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第五章　课时精练53　排列、组合问题中的解题方法
(分值:100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分,共25分
1.某次大学生知识大赛,某校代表队3人参赛,答4道题,每人至少答1道题,每题仅1人作答,则不同的题目分配方案种数为(　　)
24 30
36 42
2.在中华人民共和国成立70周年阅兵式中,空中梯队编有12个梯队,在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这6个梯队中,某学校为宣传的需要,要求甲同学从中选3个梯队了解其组成情况,其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个,则不同的选法种数为 (　　)
12种 16种
18种 20种
3.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一条信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为(　　)
10 11
12 15
4.永定土楼,位于中国东南沿海的福建省龙岩市,是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑,是中国古建筑的一朵奇葩,并成功列入世界遗产名录.它历史悠久、风格独特,规模宏大、结构精巧.土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中,圆形要排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有不同的排法种数为(　　)
480 240
384 1 440
5.(多选)A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确的有(　　)
若A,B不相邻共有72种方法
若A不站最左边,B不站最右边,有78种方法
若A在B左边有60种排法
若A,B两人站在一起有24种方法
6.甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览,每人只能去一个地方,人民公园一定要有人去,则不同游览方案的种数为　　　　.
7.从5个学校选出8名学生组成代表团,每校至少有一人的选法种数是　　　　.
8.把8个相同的小球放入4个不同的盒子中,有　　　　种不同的放法.
9.(10分)由1,2,3,4,5组成的五位数中,分别求解下列问题.(应写出必要的排列数或组合数,结果用数字表示)
(1)没有重复数字且为奇数的五位数的个数;
(2)没有重复数字且2和4不相邻的五位数的个数;
(3)恰有两个数字重复的五位数的个数.
10.(10分)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学,求
(1)5名同学站成一排,有多少种不同的方法
(2)5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,有多少种不同的方法
(3)将5名同学分配到三个班,每班至少1人,共有多少种不同的分配方法
二、综合运用
选择题每小题5分,共5分
11.(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力,利用周末进社区义务劳动,高三一共6个班,其中只有1班有2个劳动模范,本次义务劳动一共20个名额,劳动模范必须参加且不占名额,每个班都必须有人参加,则下列说法正确的是(　　)
若1班不再分配名额.则共有种分配方法
若1班有除劳动模范之外学生参加,则共有种分配方法
若每个班至少3人参加,则共有90种分配方法
若每个班至少3人参加,则共有126种分配方法
12.用1,2,3,4,5,0组成无重复数字的六位数,满足1和2不相邻,5和0不相邻,则这样的六位数的个数为　　　　.
13.(15分)某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习,实习前在学院门口合影留念,实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教,请回答以下问题.(用数字作答)
(1)若站成两排合影,两名教授站在前排,四名实习学生站在后排,则共有多少种不同的排法
(2)若站成一排合影,两名教授必须相邻,则共有多少种不同的排法
(3)实习结束后,四名实习生被安排在三所中学任教,若每个中学至少一人去且甲、乙两人不能去同一学校,则共有多少种不同的安排方法
三、创新拓展
14.(15分)(1)如图1所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法
(2)如图2所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,已知C地(十字路口)在修路,无法通行,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法
(3)如图3所示,某地有南北街道5条,东西街道6条(注意有一段DE不通),一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,共有多少种不同的走法
(4)如图4所示,某地有南北街道5条,东西街道6条,已知C地(十字路口)在修路,无法通行,且有一段路程DE无法通行,一邮递员从该地东北角的邮局A出发,送信到西南角的B地,要求所走的路程最短,有多少种不同的走法
课时精练53　排列、组合问题中的解题方法
1.C　2.B　3.B　4.A　5.ABC　
6.65　[由题可知没有限制时，每人有3种选择，则4人共有34种，若没人去人民公园，则每人有2种选择，则4人共有24种，故人民公园一定要有人去的不同游览方案有34-24=81-16=65(种).]
7.35　[假设8名学生的代表团已组建好，现将其返回到5个学校，每校至少一人，这样问题转化为将8个学生分成5组，每组至少一人，7个空档中插入4块隔板即可将其分成5组，故有=35种选法.]
8.165　[取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置，由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上挡板，共有=165种排法.]
9.解　(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.
=72(个).
(2)先对1，3，5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4，即=72(个).
(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即=1 200(个).
10.解　(1)有=120(种)不同的方法.
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有=24(种)不同的方法.
(3)按人数分配方式分类:
①3，1，1，有=10(种)方法;
②2，2，1，有=90(种)方法.
故共有10+90=100(种)分配方法.
11.BD　[对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误;
对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确;
对于CD，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有=126(种)，故C错误，D正确.]
12.276　[1，2，3，4，5，0组成无重复数字的六位数的个数共有=600(个)，其中1，2相邻的六位数的个数共有=192(个)，5，0相邻的六位数的个数共有=216(个)，1和2相邻且5和0相邻的六位数的个数共有=84(个)，即满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为600-192-216+84=276.]
13.解　(1)先排2名教授，有=2(种)不同的排法，再排4名实习学生，有=24(种)不同的排法，故由分步乘法计数原理可得，共有2×24=48(种)不同的排法.
(2)将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有=120(种)不同的排法.又2名教授有=2(种)不同的排法，所以共有2×120=240(种)不同的排法.
(3)因为甲、乙两人不能去同一所学校，
分为甲、乙均单独去一个学校，另两人去一个学校有=6(种);甲单独去一所学校，乙与另一人去一所学校有2=2×6=12(种)，乙单独去一所学校，甲与另一人去一所学校有2=2×6=12(种)，则共有6+12+12=30(种)不同的安排方法.
14.解　(1)由题意，由A到B的最短距离需要9步完成，其中向下走5步，向左走4步，故不同的走法共有=126(种).
(2)若先经过C再到B，需向下走3步，向左走2步，有种走法，由C到B需向下运动2步，向左运动2步，有种走法，故先经过C再到B共有，所以不经过C共有
=126-60=66(种)走法.
(3)经过ED，需要3步由A到D，再需要5步由E到B，由A到D共有种走法，由E到B共有种走法，所以经过ED的走法共有种，
故不经过ED的走法共有=126-30=96(种).
(4)由A经过DE到C的走法共有种，再由C到B需要向下、向左各2步共有种走法，故经过DE到C再到B的走法共有种，
所以不经过DE也不经过C的走法共有=54(种).习题课　排列、组合问题中的解题方法
课标要求　1.理解排列组合中捆绑法、插空法、特殊元素法、总体淘汰法和隔板法的解题原理; 2.会用这些方法解决常见的排列组合问题.
一、捆绑法
例1 (1)6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有 (　　)
A.720种 B.360种
C.240种 D.120种
(2)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (　　)
A.3×3! B.3×(3!)3
C.(3!)4 D.9!


思维升华　将n个不同的元素排成一列，其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上，求不同排法种数的方法如下:①将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体;②把这个整体当成一个元素与其他元素一起排列，有种排法;③“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，其排列方法有种;④由分步乘法计数原理知，符合条件的排法有·种.
训练1 (1)三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的方法共有 (　　)
A.72种 B.108种
C.36种 D.144种
(2)为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有 (　　)
A.12种 B.28种
C.20种 D.16种
二、插空法
例2 (1)4位同学与语文老师、数学老师排成一排留影，要求两位老师不能相邻，也不能站两端，则不同的站法种数为 (　　)
A.48 B.72
C.96 D.144
(2)一次考试后，学校准备表彰在该次考试中排名前10位的同学，其中有2位是高三(1)班的同学，现要选4人去“表彰会”上作报告，若高三(1)班的2人同时参加，则2人作报告的顺序不能相邻，则要求高三(1)班至少有1人参加的作报告的方案共有　　　　种.(用数字作答)


思维升华　将n个不同的元素排成一列，其中k个元素互不相邻，求不同排法种数的方法如下:
①将没有不相邻要求的(n-k)个元素排成一排，其排列方法有种;②将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中，相当于从(n-k+1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有种;③根据分步乘法计数原理知，符合条件的排法有种.
训练2 (1)4名女生与3名男生站成一排，最左端站女生，最右端站男生，且男生互不相邻的站法共　　　　种.
(2)现有5盏形状各异的彩灯，其中红、黄颜色的灯各两盏，蓝色的灯一盏，将这5盏彩灯排成一行，若要求相同颜色的灯不能相邻，则不同的排法共有 (　　)
A.24种 B.36种
C.48种 D.72种
三、特殊元素(位置)法
例3 (1)在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有 (　　)
A.34种 B.48种
C.96种 D.144种
(2)一个6位数的密码，第1位的数字为8，其余5个位置，每个数字都小于3，并且5个数字之和小于等于3，则满足条件的密码个数为 (　　)
A.49 B.50
C.51 D.52


思维升华　若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素，若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置，若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件.
训练3 (1)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 (　　)
A.8种 B.14种
C.20种 D.116种
(2)4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有 (　　)
A.12种 B.14种
C.16种 D.24种
四、总体淘汰法(间接法)
例4 (1)如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为 (　　)
A.208 B.204
C.200 D.196
(2)国庆期间，电影《志愿军:雄兵出击》在全国上映，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为了安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为 (　　)
A.8 B.12
C.16 D.20


思维升华　有些排列组合问题正面考虑比较复杂，这时它的反面所涉及情况往往比较简单，此时可以先求出它的反面再从整体中减掉就可得到结果.
训练4 (1)有7个球，其中红色球2个(同色不加区分)，白色、黄色、蓝色、紫色、灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有　　　　种不同的排法(用数字回答).
(2)某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，共6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任意两盆锦紫苏不相邻的摆法种数为 (　　)
A.96 B.120
C.48 D.72
五、隔板法
例5 (1)某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽出10辆车，且每个车队至少抽1辆，组成一个运输队，则不同的抽法有 (　　)
A.84种 B.120种
C.63种 D.301种
(2)方程x1+x2+x3+x4=10共有多少组正整数解




思维升华　隔板法专门解决相同元素的分配问题.将n个相同的元素分给m(m≤n)个不同的对象，有种方法.可理解为在(n-1)个空中插入(m-1)块板.
训练5 将5本完全相同的书，分给3位同学，每个同学至少有一本，共有　　　　种分法.


【课堂达标】
1.某学校要求错峰有序吃饭，高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有 (　　)
A.120种 B.156种
C.192种 D.240种
2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 (　　)
A.140种 B.80种
C.70种 D.35种
3.某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，至少有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有　　　　种.(用数字作答)
4.某九位数的各个数位由数字1，2，3组成，其中每个数字各出现3次，且数字1和数字2不能相邻，则符合条件的不同九位数的个数是　　　　.(用数字作答)
习题课　排列、组合问题中的解题方法
例1　(1)C　(2)C　[(1)将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有=240(种).
(2)利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为·()3=(3!)4.]
训练1　(1)D　(2)C　[(1)先将男生甲与乙“捆绑”，有种方法，再与另一个男生排列，则有种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，则共有=144(种)方法.
(2)若中心组学习安排在第1阶段，主题班会、主题团日捆绑在一起安排，看作一个整体，则其余四种活动的安排方法有=12(种);若中心组学习安排在第2阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3，4阶段或者第4，5阶段，专题报告会、党员活动日分别安排在剩下的2个阶段，不同的安排方法有2=8(种).故共有12+8=20(种)不同的安排方案，故选C.]
例2　(1)D　(2)3 024　[(1)法一　(插空法)
先排学生，再插空排老师，共有=144(种)不同的站法.
法二　(分类讨论法)
教师站的位置有“×师×师××”“×师××师×”“××师×师×”三种情况，故共有3×=144(种)不同的站法.故选D.
(2)若高三(1)班只有1人参加，则有=2 688(种)不同的方案;若高三(1)班2人都参加，则有=336(种)不同方案，故共有3 024种不同的方案.]
训练2　(1)432　(2)C　[首先全排男生，共有种情况，再选出两名女生捆绑在一起，共有种情况，将女生插入男生空出的前三个空，共有=432.
(2)由题意知先使5盏灯全排列，共有
种(相邻的看成一整体);当红色相邻，黄色不相邻时一共有种(相邻的看成一整体，不相邻利用插空法);同理黄色相邻，红色不相邻一共有种，∴相同颜色的灯不能相邻的排法是=48种.]
例3　(1)C　(2)C　[(1)由题意可知，先排工序A，有2种排法;再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2
=96(种).故选C.
(2)其余5个数在0，1，2三个数中任取一个，要5个数字和小于等于3，则有以下情况:五个0;四个0，一个1或2;三个0，两个1或一个1一个2;两个0，三个1.总数为1+2=51.]
训练3　(1)B　(2)B　[(1)按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有=3×2=6(种)可能;
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有=2×4=8(种)可能;
根据分类加法计数原理，共有6+8=14(种)可能.
(2)若不考虑限制条件，4名队员全排列共有=24(种)排法，去除甲跑第一棒有=6(种)排法，乙跑第4棒有=6(种)排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有=2(种)排法，共有=14(种)不同的出场顺序.]
例4　(1)C　(2)C　[(1)任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种:一是3条横线上的4个点，其组数为3;二是4条竖线上的3个点，其组数为4;三是4条对角线上的3个点，其组数为4，所以可以构成三角形的组数为=200.
(2)总坐法有种，当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧均无家长，此坐法有2种，所以不同的坐法种数为=16.]
训练4　(1)408　(2)B　[(1)不考虑白色球排列限制，先不排黄色球和红色球，其他球任意排列共有种排法，再将2个红色球 (排一起)和黄色球插入5个空隙中，有种排法，即此时排法共有=480(种)，而最左边排白色球的排法共有=72(种)，故符合条件的排法共有480-72=408(种).
(2)使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有种，然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有种，根据分步乘法计数原理有.去除郁金香在两边的情况，先排2盆虞美人、1盆郁金香有2种，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有，根据分步计数原理有2，所以共有=120(种).故选B.]
例5　(1)A　[首先将10辆车排好，这样形成9个空，从这9个空中选6个，插入隔板，即将这10辆车分成7份，每一种插法对应一种抽法，故共有=84(种)不同的抽法.故选A.]
(2)解　将10个完全相同的小球排成一列，形成9个空，从中选3个，插入隔板，将球分成4份，各份球的数目，分别对应x1，x2，x3，x4，即为原方程的一组正整数解.故原方程组共有=84组不同的正整数解.
训练5　6　[根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有=6种情况，即有6种不同的分法.]
课堂达标
1.C　2.C　3.40　4.92　(共59张PPT)
第五章
习题课　排列、组合问题中的解题方法
课标要求
1.理解排列组合中捆绑法、插空法、特殊元素法、总体淘汰法和隔板法的解题原理；
2.会用这些方法解决常见的排列组合问题.
课时精练
一、捆绑法
二、插空法
三、特殊元素（位置）法
课堂达标
内容索引
四、总体淘汰法（间接法）
五、隔板法
捆绑法
一
例1
√
(1)6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有
A.720种 B.360种 C.240种 D.120种
√
(2)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
A.3×3! B.3×(3！)3 C.(3！)4 D.9!
思维升华
(1)三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的方法共有
A.72种 B.108种 C.36种 D.144种
训练1
√
√
(2)为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有
A.12种 B.28种 C.20种 D.16种
插空法
二
例2
√
(1)4位同学与语文老师、数学老师排成一排留影，要求两位老师不能相邻，也不能站两端，则不同的站法种数为
A.48 B.72 C.96 D.144
法一　(插空法)
3 024
(2)一次考试后，学校准备表彰在该次考试中排名前10位的同学，其中有2位是高三(1)班的同学，现要选4人去“表彰会”上作报告，若高三(1)班的2人同时参加，则2人作报告的顺序不能相邻，则要求高三(1)班至少有1人参加的作报告的方案共有________种.(用数字作答)
思维升华
(1)4名女生与3名男生站成一排，最左端站女生，最右端站男生，且男生互不相邻的站法共________种.
训练2
432
(2)现有5盏形状各异的彩灯，其中红、黄颜色的灯各两盏，蓝色的灯一盏，将这5盏彩灯排成一行，若要求相同颜色的灯不能相邻，则不同的排法共有
A.24种 B.36种 C.48种 D.72种
√
特殊元素(位置)法
三
例3
(1)在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有
A.34种 B.48种 C.96种 D.144种
√
√
(2)一个6位数的密码，第1位的数字为8，其余5个位置，每个数字都小于3，并且5个数字之和小于等于3，则满足条件的密码个数为
A.49 B.50 C.51 D.52
思维升华
若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素，若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置，若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件.
训练3
(1)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有
A.8种 B.14种 C.20种 D.116种
√
(2)4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有
A.12种 B.14种 C.16种 D.24种
√
总体淘汰法(间接法)
四
例4
(1)如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为
√
A.208 B.204 C.200 D.196
√
(2)国庆期间，电影《志愿军：雄兵出击》在全国上映，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为了安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为
A.8 B.12 C.16 D.20
思维升华
有些排列组合问题正面考虑比较复杂，这时它的反面所涉及情况往往比较简单，此时可以先求出它的反面再从整体中减掉就可得到结果.
训练4
(1)有7个球，其中红色球2个(同色不加区分)，白色、黄色、蓝色、紫色、灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有________种不同的排法(用数字回答).
408
(2)某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，共6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任意两盆锦紫苏不相邻的摆法种数为
A.96 B.120 C.48 D.72
√
隔板法
五
例5
(1)某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽出10辆车，且每个车队至少抽1辆，组成一个运输队，则不同的抽法有
A.84种 B.120种 C.63种 D.301种
√
(2)方程x1＋x2＋x3＋x4＝10共有多少组正整数解？
思维升华
训练5
将5本完全相同的书，分给3位同学，每个同学至少有一本，共有________种分法.
6
【课堂达标】
1.某学校要求错峰有序吃饭，高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有
A.120种 B.156种 C.192种 D.240种
√
√
2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有
A.140种 B.80种 C.70种 D.35种
3.某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，至少有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种.(用数字作答)
40
4.某九位数的各个数位由数字1，2，3组成，其中每个数字各出现3次，且数字1和数字2不能相邻，则符合条件的不同九位数的个数是________.(用数字作答)
92
【课时精练】
√
1.某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为
A.24 B.30 C.36 D.42
√
2.在中华人民共和国成立70周年阅兵式中，空中梯队编有12个梯队，在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这6个梯队中，某学校为宣传的需要，要求甲同学从中选3个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个，则不同的选法种数为
A. 12种 B. 16种 C. 18种 D. 20种
√
由题意可分为3类.
3.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一条信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为
A.10 B.11 C.12 D.15
4.永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩，并成功列入世界遗产名录.它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧.土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有不同的排法种数为
A.480 B.240 C.384 D.1 440
√
√
5.(多选)A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有
A.若A，B不相邻共有72种方法
B.若A不站最左边，B不站最右边，有78种方法
C.若A在B左边有60种排法
D.若A，B两人站在一起有24种方法
√
√
6.甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种数为________.
65
7.从5个学校选出8名学生组成代表团，每校至少有一人的选法种数是________.
35
165
8.把8个相同的小球放入4个不同的盒子中，有________种不同的放法.
9.由1，2，3，4，5组成的五位数中，分别求解下列问题.(应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示)
(1)没有重复数字且为奇数的五位数的个数；
(2)没有重复数字且2和4不相邻的五位数的个数；
(3)恰有两个数字重复的五位数的个数.
(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.
10.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求
(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？
(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？
按人数分配方式分类：
√
√
12.用1，2，3，4，5，0组成无重复数字的六位数，满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为________.
276
13.某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答)
(1)若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？
(2)若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？
(3)实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去且甲、乙两人不能去同一学校，则共有多少种不同的安排方法？
因为甲、乙两人不能去同一所学校，
14.(1)如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？
(2)如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？
(3)如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条(注意有一段DE不通)，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？
(4)如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，且有一段路程DE无法通行，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？

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