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2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数中分类讨论压轴题训练
1．已知y关于x的二次函数y＝ax2（a是常数，a≠0）．
（1）若函数图象经过点（3，0），求该函数图象的对称轴及顶点坐标．
（2）在（1）的条件下，当x满足m≤x≤3时，y的取值范围为，求m的取值范围．
（3）若，是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小．
2．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式．
（2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标．
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，且a＞0）．
（1）若抛物线经过A（1，5），B（﹣2，﹣1），求二次函数解析式．
（2）在（1）的条件下，抛物线上有一点P，向右平移3个单位后仍在该抛物线上，求点P的坐标．
（3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令w＝b2﹣2b+4a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4．已知二次函数的图象经过点（2，﹣4），与x轴交于点（4，0）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若在m≤x≤5范围内二次函数有最大值为，最小值为，求m的取值范围．
（3）若把二次函数的图象沿x轴平移n个单位，在自变量x的值满足2≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为﹣3，求n的值．
5．已知二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）．
（1）求二次函数解析式及其对称轴；
（2）将函数图象向上平移m个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（A在原点左侧），当AO：BO＝1：4时，求m的值；
（3）当n﹣1≤x≤3时，二次函数的最小值为2n，求n的值．
6．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数且a≠0）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，6），求二次函数的表达式；
（2）若a＜0，当x时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围；
（3）若二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5，求a的值．
7．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　；
（2）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值．
8．二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2．
（1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时，
①求b，c的值；
②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值；
（2）若x1＝3x2，求证：．
9．已知抛物线经过点A（2，k），请解决下列问题：
（1）抛物线的对称轴为直线x＝2时，分别求出m和k的值；
（2）当﹣2≤m≤1时，
①求k的最大值和最小值；
②若﹣2≤x≤1，y最大值﹣y最小值＝2，求m的值．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），无论m为任何实数，直线与该二次函数的图象有且只有一个公共点．
（1）求a，b，c的值；
（2）当k≤x≤k+1时，该二次函数的最小值为k，求k的值．
11．设二次函数（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标；
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求a的取值范围．
12．【问题初探】
（1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当﹣2≤x≤2时，y的取值范围为_____．
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a（x﹣h）2+k形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h，通过﹣2、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 　 　．
【类比分析】
（2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．
【学以致用】
（3）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1，最小值为y2，若y1﹣y2＝3，求a的值．
13．若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”．
（1）函数①y＝x+1；②y＝|2x|；③y＝x2，其中函数 　 　是在1≤x≤2上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值；
②当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，请直接写出t的值；
（3）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），若函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得k，求a的值．
14．在二次函数y＝x2﹣2tx+3中．
（1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值．
（2）若点（t，s）在抛物线上，令q＝t+s，求证：．
（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数图象上，且t＞0，a＜b＜3，求m的取值范围．
15．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）．
（1）当a＝1，c＝2时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在（2）的条件下，当0≤x≤m时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围．
参考答案
1．【解答】解：（1）将（3，0）代入抛物线表达式得：0＝9a﹣（a+2）×3﹣1＝0，则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2x﹣1，
则抛物线的对称轴为直线x，
当x时，y＝x2x﹣1，
顶点为：（，）；
（2）令y＝x2x﹣1﹣0，则x或3，
故抛物线和x轴的交点为（，0）、（3，0），
∵y的取值范围为，即在x轴下方部分，
则m在x和顶点之间，即m；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x，
则点A、B和对称轴的距离分别为：||＝||、||＝||，
当a＞0时，则||＜||，则y2＞y1；
当a＜0时，则||＞||，则y2＞y1；
故y2＞y1．
2．【解答】解：（1）把（﹣1，4）代入函数解析式得，
m+2m+3＝4，
∴m，
∴函数解析式为：yx2x+3；
（2）∵抛物线开口方向向上，
∴m＞0，
∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，
∴抛物线的顶点为（1，3﹣m），
∴当x＜1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴最低点N（1，3﹣m），
∵当x＝﹣1时，y＝3m+3，
当x＝2时，y＝3，
且m＞0，
∴3m+3＞3，
∴最高点M（﹣1，3m+3），
∴3m+3＝9，
∴m＝2，
代入M点和N点坐标得：M（﹣1，9），N（1，1）；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a+2≤1，
∴a≤﹣1，
②当m＜0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大，
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a≥1，
综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1．
3【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2+3x+1；
（2）设点P（m，m2+3m+1），则平移后点的坐标为：（m+3，m2+3m+1），
将该点的坐标代入函数表达式得：m2+3m+1＝（m+3）2+3（m+3）+1，
解得：m＝﹣3，
则点P的坐标为：（﹣3，1）；
（3）存在，理由：由题意得：y＝3x，
联立上式和抛物线的表达式得：ax2+bx+1＝3x，
则Δ＝（b﹣3）2＝4a，
则w＝b2﹣2b+4a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，
当b＝t+1时，w＝2（t﹣1）2+1，当b＝2时，w＝1，当b＝t时，w＝2（t﹣2）2+1，
当t≤1时，则函数w在x＝t+1时取得最小值，即2（t﹣2）2+1＝t，则t＝1或1.5（舍去）；
当1＜t＜2时，则函数在顶点时取得最小值，即1＝t（舍去）；
当t≥2时，则函数w在x＝t时取得最小值，即2（t﹣2）2+1＝t，则t＝3或1.5（舍去）；
综上，t＝1或3．
4．【解答】解：（1）已知二次函数的图象经过点（2，﹣4），与x轴交于点（4，0），将（2，﹣4），（4，0）代入得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2），
∴二次函数的开口向上，顶点坐标为，
当x＝5时，，
∵二次函数的对称轴为直线x＝1，
当x＝5或x＝﹣3时，，
∵在m≤x≤5范围内二次函数有最大值为，最小值为，
∴﹣3≤m≤1；
（3）由（2）可得的对称轴为直线x＝1，
且抛物线在2≤x≤3范围内y随x的增大而增大，
∴抛物线在x＝2时有最小值为﹣4，
①向左平移n个单位，即当x＝2时，存在与其对应的函数值y的最小值﹣3，
∴，
将x＝2代入得：n2+2n﹣2＝0，
解得：或，
∵向左平移，
∴n＞0，
∴；
②向右平移n个单位，当平移后对称轴在2左边时，即n≤1，函数在x＝2处取得最小值﹣3，
即，
解得：，，都不符合题意，舍去；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即n≥2时，函数在x＝3时，存在y的最小值﹣3，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
综上所述，或．
5．【解答】解：（1）将（1，﹣4）代入函数表达式得：﹣4＝1+b﹣3，则b＝﹣2，
即抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）当AO：BO＝1：4时，设点A（﹣t，0）、B（4t，0），
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线x＝1（4t﹣t），则t，
则点A、B的坐标分别为：（，0）、（，0），
则新抛物线的表达式为：y＝（x）（x）＝x2﹣2x﹣3，
即m；
（3）由（1）知，抛物线的顶点为（1，﹣4），
当x＝n﹣1＜1时，即n＜2，
抛物线在顶点处取得最小值，即﹣4＝2n，则n＝﹣2；
当3≥x＝n﹣1≥1时，即2≤n≤4，
则抛物线在x＝n﹣1时取得最小值，即（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝2n，
解得：n＝0（舍去）或6（舍去），
综上，n＝﹣2．
6．【解答】解：（1）把点（2，6）代入二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a中得﹣3a＝6，故a＝﹣2；
∴二次函数的表达式为y＝﹣2x2+4x+6．
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，且a＜0，
则当x＞1时，y随着x的增大而减小，
又∵x时，y随着x的增大而减小，
∴1，解得m≥2．
（3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
当a＞0时，开口向上，且二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5，
∴当x＝1时，ymin＝a﹣2a﹣3a＝﹣5，解得a；
当a＜0时，开口向下，且二次函数在﹣1≤x≤4时有最小值﹣5，
∴当x＝4时，ymin＝16a﹣8a﹣3a＝﹣5，解得a＝﹣1，
故a的值为﹣1或．
7．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点B的坐标为（3，0），
∴A（1，0），
将A（1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
当x＝2时，y＝22﹣4×2+3＝﹣1，
∴D（2，﹣1），
故答案为：（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；
（2）存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形，理由如下：
设P（2，t），
在y＝x2﹣4x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∵A（1，0），
∴AC2＝（0﹣1）2+（3﹣0）2＝10，PA2＝（2﹣1）2+（t﹣0）2＝t2+1，PC2＝（2﹣0）2+（t﹣3）2＝（t﹣3）2+4，
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴PA2+PC2＝AC2，
∴t2+1+（t﹣3）2+4＝10，
解得t＝1或t＝2，
∴P（2，1）或（2，2）；
（3）由抛物线对称轴为直线x＝2，分三种情况：
①当m+2＜2，即m＜0时，y随x的增大而减小，
∴x＝m+2时，y取得最小值，
∴（m+2）2﹣4（m+2）+3，
解得m（舍去）或m，
∴此时m；
②当m≤2≤m+2，即0≤m≤2时，x＝2时最小值为﹣1，
∴这种情况不存在最小值为；
③当m＞2时，y随x的增大而增大，
∴x＝m时，y取最小值，
∴m2﹣4m+3，
解得m（舍去）或m，
∴此时m
综上所述，m或．
8．【解答】（1）解：①当x1＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6，
则，解得：
即b、c的值分别为2、﹣8；
②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，
当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，
当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，
则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，
方程无解；
当t＞﹣1时，y的最小值为﹣9，最大值为t2+2t﹣8，
则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4，
解得：t＝﹣3（舍去）或1；
（2）证明：∵x1＝3x2，且x1≠x2，
∴3x2≠x2，
∴x2≠0，
∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，
∴3x2+x2＝﹣b，
∴x2b，
∴（b）2+b （b）+c＝0，
∴cb2，
∴b﹣cbb2（b﹣4）2+3≤3，
∴．
9．【解答】解：（1）已知抛物线经过点A（2，k），且抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴，
∴m＝2，
∴抛物线的解析式为，
将点A的坐标代入得：
，
解得：k＝2；
（2）①∵抛物线经过点A（2，k），将点A的坐标代入得：
k＝2﹣2m+m2＝（m﹣1）2+1，
∴二次函数k＝（m﹣1）2+1对称轴为直线m＝1，开口向上，
∴当﹣2≤m≤1，k随着m的增大而减小，
∴当m＝﹣2，kmax＝9+1＝10，
当m＝1，kmin＝0+1＝1；
②∵，
而﹣2≤m≤1，﹣2≤x≤1，开口向上，
∴当x＝m时，y有最小值，，
则若m﹣（﹣2）≥1﹣m，即时，y有最大值，
∴，
∴此时，
解得：m＝0或m＝﹣4（不合题意，舍去）；
若m﹣（﹣2）＜1﹣m，即时，y有最大值，
∴，
∴此时，
解得：m＝﹣1或m＝3（不合题意，舍去），
综上所述：m的值为0或﹣1．
10．【解答】解：（1））∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，
∴方程组只有一组解，
∴ax2+（b﹣m）xm+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（b﹣a）2﹣4a（m+c）＝0，
整理得：（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0，
∵不论m为任何实数，（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0恒成立，
∴，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．
（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，
∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，
①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x＝k+1时，y的最小值为k，
∴（k+1﹣1）2＝k，
解得：k＝0或1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x＝1时，抛物线的最小值为0，
∴k＝0；
③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x＝k时，y的最小值为k，
∴（k﹣1）2＝k，
解得：k或，
∵k＞1，
∴k，
综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或．
11．【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数y＝（x+1）（x+4）＝x2+5x+4＝（x）2，
∴该函数的顶点坐标为（，）；
（2）当x＝﹣1时，y＝0，
此时y＝0≠﹣1，
∴该抛物线图象不过点（﹣1，1），
当时x＝﹣2，y＝﹣2，
此时y＝﹣2≠3，
∴该抛物线图象不过点（﹣2，3），
∴该抛物线过点（0，﹣2），代入得：2a+2＝﹣2，
解得：a＝﹣2，
将a＝﹣2代入二次函数的表达式为：y＝（x+1）（﹣2x﹣2），
整理得：y＝﹣2x2﹣4x﹣2，
故二次函数的表达式为：y＝﹣2x2﹣4x﹣2；
（3）∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
∵二次函数（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（﹣2﹣2a，0），
∴函数图象的对称轴为直线x，
当a＞0时，函数图象开口向上，
∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，
∴x2x1，
∴10+4a＜0，
解得a，舍去；
当a＜0时，函数图象开口向下，
∵x1＜x2时，y1＞y2，
∴x2x1，
∴10+4a＞0，
∴a，
∴a＜0．
12．【解答】解：（1）根据小伟的做法；y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣2≤x≤2且|2﹣（﹣1）|＞|﹣2﹣（﹣1）|，
∴当x＝﹣1时，y有最小值（﹣1+1）2﹣4＝﹣4，
当x＝2时，y有最大值（2+1）2﹣4＝5，
∴y的取值范围为：﹣4≤y≤5，
故答案为：﹣4≤y≤5．
（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
图象如图所示：
结合图象可知，当x＝﹣2时，y有最小值﹣（﹣2﹣1）2﹣2＝﹣11，
当x＝1时，y有最大值﹣（1﹣1）2﹣2＝﹣2，
∴y的取值范围为：﹣11≤y≤﹣2．
（3）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
①若a+3≤3，即：a≤0时：
结合图象可知，当x＝a时，y有最小值，
∴，
当x＝a+3时，y有最大值，
∴，
∴﹣（a+3﹣3）2+4﹣[﹣（a﹣3）2+4]＝3，
解得：a＝1（舍去），
②若a≥3时：
结合图象可知，当x＝a+3时，y有最小值，
∴，
当x＝a时，y有最大值，
∴，
∴﹣（a﹣3）2+4﹣[﹣（a+3﹣3）2+4]＝3，
解得：a＝2（舍去），
③若0＜a＜3时：
（i）时：
结合图象可知，当x＝a+3时，y有最小值，
∴，
当x＝3时，y有最大值，
∴，
∴4﹣[﹣（a+3﹣3）2+4]＝3
解得：（舍去），
（ii）时：
结合图象可知，当x＝a时，y有最小值，
∴，
当x＝3时，y有最大值，
∴，
∴4﹣[﹣（a﹣3）2+4]＝3，
解得：（舍去），
综上所述，或．
13．【解答】解：（1）对于①y＝x+1，
当x＝1时，y＝2，
当x＝2时，y＝3，
∴ymax﹣ymin＝1，符合题意；
对于②y＝|2x|，
当x＝1时，y＝2，
当x＝2时，y＝4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
对于③y＝x2，
当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y﹣4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
故答案为：①；
（2）①二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y1＝4a，当x＝2时，y2＝﹣3a，
当a＞0时，则当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴y2﹣y1＝﹣3a﹣（﹣4a）＝1，
∴a＝1，
当a＜0时，则当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴y2﹣y1＝﹣4a﹣（﹣3a）＝1，
∴a＝﹣1，
综上所述，a＝1或a＝﹣1；
②二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）为y＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1，
当x＝t，y1＝t2﹣2t﹣3，
当x＝t+1时，y2＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3＝t2﹣4，
当x＝1时，y3＝﹣4．
若t＞1，则y2﹣y1＝t2﹣4﹣（t2﹣2t﹣3）＝1，解得t＝1（舍去）；
若t≤1，则y2﹣y3＝t2﹣4﹣（﹣4）＝1，解得t＝﹣1（舍去），t＝1；
若0≤t，则y1﹣y3＝（t2﹣2t﹣3）﹣（﹣4）＝1，解得t＝0，t＝2（舍去）；
若t＜0，则y1﹣y2＝t2﹣2t﹣3﹣（t2﹣4）＝1，解得t＝0（舍去）．
综上所述，t＝0或t＝1；
（3）由上可知，二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）对称轴为直线x＝1，
又∵m+2≤x≤2m+1，
∴m＞1，
∴3＜m+2≤x≤2m+1，
∴当m+2≤x≤2m+1时，y随x的增大而增大，
当x＝2m+1时取得最大值，x＝m+2时取得最小值，
∴k4，
∵m，k为整数，且m＞1，
∴m+3＝8，即m的值为5，
又∵ymax﹣ymin＝1，
∴a（10+1）2﹣2a（10+1）﹣3a﹣[a（5+2）2﹣2a（5+2）﹣3a]＝1，
∴a．
14．【解答】（1）解：根据题意得：，
解得： 或，
∴t的值为或；
（2）证明：∵点（t，s）在抛物线上，
∴s＝t2﹣2t2+3＝﹣t2+3，
∴q＝t+s＝﹣t2+t+3，
∴，
∵﹣1＜0，
∴q有最大值，
∴；
（3）解：∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线，
∴t＝m﹣1，
∵t＞0，
∴m﹣1＞0，
解得m＞1，
∵m﹣2＜m，
∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，
∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），
∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），
∵b＜3，
∴4＜2m﹣2，
解得m＞3；
①当 A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，
∵y随x的增大而减小，且a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
此时m满足的条件为m＞6；
②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，
∵a＜b，
∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得：m＜4，
此时m满足的条件是3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
15．【解答】解：（1）当a＝1，c＝2时，y＝x2+4x+2，
令y＝x，则 x2+3x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴该函数的完美点为P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，﹣2）；
（2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，∴Δ＝9﹣4ac＝0，则4ac＝9．
又方程根为x，
∴a＝﹣1，c，
该二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x；
（3）∵y＝﹣x2+4xx2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该二次函数图象如图所示，顶点坐标为（2，1），
与y轴交点为（0，﹣3），根据对称规律，点（4，﹣3）也是该二次函数图象上的点．在x＝2左侧，y随x的增大而增大；在x＝2右侧，y随x的增大而减小；
∵当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4．
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