资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年九年级数学中考三轮冲刺训练四边形的判定与性质综合训练
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使，连结EF，CE，DF．
（1）求证：四边形CDFE是平行四边形．
（2）连结DE，交AC于点O，若AB＝BD＝6，求DE的长．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，CD∥AB，O是AC的中点，连结DO并延长，交AB于点E，连结CE．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形．
（2）若CE平分∠ACB，求AD的长．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且点E，F分别在边BC，AD上．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积．
4．如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．
5．如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于，求平行线AB与DC间的距离．
6．如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，
（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；
（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
8．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
9．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．
10．矩形ABCD中，G，H分别是AB，DC的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，且AE＝CF．
（1）如图，当时，求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）若AB＝6，BC＝8，以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，请直接写出AE的长．
11．如图，在 ABCD中，点O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB＝4，，求OC的长．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的长．
13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD，G为BC边上的一点，连接AG，DG，AE平分∠BAG交边BC于点E，∠ADG＝∠CGD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若CG＝5，，4EG＝5BE，求EG的长．
14．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
15．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长．
16．四边形ABCD为正方形，AB＝3，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）AC的长为 　 　 ，∠ACB＝　 　 度；
（2）如图，当点F在线段BC的延长线上时：
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若，求正方形DEFG的边长；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，请直接写出∠EFC的度数．
17．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若AB＝a（a为常数），求（BE+a）（DF+a）的值．
18．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝　 　 °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
（3）如图（2），在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝5，QH＝2，则HR的长度是 　 　 （直接写出结果不写解答过程）．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，，
∴CD∥EF，
∵，
∴CD＝EF，
∴四边形DCEF是平行四边形；
（2）解：∵，BD＝AB＝6，
∴，，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
在Rt△ABC中，，
在平行四边形DCEF中，，DE＝2OD，
在Rt△OCD中，，
∴．
2．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠CAE，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE与△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴AE＝CD，又AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：如图，过点E作EF⊥AC于F，
在Rt△ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，∠B＝90°，
由勾股定理得：AC10（cm），
∵CE平分∠ACB，∠B＝90°，EF⊥AC，
∴EF＝EB，
则，
∴，
∵AB＝8cm，
∴BE＝3cm，
∴CE3（cm），
由（1）可知：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE＝3cm．
3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE，CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠AEB＝∠DAE∠BAD，∠BCF∠BCD，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，
则∠CHD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠DCF∠BCD120°＝60°，
∴∠ADC＝∠DCF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝2，DHDF＝1，
在Rt△CHD中，由勾股定理得：CH，
∴S△CDFDF CH2，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴CE＝AFDF2＝1，
∵AD∥BC，
∴△DGF∽△EGC，
∴，
∴FGCF，
∴S△GDFS△CDF．
4．【解答】（1）证明：∵∠BCA＝∠CAD，
∴AD∥BC，
在△AOD与△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：连接DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OCAC＝8，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OD，
∴DO＝DC，
∵点F是OC的中点，
∴OFOC＝4，DF⊥OC，
∴AF＝OA+OF＝12，
在Rt△AFD中，DF9，
∴点G是AD的中点，∠AFD＝90°，
∴DG＝FGAD＝7.5，
∵点E，点F分别是OB，OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EFBC＝7.5，EF∥BC，
∴EF＝DG，EF∥AD，
∴四边形GEFD是平行四边形，
∴GE＝DF＝9，
∴△EFG的周长＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，
∴△EFG的周长为24．
5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴，，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BCF＝∠AEB，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，
∵△ABE的面积等于，
∴，
∴AB＝4，
即AB＝AE＝EB＝4，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB是△AEC的一个外角，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AC⊥AB，
由勾股定理得，
即平行线AB与DC间的距离是．
6．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠EAC＝∠FAC＝30°，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CFAC，
∵点H为对角线AC的中点，
∴EH＝FHAC，
∴CE＝CF＝EH＝FH，
∴四边形CEHF是菱形；
（2）∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面积为16，
∴AE＝8，
∴AC4，
设AB＝BC＝x，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴菱形ABCD的面积＝AB CE＝5×4＝20．
7．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，
∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴sin∠ABD，
∴∠ABD＝30°，
∵四边形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，
根据勾股定理得，FG，
在Rt△AGF中，AG＝6，
根据勾股定理得，
AF4．
8．【解答】（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，D是BC的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DCBC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCFAC DF4×5＝10．
9．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴CE＝BD，
又∵CD是边AB上的中线，
∴BD＝AD，
∴CE＝DA，
又∵CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，
由（1）可知，BC＝DE，
设BC＝x，则AC＝2x，
在Rt△ABC中，ABx．
∵AB CFAC BC，
∴CFx．
∵CDABx，
∴sin∠CDB．
10．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，G，H分别是AB，DC的中点，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴AGABDC＝CH，∠GAE＝∠HCF，
在△GAE和△HCF中，
，
∴△GAE≌△HCF（SAS），
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴180°﹣∠AEG＝180°﹣∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：AE的长为1或9，
理由：连接GH，
∵AB＝DC＝6，BC＝8，∠B＝90°，
∴AG＝BGAB＝3，DH＝CHDC＝3，AC10，
∴BG∥CH，且BG＝CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH＝BC＝8，
∵以E，G，F，H为顶点的四边形为矩形，
∴EF＝GH＝8，
如图1，当AEAC时，四边形EGFH是矩形，
∵AE＝CF，且AE+EF+CF＝AC，
∴2AE+8＝10，
∴AE＝1；
如图2，当AEAC时，四边形FGEH是矩形，
∵AE＝CF，且AE﹣EF+CF＝AC，
∴2AE﹣8＝10，
∴AE＝9，
综上所述，AE的长为1或9．
11．【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝4，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EFDE＝2，
∴OF为△BDE的中位线，
∴OFBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴CF＝CD+DF＝6，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC，
即OC的长为．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AD＝25，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝14，
∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2
∴252﹣BE2＝142﹣（25﹣BE）2，
∴BE，
∴AE．
13．【解答】（1）证明：∵∠ADG＝∠CGD，
∴AD∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：如图，过点E作EF⊥AG于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵AE平分∠BAG，
∴BE＝EF，
在Rt△DCG中，cos∠DGC，
∵CG＝5，
∴DG＝13，
由勾股定理得：CD12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝12，
∵∠B＝∠AFE＝90°，AE＝AE，∠BAE＝∠FAE，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴AF＝AB＝12，
∵4EG＝5BE，
∴，
设EG＝5x，BE＝4x，则EF＝4x，FG＝3x，
∴AG＝12+3x，
∵∠B＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
∴122+（4x+5x）2＝（12+3x）2，
∴x1＝0（舍），x2＝1，
∴EG＝5x＝5．
14．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB，
∴DF，
∴正方形DEFG的面积DF2（）2．
15．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，
，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝OF1．
∴OF1．
16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，
∵∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC，
故答案为：，45．
（2）①过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于点N，如图1所示：
则四边形EMCN为矩形，
∵∠ACB＝45°，
∴△EMC为等腰直角三角形，
∴EM＝CM，
∴矩形EMCN为正方形，
∴EM＝EN，∠EMF＝∠END＝∠MEN＝90°，
∴∠MEF+∠FEN＝90°，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠DEF＝90°，
∴∠NED+∠FEN＝90°，
∴∠MEF＝∠DEF，
在△MEF和△DEF中，
，
∴△MEF≌△DEF（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
②连接EG，如图2所示：
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAE＝∠ACD＝45°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ECG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∵AC，
∴EC＝AC﹣AE，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：EG，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：DE2+DE2＝EG2，
∴，
∴DE；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35°时，有以下两种情况：
①当∠ADE＝35°时，此时点F在线段BC上，
∴∠CDG＝∠ADE＝35°，
过点G作GK⊥CD于K，GT⊥BC，交BC的延长线于T，如图3所示：
则四边形CTGK为矩形，
同（2）①可证四边形EFGD为正方形，
∴DG＝FG，∠KGT＝∠DGF＝90°，∠GKD＝∠GTF＝90°，
∴∠1+∠KGF＝∠KGF+∠2＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△GKD和△GTF中，
，
∴△GKD≌△GTF（AAS），
∴∠CDG＝∠GFT＝35°，
∴∠EFG＝∠EFG+GFT＝90°+35°＝125°；
②当∠CDE＝35°时，此时点F在BC的延长线上，
∴∠CDG＝90°﹣∠CDE＝55°，
过点G作GR⊥CD于R，GS⊥BC，交BC的延长线于S，如图3所示：
由（2）①可知：四边形EFGD为正方形，
同理可证：△GKD≌△GTF（AAS），
∴∠CDG＝∠GFS＝55°，
∴∠EFC＝90°﹣∠GFS＝35°，
综上所述：∠EFC的度数为125°或35°．
17．【解答】（1）证明：作AG⊥EF于G，如图，
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝GE，
同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），
∴DF＝GF，
∴BE+DF＝GE+GF＝EF，
设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝a﹣x，CF＝CD﹣DF＝a﹣y，EF＝x+y，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：（a﹣x）2+（a﹣y）2＝（x+y）2，
整理得：xy+a（x+y）＝a2，
∴（BE+a）（DF+a）＝（x+a）（y+a）＝xy+a（x+y）+a2＝a2+a2＝2a2．
18．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFEDFE，∠AEFBEF，
∴∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF）270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝3，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2；
（3）解：如图2所示：
把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，
由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，
∴MG＝DG＝MP＝PH＝5，
∴GQ＝3，
设MR＝HR＝a，则GR＝5﹣a，QR＝a+2，
在Rt△GQR中，由勾股定理得：（5﹣a）2+32＝（2+a）2，
解得：a，即HR；
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑