资源简介

章末复习提升
一、空间向量的概念及运算
空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等.
例1 (1)(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是 (　　)
A.()-
B.()-
C.()+
D.()-
(2)(多选)给出下列命题，其中正确的命题为 (　　)
A.若，则一定有点O与点E重合，点P与点F重合
B.若<>为钝角，则<0
C.若m为直线m的方向向量，则λm(λ∈R且λ≠0)，也是直线m的方向向量
D.非零向量m，n，t满足m与n，n与t，m与t都是共面向量，则m，n，t必共面


训练1 (1)下列各式正确的是 (　　)
A.若a，b同向，则|a|+|b|=|a+b|
B.a+b与|a|+|b|表示的意义是相同的
C.若a，b不共线，则|a+b|>|a|+|b|
D.|a|<|a+b|恒成立
(2)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为1，且PA与AB，AD的夹角都等于60°，若M是PC的中点，则||= (　　)
A.
二、利用空间向量证明线面位置关系
1.空间中线面位置关系有:线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直.
2.证明的基本思想是利用直线的方向向量与平面的法向量，结合向量的共线和垂直的条件进行证明.将立体几何的线面关系转化为向量间的运算关系.
例2 在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点.
(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD 若存在，确定N的位置;若不存在，说明理由.




训练2 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD.
(1)证明:平面PQB⊥平面DCQ;
(2)证明:PC∥平面BAQ.




三、利用空间向量求空间角
空间中三种角的计算公式
(1)两条异面直线的夹角为θ:cos θ=|cos|=(其中u，v分别是两异面直线的方向向量).
(2)直线与平面的夹角为θ:sin θ=|cos|=(其中u是直线的方向向量，n是平面的法向量).
(3)两个平面的夹角为θ:cos θ=|cos|=(其中n1，n2分别是两平面的法向量).
例3 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
(1)求cos<>;
(2)求直线AD与平面ANM的夹角的正弦值;
(3)求平面ANM与平面ABCD的夹角的余弦值.




训练3 如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB=BC=1，MD=1，MD⊥平面ABCD，H是MB中点，在下面两个条件中任选一个，并作答:
①二面角A-MD-C的平面角的大小是;②∠BAD=.
若　　　　，求直线CH与平面MCD的夹角的正弦值.




四、利用空间向量求距离
空间中两种距离的计算公式
(1)直线l外一点P到直线l的距离:d=(其中l0是直线l的单位方向向量，A是直线l上一点)
(2)平面α外一点P到平面α的距离:|PQ|=(其中A是平面α内的定点，n是平面α的法向量).
例4 如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，
(1)求点C到平面AEC1F的距离;
(2)设过点B平行于平面AEC1F的平面为α，求平面AEC1F与平面α之间的距离.






训练4 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2.求点A到平面MBC的距离.



章末复习提升
例1　(1)ABC　(2)BC　[(1)A.()-，
B.()-，
C.()+，
D.()-=()-.故选ABC.
(2)A.在平行四边形OEFP中，有，但是点O与点E不一定重合，点P与点F不一定重合，故A错误;
B.因为<>为钝角，
所以cos <><0，
则><0，故B正确;
C.因为λm(λ∈R且λ≠0)与m共线，由直线的方向向量的概念可知C正确;
D.如图，在三棱柱中，满足m与n，n与t，m与t都是共面向量，但是m，n，t不共面，故D错误.故选BC.]
训练1　(1)A　(2)A　[(1)A正确;a+b表示向量，|a|+|b|表示数量，故B错误;若a，b不共线，则|a+b|<|a|+|b|，故C错误;若b=0，则|a|=|a+0|，故D错误.
(2)∵AB=AD=1，PA=2，，
∴[+()]
=-，
∵AB⊥AD，∠PAB=∠PAD=60°，
∴
=()-|·
||·cos 60°
=(1+1+4)-，
∴|.故选A.]
例2　解　如图，以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
(1)证明　∵=(0，1，1)，平面PAD的一个法向量n=(1，0，0)，
∴·n=0，即⊥n，
又BM 平面PAD，∴BM∥平面PAD.
(2)=(-1，2，0)，=(1，0，-2).假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.
设N(0，y，z)，则=(-1，y-1，z-1)，从而，
∴
∴，
∴ 在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.
训练2　证明　如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.
(1)依题意有D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，
则=(1，1，0)，
=(0，0，1)，
=(1，-1，0)，
所以=0，=0，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
又DQ∩DC=D，DQ，DC 平面DCQ，
故PQ⊥平面DCQ.又PQ 平面PQB，
所以平面PQB⊥平面DCQ.
(2)根据题意，=(1，0，0)，=(0，0，1)，=(0，1，0)，故有=0，=0，
所以为平面BAQ的一个法向量.
又因为=(0，-2，1)，且=0，
即，且PC 平面BAQ，
故有PC∥平面BAQ.
例3　解　建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，0)，A1(0，0，4)，M(5，2，4)，D(0，8，0).
(1)∵=(5，2，4)，=(0，8，-4)，
∴=0+16-16=0，
∴>=0.
(2)由(1)知A1D⊥AM，又A1D⊥AN，AM∩AN=A，AM，AN 平面AMN，
∴A1D⊥平面AMN，
∴=(0，8，-4)是平面ANM的一个法向量.
又=(0，8，0)，|，||=8，
=64，
∴cos<.
∴AD与平面ANM的夹角的正弦值为.
(3)由(2)知平面ANM的一个法向量是=(0，8，-4)，又平面ABCD的一个法向量可取a=(0，0，1)，∴cos<，a>=
∴.
训练3　解　若选①.
因为MD⊥平面ABCD，所以AD⊥MD，CD⊥MD，
所以∠ADC就是二面角A-MD-C的平面角，
所以∠ADC=.
过D作DE⊥DC，垂足为E，以D为坐标原点，以DE，DC，DM所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系.
则D(0，0，0)，A，B，C(0，1，0)，M(0，0，1)，
H.
所以.
取平面MCD的一个法向量n=(1，0，0).
设直线CH与平面MCD的夹角为θ，则
sin θ=.
所以直线CH与平面MCD的夹角的正弦值是.
若选②.
因为MD⊥平面ABCD，∠BAD=，所以DA，DC，DM两两垂直.
以D为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则C(0，1，0)，H，
所以.
取平面MCD的一个法向量n=(1，0，0).
设直线CH与平面MCD的夹角为α，
则sin α=.
所以直线CH与平面MCD的夹角的正弦值是.
例4　解　(1)由题意，以D为原点，以DA，DC，DF所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，
设F(0，0，z)，因为AEC1F为平行四边形，可得，即(-2，0，z)=(-2，0，2)，所以z=2，
即F(0，0，2)，则=(0，4，1)，=(-2，0，2)，
设平面AEC1F的法向量n=(x，y，z)，
则
取x=1，可得y=-，z=1，
所以n=，又由=(-2，4，0)，
所以点C到平面AEC1F的距离为d=.
(2)由(1)知平面AEC1F的一个法向量为n=(1，-，1)，又由=(0，0，1)，可得点B到平面AEC1F的距离为d=，因为过点B平行于平面AEC1F的平面为α，所以平面AEC1F与平面α之间的距离等于点B到平面AEC1F的距离，即平面AEC1F与平面α之间的距离为.
训练4　解　取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示.
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB=OM=，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，
M(0，0，)，B(0，-，0)，A(0，-，2)，
所以=(1，，0)，=(0，).
设平面MBC的法向量n=(x，y，z)，
由
即，则y=-1，z=1，
可得平面MBC的一个法向量n=(，-1，1).
又=(0，0，2)，
所以所求距离d=.(共29张PPT)
第三章
章末复习提升
网络构建
空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等.
一、空间向量的概念及运算
例1
√
√
√
√
√
C.因为λm(λ∈R且λ≠0)与m共线，由直线的方向向量的概念可知C正确；
D.如图，在三棱柱中，满足m与n，n与t，m与t都是共面向量，但是m，n，t不共面，故D错误.故选BC.
(1)下列各式正确的是
A.若a，b同向，则|a|＋|b|＝|a＋b|
B.a＋b与|a|＋|b|表示的意义是相同的
C.若a，b不共线，则|a＋b|>|a|＋|b|
D.|a|<|a＋b|恒成立
训练1
√
A正确；a＋b表示向量，|a|＋|b|表示数量，故B错误；若a，b不共线，
则|a＋b|<|a|＋|b|，故C错误；若b＝0，则|a|＝|a＋0|，故D错误.
√
1.空间中线面位置关系有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直.
2.证明的基本思想是利用直线的方向向量与平面的法向量，结合向量的共线和垂直的条件进行证明.将立体几何的线面关系转化为向量间的运算关系.
二、利用空间向量证明线面位置关系
例2
在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点.
(1)求证：BM∥平面PAD；
如图，以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
C(2，2，0)，M(1，1，1).
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由.
训练2
如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.
(1)证明：平面PQB⊥平面DCQ；
又DQ∩DC＝D，DQ，DC 平面DCQ，
故PQ⊥平面DCQ.又PQ 平面PQB，
所以平面PQB⊥平面DCQ.
(2)证明：PC∥平面BAQ.
三、利用空间向量求空间角
例3
如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
建立空间直角坐标系，如图所示，
(2)求直线AD与平面ANM的夹角的正弦值；
由(1)知A1D⊥AM，又A1D⊥AN，AM∩AN＝A，AM，AN 平面AMN，
(3)求平面ANM与平面ABCD的夹角的余弦值.
训练3
如图，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AB＝BC＝1，MD＝1，MD⊥平面ABCD，H是MB中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：
若选①.
因为MD⊥平面ABCD，所以AD⊥MD，CD⊥MD，
所以∠ADC就是二面角A－MD－C的平面角，
过D作DE⊥DC，垂足为E，以D为坐标原点，以DE，DC，DM所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系.
取平面MCD的一个法向量n＝(1，0，0).
设直线CH与平面MCD的夹角为θ，
所以DA，DC，DM两两垂直.
以D为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
取平面MCD的一个法向量n＝(1，0，0).
设直线CH与平面MCD的夹角为α，
四、利用空间向量求距离
例4
如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面AEC1F所截而得，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，
(1)求点C到平面AEC1F的距离；
由题意，以D为原点，以DA，DC，DF所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(0，4，0)，
E(2，4，1)，C1(0，4，3)，
设平面AEC1F的法向量n＝(x，y，z)，
(2)设过点B平行于平面AEC1F的平面为α，求平面AEC1F与平面α之间的距离.
训练4
取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面
MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示.

展开更多......

收起↑