入，
得，
而．
问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【答案】另一个因式为的值为20
【详解】解：解法一：设另一个因式为，
由题意得：，
则，
解得：，
另一个因式为的值为20．
解法二：二次三项式有一个因式是，
当，即时，，
把代入，
得，
而．
另一个因式是的值为20．
【变式训练5-2】因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
【答案】(1)；
(2)m、n的值分别为和0；
(3)
【详解】（1）解：当时，，
∵是多项式的一个因式，
∴当时，，
∴，
∴
（2）解：∵和是多项式的两个因式，
∴当或时，，
∴或时，，
∴，
解得，
∴原多项式为；
（3）解：
．
【变式训练5-3】 阅读下列材料：
材料1、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例：（1）（2）
材料2、因式分解：
解：将看成一个整体，令则原式
再将“A”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把分解因式．
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：
②分解因式：
【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）
（2）①令，
则，
∴；
②
，
令，
则，
∴．
【变式训练5-4】【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
（1）；
（2）；
（3）．
我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式： ______；
【类比应用】
（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值；
【拓展应用】
（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴或或或，
解得（舍去）或或或（舍去）；
（3）
．
【变式训练5-5】阅读材料
材料1 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．
例：①；
②．
材料2 因式分解：．
解：将“”看成一个整体，令，则原式，
再将“A”还原，得原式．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把分解因式；
(2)结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：；
②分解因式：．
【答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：①令，
，
，
，
，
．
，
原式；
②令，
，
，
，
，
．
，
原式．.
【变式训练5-6】材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．
这样，我们可以得到：．
材料：分解因式：
解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式
上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．
【迁移运用】
(1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
；
(2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：
；．
【答案】(1)；；
(2)；．
【详解】（1）解：，
；
解：，
；
（2）解：，
设，
则原式化为，
，
把还原可得：；
：解，
设，
则原式化为，
，
把还原可得：．
题型六：分组分解计算题
【经典例题6】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【变式训练6-1】分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式训练6-2】因式分解：
【答案】
【详解】
．
【变式训练6-3】把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练6-4】将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式训练6-5】因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
题型七：分组分解求代数式的值
【经典例题7】已知，，则整式的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】解：因为，，
∴
，
将，代入得：
，
故选：C．
【变式训练7-1】已知，，则多项式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
，
，
，
，
故选：．
【变式训练7-2】设为实数，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
，
或，
若时，，
为实数，
此一元二次方程在实数范围内无解；
若时，则，
，
故选：D．
【变式训练7-3】已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【答案】C
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，
∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大，
∴当时，；
当时，，
∴的最大值为76，
故选：C．
【变式训练7-4】若，，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴
即
∴
故答案为：．
【变式训练7-5】已知，，，满足关系式，，则的值为 ．
【答案】74
【详解】由题意得，①， ②，
得③，
得④，
得，
，
．
故答案为：74．
【变式训练7-6】已知，，则代数式的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴两式相加可得，
∵
，
∴.
故答案为：．
题型八：分组分解的应用
【经典例题8】（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若．，都是正整数且，求的值；
（2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值．
【答案】（1）①；②19；（2）
【详解】解：（1）①
；
②，
，
，都是正整数，
，都是整数，且，
又，
，或，
解得或（不合题意，舍去），
；
（2），
，
，
，，
，
整式的最小值为．
【变式训练8-1】阅读材料并解决问题：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题：
(1)分解因式：；
(2)已知△ABC的三边长，，，满足，试判断△ABC的形状．
【答案】(1)
(2)△ABC是等腰三角形
【详解】（1）解：
；
（2）解：的三边长，，满足，
，
，
，
，
．
是等腰三角形．
【变式训练8-2】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：． 再如“”分法：．利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：
①．
②．
(2)已知：a、b、c为△ABC的三条边，，求△ABC的周长．
【答案】(1)①；②
(2)7
【详解】（1）解：（1）①，
，
，
；
②，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，，
，，
的周长．
【变式训练8-3】因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业．
因式分解：．
小明：将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，可以得到原式．
张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做法完成下列题目．
(1)因式分解：．
(2)因式分解：．
(3)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
（2）解：
；
（3）解：令，
则
．
将代入，得
原式．
【变式训练8-4】第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得：．这时，由于中又有公因式，于是可提出，从而得到，因此有：．这种方法称为分组分解法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）________
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）（3）等边三角形，见解析
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）原式
（3）这个三角形为等边三角形．
理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴且
∴且
∴
∴这个三角形是等边三角形．
【变式训练8-5】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等
①分组分解法：例如：
．
②拆项法：例如：
．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
(2)当，，满足时，求，，的值．
【答案】(1)①；②
(2)，，
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：，
，
，
，，，
，，，
，，．
【变式训练8-6】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________；
(2)请你用换元法对多项式进行因式分解；
(3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”）．
【答案】(1)
(2)
(3)，小．
【详解】（1）解：
设，
原式
故答案为：；
（2）解：设，
原式
；
（3）解：设，
原式
∵
∴
∴当时，多项式存在最小值，为．

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