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第二章　课时精练31　定点、定值、最值、范围问题
(分值:100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分,共25分
1.已知椭圆C:=1的左、右顶点分别为A,B,P为椭圆C不同于A,B两点的动点,若直线PA的斜率的取值范围是[1,2],则直线PB的斜率的取值范围是(　　)
2.直线l经过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则△PQF的面积的最小值是(　　)
2
6
3.若点(m,n)在椭圆9x2+y2=9上,则的最小值为(　　)
-
4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若动点P在C的右支上,F1,F2分别为C的左、右焦点,的最小值是2a(其中O为坐标原点),则的最小值为(　　)
4 8
16 24
5.已知直线l:y=kx+1与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,直线m:y=2kx+2与抛物线D:x2=8y交于M,N两点,若对于任意k∈R,λ|AB|-|MN|为定值,则实数λ的值为(　　)
12 8
4 2
6.已知双曲线x2-ay2=1(a>0)的右顶点为A,而B,C是双曲线右支上的两点,若△ABC是等边三角形,则实数a的取值范围是　　　　.
7.过抛物线C:y2=x上一点A(1,1)作两条互相垂直的直线,分别交抛物线于P,Q(异于点A)两点,则直线PQ恒过定点　　　　.
8.已知P是椭圆=1上任意一点,则当点P到直线4x-5y+40=0的距离取得最小值时,P点的坐标为　　　　.
9.(10分)过双曲线x2-=1的右支上的一点P作一直线l,与两渐近线交于A,B两点,其中P是线段AB的中点,O为坐标原点.
(1)当点P的坐标为(x0,2)时,求直线l的方程;
(2)求证:|OA||OB|是一个定值.
10.(10分)已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆E交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.
二、综合运用
选择题每小题5分,共5分
11.(多选)已知F为椭圆C:=1的左焦点,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,BE与椭圆C的另一个交点为P,则(　　)
的最小值为2 △ABE面积的最大值为
直线BE的斜率为k ∠PAB为钝角
12.已知点M(-5,0),点P在曲线=1(x>0)上运动,点Q在曲线(x-5)2+y2=1上运动,则的最小值是　　　　.
13.(15分)如图,已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且|MF|=2.
(1)求抛物线的方程;
(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线l与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RN|2=|PN|·|QN|,求直线l在x轴上截距的取值范围.
三、创新拓展
14.(15分)在一张纸上有一个圆C:(x+)2+y2=4,定点R(,0),折叠纸片使圆C上某一点R1正好与点R重合,这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ,设折痕PQ与直线R1C的交点为T.
(1)求证:||TC|-|TR||为定值,并求出点T的轨迹C'方程;
(2)设A(-1,0),M为曲线C'上一点,N为圆x2+y2=1上一点(M,N均不在x轴上).直线AM,AN的斜率分别记为k1,k2,且k2=-k1,求证:直线MN过定点,并求出此定点的坐标.
课时精练31　定点、定值、最值、范围问题
1.D　2.B　3.D　4.B　5.B　
6.(3，+∞)　[如图，易知A(1，0).根据双曲线的对称性及△ABC是等边三角形，知直线BC⊥x轴，所以直线AB的倾斜角为30°，即kAB=，
因为双曲线的渐近线方程是y=±x，所以有，解得a>3.]
7.(2，-1)　[由题意可得，这两条直线的斜率均存在，且不为0，
设直线AP的方程为y-1=k(x-1)(k≠0)，
与抛物线方程y2=x联立，消去x得ky2-y+1-k=0，
设P(xP，yP)，由根与系数的关系可得yP=，
即P，同理可得Q((k+1)2，-k-1)，
所以直线PQ的斜率kPQ=，所以直线PQ的方程为(1-k2-2k)y=kx+k2-1，
即(1+y)k2+(x+2y)k-y-1=0，可得直线PQ恒过定点(2，-1).]
8.　[设直线l1:4x-5y+m=0(m≠40)，
当直线l1与椭圆相切时，其中一个切点到直线4x-5y+40=0的距离最小，
故联立直线l1与椭圆的方程，得
整理，得25x2+8mx+m2-225=0，
相切时有Δ=(8m)2-4×25×(m2-225)=0，解得m=±25，易知当m=25时，切点到直线4x-5y+40=0的距离最小，
将m=25代入25x2+8mx+m2-225=0中，得x1=x2=-4，
将其代入4x-5y+25=0中，得y=，
故此时P点的坐标为.]
9.(1)解　将(x0，2)代入双曲线方程可得=2，解得x0=(负值舍去)，
设A(m，2m)，B(n，-2n)，由P为线段AB的中点，可得m+n=2，2m-2n=4，
解得m=+1，n=-1，
则A(+1，2+2)，
可得直线PA的斜率k=，
则直线l的方程为y-2=2(x-)，
即y=2x-2.
(2)证明　设P(x0，y0)，A(m'，2m')，B(n'，-2n')，
则=1，由P为线段AB的中点，可得m'+n'=2x0，2m'-2n'=2y0，
解得m'=x0+y0，n'=x0-y0，
则|OA||OB|=|n'|
=5|m'n'|=5
=5=5，为定值.
10.解　(1)设点F(c，0)，
因为直线AF的斜率为，A(0，-2)，
所以，c=.
又因为，b2=a2-c2，
解得a=2，b=1，
所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx-2，
联立
消去y得(1+4k2)x2-16kx+12=0，
当Δ=16(4k2-3)>0，即当k2>时，
x1+x2=，x1x2=.
所以|PQ|=
=
=.
又点O到直线l的距离d=，
所以S△OPQ=.
设=t>0，
则4k2=t2+3.
S△OPQ==1，
当且仅当t=2，即=2，
即k=±时取等号，满足k2>，
所以△OPQ的面积最大时，直线l的方程为y=x-2，
即x+2y+4=0.
11.BC　[对于A，如图所示，设椭圆C的右焦点为F'，连接AF'，BF'，则四边形AF'BF为平行四边形，
所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=2a=4，
所以(|AF|+|BF|)·
=，
当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立，A错误;
对于B，由，
所以|yA-yB|=，
所以△ABE的面积S=，当且仅当k=±时等号成立，B正确;
对于C，设A(x0，y0)，则B(-x0，-y0)，E(x0，0)，故直线BE的斜率kBE=k，C正确;
对于D，设P(m，n)，直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA·kPB=，
又点P和点A在椭圆C上，
所以=1①，=1②，
①-②得，
易知kPB=kBE=k，
则kPA·，得kPA=-，
所以kPA·kAB=·k=-1，所以∠PAB=90°，D错误.]
12.20　[如下图所示:
在双曲线=1中，a=3，b=4，c==5，圆(x-5)2+y2=1的圆心为C(5，0)，半径长为r=1，所以，双曲线=1的左、右焦点分别为M、C，
由双曲线的定义可得|PM|=|PC|+2a=|PC|+6，|PQ|≤|PC|+1，
所以，=(|PC|+1)++10=20，当且仅当Q为射线PC与圆C的交点，且|PC|=4时，等号成立，
故的最小值是20.]
13.解　(1)因为M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2，
所以p=2.
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)由(1)知，F(1，0)，M(-1，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x=my+1，直线l的方程为y=2x+n(n≠±2).
由可得y2-4my-4=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=-4，
所以=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+8.
易知直线AM的方程为y=(x+1)，
则由可得
P.
同理可得
Q，
所以|yPyQ|=
=
=
=.
由.
因为|RN|2=|PN|·|QN|，
所以=|yPyQ|，
所以，
所以
=+1
=4，
所以n<-2或-2因为直线l:y=2x+n(n≠±2)在x轴上的截距为-，
所以-，即直线l在x轴上截距的取值范围是(-∞，-7-4]∪[4-7，1)∪(1，+∞).
14.解　(1)由题意得|TR|=|TR1|，
所以||TC|-|TR||=||TC|-|TR1||=2<2=|CR|，
即T的轨迹是以C，R为焦点，实轴长为2的双曲线，即C':x2-=1.
(2)由已知得lAM:y=k1(x+1)，
lAN:y=k2(x+1)，
联立直线lAM的方程与双曲线方程
消y整理得(4-)x2-2-4=0，
由根与系数的关系得xAxM=，
所以xM=，
即yM=k1(xM+1)=，
所以M，
联立直线lAN的方程与圆方程
消y整理得(1+)x2+2-1=0，
由根与系数的关系得xAxN=，
所以xN=，
即yN=k2(xN+1)=，
因为k2=-k1，所以N，
若直线MN过定点，则由对称性得定点在x轴上，设定点T(t，0)，
由三点共线得kMT=kNT，
即+4+(-4)t=-16+(+16)t t=1，
所以直线MN过定点T(1，0).培优课　定点、定值、最值、范围问题
课标要求　1.掌握与圆锥曲线有关的最值、范围问题. 2.掌握与圆锥曲线有关的定点、定值问题.
一、与面积有关的最值、范围
例1 已知经过点H(0，-1)的直线l与椭圆C:+=1相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围.






思维升华　(1)求三角形面积的最值，有时运用图形的性质特征，直接确定动点处于什么位置时三角形面积最大.
(2)写出面积表达式，利用函数，不等式性质或基本不等式求解.
训练1 已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.
(1)求C的方程;
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.







二、求表达式的最值、范围
例2 已知A是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，B(1，0)是x轴上的点，以A为圆心且过点B的圆与y轴分别交于点E、F，且当圆A与x轴相切时，A到抛物线焦点的距离为.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设线段BE、BF长度分别为l1、l2，求的取值范围.




思维升华　此类问题，关键在于把表达式化简整理成恰当的形式，以便确定所运用函数或不等式.
训练2 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.
(1)求C的方程;
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α-β取得最大值时，求直线AB的方程.




三、定点问题
例3 已知椭圆C:+=1(a>b>0)，F1(-1，0)，F2(1，0)分别为椭圆C的左、右焦点，M为C上任意一点，的最大值为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图，不过点F2的直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A，B两点.
①若k2=，且S△AOB=，求m的值;
②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2的距离相等，求证:直线l过定点，并求出该定点的坐标.






思维升华　求解直线或曲线过定点问题的基本解题思路是:把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
训练3 已知动圆过定点A(0，2)，且在x轴上截得的弦长为4.
(1)求动圆圆心M的轨迹方程C.
(2)设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交于不同两点P(x1，y1)，Q(x2，y2).若+=2，求证:直线l过定点.








四、定值问题
例4 已知椭圆C:+=1，点M，N在C上，点A(2，1)且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足，证明:存在定点Q，使得|DQ|为定值.






思维升华　对于定值问题常见的解题模板有两种
(1)直接求出与变量无关的定值.
(2)可以先研究一下特殊情况，找出定值，再研究一般情况.
训练4 已知抛物线C:y2=4x，点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N，设O为坐标原点，=λ=μ，求证:+为定值.






【课堂达标】
1.若O和F分别为双曲线-y2=1的中心和左焦点，P为该双曲线上的任意一点，则·的最小值为 (　　)
A.2+ B.2-
C. D.-
2.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(4，m)是抛物线C上一点，且|PF|=5.设直线l与抛物线C交于A，B两点，若OA⊥OB(O为坐标原点)，则直线l过定点 (　　)
A.(1，0) B.(2，0)
C.(4，0) D.(3，0)
3.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x-3)2+(y-2)2=1上任意一点，则|MN|-|MF1|的最小值为　　　　.
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，若|AB|+|CD|的最小值为16，则抛物线的方程为　　　　.
培优课　定点、定值、最值、范围问题
例1　解　由题意可知，直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y=kx-1(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得(4k2+3)x2-8kx-8=0.
Δ=(-8k)2-4×(-8)×(4k2+3)=192k2+96>0，
x1+x2=，x1x2=.
∵P关于y轴的对称点为F，∴F(-x1，y1)，
∴直线FQ的方程为y-y1=(x+x1)，
令x=0，得y=
=-1
=-3，
∴G(0，-3)，
∴△PQG的面积S=|HG||x1-x2|
=|x1-x2|
=
=，
令t=，则t∈(，+∞)，
S=，
∴t+，∴S∈，
即△PQG面积的取值范围为.
训练1　解　(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=(x-2)，即x-2y=-4，
当y=0时，解得x=-4，所以a=4.
由椭圆C:=1(a>b>0)过点M(2，3)，
可得=1，解得b2=12，
所以椭圆C的方程为=1.
(2)设与直线AM平行的直线方程为x-2y=m，如图，
当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程x-2y=m与椭圆方程=1，
化简可得16y2+12my+3m2-48=0，
所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0，
即m2=64，
解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程为x-2y=8，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
即d=.
又|AM|=，
所以△AMN的面积的最大值为=18.
例2　解　(1)当AB⊥x轴时，圆A与x轴相切，点B为切点，
由题意可知此时点A的横坐标为1，
因为A到抛物线焦点的距离为，所以A到抛物线准线的距离为，
故准线与y轴之间的距离为，解得p=1，
所以抛物线C的标准方程为y2=2x.
(2)设A的坐标，由垂径定理可知，
|EF|=2
=2=2，
设E(0，m-1)，F(0，m+1)，
所以l1=，l2=.
所以
=
=2，
当m=0时，则=2;
当m≠0时，则，
因为m2+≥4，
所以1<1+≤2，当且仅当m=±时，等号成立，此时∈(2，2].
综上所述，∈[2，2].
训练2　解　(1)当MD⊥x轴时，有|MF|=+p=3，得p=2，
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)如图，
根据(1)知F(1，0)，D(2，0).
当MN⊥x轴时，易得α=β=，
此时α-β=0.
当MN的斜率存在时，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，
则直线MN的方程为
y-y1=(x-x1)，
即y-y1=(x-x1)
=(x-x1)，
即y(y1+y2)-y1(y1+y2)=4(x-x1)，
所以直线MN的方程为
y(y1+y2)-y1y2=4x.
同理可得，直线AM的方程为
y(y3+y1)-y3y1=4x，
直线BN的方程为
y(y4+y2)-y4y2=4x，
直线AB的方程为y(y4+y3)-y4y3=4x.
因为F(1，0)在MN上，所以y1y2=-4.
因为D(2，0)在AM，BN上，
所以y3y1=-8，y4y2=-8，
所以y3=-，y4=-.
所以y3+y4=-
=-=2(y1+y2)，
y3y4==-16，
所以直线AB的方程y(y4+y3)-y4y3=4x可化为(y1+y2)y+8=2x，
所以tan α=，tan β=，
所以tan(α-β)=
=.
当y2+y1<0时，tan(α-β)<0，
所以不符合题意.
当y2+y1>0时，(y2+y1)+，
tan(α-β)≤2×，
当且仅当y2+y1=，
即y2+y1=2时取等号，
此时α-β取得最大值，直线AB的方程为
x-y-4=0.
例3　解　(1)因为F1(-1，0)，F2(1，0)分别为椭圆C的左、右焦点，所以c=1.当M为椭圆的短轴端点时，△MF1F2的面积最大，
所以·2c·b=1，得b=1，所以a=.
故椭圆的方程为+y2=1.
(2)由题意，联立得方程组消去y，整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，
Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)>0，得1+2k2>m2(*).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-，x1x2=.
①因为m≠0且k2=，代入(*)，
得0|AB|=.
设点O到直线AB的距离为d，
则d=，
所以S△AOB=，
所以m2=1∈(0，2)，则m=±1.
②证明　设直线AF2的斜率为k1，直线BF2的斜率为k2，
则k1=，
k2=.
由题意知k1+k2=0，
所以=0，
即2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0，
所以2k·+(m-k)-2m=0，
解得m=-2k.
所以直线l的方程为y=k(x-2)，
故直线l恒过定点，该定点坐标为(2，0).
训练3　(1)解　设动圆圆心为M(x，y)，则x2+(y-2)2-4=y2，化简得x2=4y.
(2)证明　易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+b，
联立直线l与轨迹C的方程得
消去y，整理得x2-4kx-4b=0.
由根与系数的关系得x1+x2=4k，x1x2=-4b.
从而=2 x1+x2=2x1x2，
即4k=-8b，则b=-k，
则直线l:y=kx-，
故直线l过定点.
例4　证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2).
若直线MN与x轴不垂直，
设直线MN的方程为y=kx+m，
代入=1，
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.
于是x1+x2=-，x1x2=.①
由AM⊥AN，得=0，
故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0，
整理得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.
将①代入上式，可得
(k2+1)-(km-k-2)+(m-1)2+4=0，
整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.
因为A(2，1)不在直线MN上，
所以2k+m-1≠0，
所以2k+3m+1=0，k≠1.
所以直线MN的方程为
y=k(k≠1).
所以直线MN过点P(，-).
若直线MN与x轴垂直，
可得N(x1，-y1).
由=0，
得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.
又=1，所以3-8x1+4=0.
解得x1=2(舍去)，或x1=.
此时直线MN过点P.
令Q为AP的中点，即Q.
若D与P不重合，
则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，
故|DQ|=.
若D与P重合，则|DQ|=|AP|.
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值.
训练4　证明　由题意，设直线l的方程为
y=kx+1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由
得k2x2+(2k-4)x+1=0，
则x1+x2=-，x1x2=，
直线PA的方程为y-2=(x-1)，
令x=0，得M的纵坐标yM=+2，
同理得点N的纵坐标为
yN=+2，
由，
得λ=1-yM，μ=1-yN，
所以
==2.
所以为定值.
课堂达标
1.B　2.C　3.2-5 　4.y2=4x　(共79张PPT)
第二章
培优课　定点、定值、最值、范围问题
课标要求
1.掌握与圆锥曲线有关的最值、范围问题.
2.掌握与圆锥曲线有关的定点、定值问题.
课时精练
一、与面积有关的最值、范围
二、求表达式的最值、范围
三、定点问题
课堂达标
内容索引
四、定值问题
与面积有关的最值、范围
一
例1
由题意可知，直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
(1)求三角形面积的最值，有时运用图形的性质特征，直接确定动点处于什么位置时三角形面积最大.
(2)写出面积表达式，利用函数，不等式性质或基本不等式求解.
思维升华
训练1
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m，如图，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，
所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，
解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
求表达式的最值、范围
二
例2
当AB⊥x轴时，圆A与x轴相切，点B为切点，
由题意可知此时点A的横坐标为1，
思维升华
此类问题，关键在于把表达式化简整理成恰当的形式，以便确定所运用函数或不等式.
设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.
(1)求C的方程；
训练2
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程.
如图，根据(1)知F(1，0)，D(2，0).
此时α－β＝0.
当MN的斜率存在时，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，
即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，
所以直线MN的方程为y(y1＋y2)－y1y2＝4x.
同理可得，直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，
直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，
直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x.
因为F(1，0)在MN上，所以y1y2＝－4.
因为D(2，0)在AM，BN上，
所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，
当y2＋y1<0时，tan(α－β)<0，
所以不符合题意.
定点问题
三
例3
因为F1(－1，0)，F2(1，0)分别为椭圆C的左、右焦点，所以c＝1.当M为椭圆的短轴端点时，△MF1F2的面积最大，
整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)＞0，得1＋2k2＞m2(*).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2的距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
设直线AF2的斜率为k1，直线BF2的斜率为k2，
思维升华
求解直线或曲线过定点问题的基本解题思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对变量的任意一个值都成立，这时变量的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
训练3
已知动圆过定点A(0，2)，且在x轴上截得的弦长为4.
(1)求动圆圆心M的轨迹方程C.
设动圆圆心为M(x，y)，则x2＋(y－2)2－4＝y2，化简得x2＝4y.
易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋b，
消去y，整理得x2－4kx－4b＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.
定值问题
四
例4
设M(x1，y1)，N(x2，y2).
若直线MN与x轴不垂直，
设直线MN的方程为y＝kx＋m，
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
将①代入上式，可得
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因为A(2，1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，
所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.
若直线MN与x轴垂直，
可得N(x1，－y1).
若D与P不重合，
则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，
思维升华
对于定值问题常见的解题模板有两种
①直接求出与变量无关的定值.
②可以先研究一下特殊情况，找出定值，再研究一般情况.
训练4
由题意，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).
【课堂达标】
√
√
2.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(4，m)是抛物线C上一点，且|PF|＝5.设直线l与抛物线C交于A，B两点，若OA⊥OB(O为坐标原点)，则直线l过定点
A.(1，0) B.(2，0) C.(4，0) D.(3，0)
依题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝ty＋s，A(x1，y1)，B(x2，y2).
则y1＋y2＝4t，y1·y2＝－4s.
因为OA⊥OB，
所以x1·x2＋y1·y2＝0，
化简得y1·y2＝－16.
由－4s＝－16得s＝4，
所以直线l的方程为x＝ty＋4，
所以直线l经过定点(4，0).
如图所示，
由M为椭圆C上任意一点，得|MF1|＋|MF2|＝4.
又N为圆E：(x－3)2＋(y－2)2＝1上任意一点，
则|MN|≥|ME|－1(当且仅当M，N，E共线，且N在ME上时取等号)，
所以|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－5≥|EF2|－5，当且仅当点M，N，E，F2共线，且M，N在EF2上时等号成立.
4.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，若|AB|＋|CD|的最小值为16，则抛物线的方程为________.
y2＝4x
同理可得x3＋x4＝p＋2pk2，
所以|AB|＋|CD|＝x1＋x2＋x3＋x4＋2p
【课时精练】
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5.已知直线l：y＝kx＋1与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，直线m：y＝2kx＋2与抛物线D：x2＝8y交于M，N两点，若对于任意k∈R，λ|AB|－|MN|为定值，则实数λ的值为
A.12 B.8 C.4 D.2
6.已知双曲线x2－ay2＝1(a＞0)的右顶点为A，而B，C是双曲线右支上的两点，若△ABC是等边三角形，则实数a的取值范围是___________.
7.过抛物线C：y2＝x上一点A(1，1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P，Q(异于点A)两点，则直线PQ恒过定点________.
由题意可得，这两条直线的斜率均存在，且不为0，
设直线AP的方程为y－1＝k(x－1)(k≠0)，
与抛物线方程y2＝x联立，消去x得ky2－y＋1－k＝0，
设直线l1：4x－5y＋m＝0(m≠40)，
当直线l1与椭圆相切时，其中一个切点到直线4x－5y＋40＝0的距离最小，
故联立直线l1与椭圆的方程，得
整理，得25x2＋8mx＋m2－225＝0，
相切时有Δ＝(8m)2－4×25×(m2－225)＝0，
解得m＝±25，易知当m＝25时，切点到直线4x－5y＋40＝0的距离最小，
将m＝25代入25x2＋8mx＋m2－225＝0中，得x1＝x2＝－4，
(2)求证：|OA||OB|是一个定值.
设P(x0，y0)，A(m′，2m′)，B(n′，－2n′)，
设点F(c，0)，
(2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx－2，
消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
当Δ＝16(4k2－3)＞0，
√
对于A，如图所示，设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF为平行四边形，
√
所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a＝4，
如图所示：
20
13.如图，已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|＝2.
因为M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|＝2，所以p＝2.
(1)求抛物线的方程；
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线l与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN|2＝|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围.
由(1)知，F(1，0)，M(－1，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋1，直线l的方程为y＝2x＋n(n≠±2).
(1)求证：||TC|－|TR||为定值，并求出点T的轨迹C′方程；
由题意得|TR|＝|TR1|，
由已知得lAM：y＝k1(x＋1)，
联立直线lAM的方程与双曲线方程

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