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4.2　超几何分布
课标要求　1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题.
【引入】 从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出6张，求至少有3张A的概率.
你会解决这个问题吗 相信学完这节课就能很容易地解答出来.
一、超几何分布的概念
探究1 已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X=2时对应的概率.


【知识梳理】
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X=k)=　　　　　　　，max{0，n-(N-M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N+.
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从N，M，n的　　　　　　.
温馨提示　(1)超几何分布的特点:不放回抽样.
(2)超几何分布的实质是古典概型.
例1 (多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是 (　　)
A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
(2)(多选)关于超几何分布下列说法正确的是 (　 )
A.超几何分布的模型是不放回抽样
B.超几何分布的总体里可以只有一类物品
C.超几何分布中的参数是N，M，n
D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成


思维升华　判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点
(1)总体是否可分为两类明确的对象(多类对象可转化为两类对象).
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
训练1 (1)(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有 (　　)
A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台，记X表示所取的2台冰箱中甲型冰箱的台数
C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X
D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
(2)(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有 (　　)
A.抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B.有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C.盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D.某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生的人数X
二、超几何分布的分布列
例2 盒子中有6个球，其中有4个红球、2个白球，现从中随机取出3个球.
(1)X表示所取球中所含白球个数，求X的分布列.
(2)Y表示所取球中所含红球个数，求Y的分布列.




思维升华　(1)在产品抽样检验中，如果是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布.
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k)，从而求出X的分布列.
训练2 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名;乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A发生的概率;
(2)设随机变量X为选出的4人中种子选手的人数，求X的分布列.




三、超几何分布的均值
探究2 计算例2中的EX，你能发现服从超几何分布的随机变量的均值与n，M，N有关系吗


【知识梳理】
超几何分布的均值:一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX=　　　　.
温馨提示　解决该类问题时可直接利用公式，但一定要注意公式中各字母的取值范围及其意义.
例3 (链接教材P218练习T2)某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为.
　　专业 性别　　
中文 英语 数学 体育
男 n 1 m 1
女 1 1 1 1
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).
(1)求m，n的值;
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率;
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值.




思维升华　求超几何分布均值的步骤
(1)判断随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值.
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率.
(3)利用均值公式求解.
训练3 为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人;文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从理科生中抽取6人，从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生中文、理科生都有”，求事件A发生的概率；
(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列及均值.




【课堂达标】
1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
2.有10个游戏币，其中3个是假币，从中任取两个，若X表示取得假币的个数，则P(X<2)等于 (　　)
A. B.
C. D.
3.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X=1)=　　　　　.
4.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为　　　　，EX=　　　　.
4.2　超几何分布
探究1　提示　若采用有放回抽样时X服从二项分布，即X~B(3，0.4)，P(X=2)=×0.42×0.6=0.288.
若采用不放回抽样，那么各次试验条件就不同了，不是伯努利试验类型，此时，只能用古典概型求解，首先，从这10件产品中任取3件，共有种取法.X的可能取值为0，1，2，3.其中“X=2”表示“任取的3件产品中含2件次品”，故事件“X=2”的概率为P(X=2)==0.3.
知识梳理
　　超几何分布
例1　(1)ACD　(2)ACD　[(1)由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.
(2)由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，故A正确;
超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n(n≤N)件，这n件所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为k时的概率为P(X=k)=(k≤l，l是n和M中较小的一个)，
∴B错误;C、D正确.]
训练1　(1)ABD　(2)CD　[(1)依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
(2)AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符合题意;CD符合超几何分布的特征，样本都可分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布.]
例2　解　(1)由题意，得X的可能取值为0，1，2.
P(X=0)=.
P(X=1)=.
P(X=2)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)由题意，得Y的可能取值为1，2，3.
P(Y=1)=.
P(Y=2)=.
P(Y=3)=.
所以Y的分布列为
Y 1 2 3
P
训练2　解　(1)由题意可得P(A)=.
(2)随机变量X的可能取值为1，2，3，4，
则P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=，
P(X=4)=，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
探究2　提示　若X服从超几何分布，则EX=.
知识梳理
　　
例3　解　(1)设事件A为“从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，
由题意，可知数学专业的同学共有(1+m)名，
则P(A)=，解得m=3.
因为m+n+6=10，所以n=1.
(2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，
则P(B)=.
(3)由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ=0)=，
P(ξ=1)=，
P(ξ=2)=，
P(ξ=3)=.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
均值Eξ=0×.
或由题意知随机变量ξ服从参数为n=3，M=7，N=10的超几何分布，
故Eξ=.
训练3　解　(1)由题意可得，抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.
所以P(A)=.
(2)X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以EX=0×，
或由题意知X服从参数n=4，N=10，M=3的超几何分布，故EX=.
课堂达标
1.C　2.D　3.　3　(共64张PPT)
第六章 §4　二项分布与超几何分布
4.2　超几何分布
课标要求
1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.
2.能用超几何分布解决简单的实际问题.
从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出6张，求至少有3张A的概率.
你会解决这个问题吗？相信学完这节课就能很容易地解答出来.
引入
课时精练
一、超几何分布的概念
二、超几何分布的分布列
三、超几何分布的均值
课堂达标
内容索引
超几何分布的概念
一
探究1 已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X＝2时对应的概率.
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从N，M，n的
____________.
知识梳理
超几何分布
温馨提示
(1)超几何分布的特点：不放回抽样.
(2)超几何分布的实质是古典概型.
例1
√
(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是
A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
√
√
由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.
√
(2)(多选)关于超几何分布下列说法正确的是
A.超几何分布的模型是不放回抽样
B.超几何分布的总体里可以只有一类物品
C.超几何分布中的参数是N，M，n
D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
√
√
由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，故A正确；
判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点
(1)总体是否可分为两类明确的对象(多类对象可转化为两类对象).
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
思维升华
(1)(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有
A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台，记X表示所取的2台冰箱中甲型冰箱的台数
C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X
D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
训练1
√
√
√
依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
√
(2)(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有
A.抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B.有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C.盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D.某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生的人数X
√
AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符合题意；CD符合超几何分布的特征，样本都可分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布.
超几何分布的分布列
二
例2
盒子中有6个球，其中有4个红球、2个白球，现从中随机取出3个球.
(1)X表示所取球中所含白球个数，求X的分布列.
由题意，得X的可能取值为0，1，2.
(2)Y表示所取球中所含红球个数，求Y的分布列.
由题意，得Y的可能取值为1，2，3.
思维升华
(1)在产品抽样检验中，如果是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布.
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列.
为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A发生的概率；
训练2
(2)设随机变量X为选出的4人中种子选手的人数，求X的分布列.
随机变量X的可能取值为1，2，3，4，
超几何分布的均值
三
探究2 计算例2中的EX，你能发现服从超几何分布的随机变量的均值与n，M，N有关系吗？
知识梳理
知识梳理
超几何分布的均值：一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝__________.
温馨提示
解决该类问题时可直接利用公式，但一定要注意公式中各字母的取值范围及其意义.
例3
　　专业 性别　　 中文 英语 数学 体育
男 n 1 m 1
女 1 1 1 1
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).
(1)求m，n的值；
设事件A为“从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，
由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，
解得m＝3.
因为m＋n＋6＝10，所以n＝1.
设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值.
由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0，1，2，3.
思维升华
求超几何分布均值的步骤
(1)判断随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值.
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率.
(3)利用均值公式求解.
训练3
为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从理科生中抽取6人，从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生中文、理科生都有”，求事件A发生的概率：
由题意可得，抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.
(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列及均值.
X的可能取值为0，1，2，3，
【课堂达标】
√
√
3.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝__________.
4.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为________，EX＝________.
3
【课时精练】
√
所给算式的意义相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率.
√
2.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数.
这四种变量中服从超几何分布的是
A.①② B.③④
C.①②④ D.①②③④
对于①，当X表示最大号码，比如X＝6表示从黑球编号为1，2，3，4，5中取3个黑球，而X＝8表示从6个黑球和编号为7的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.对于③，X的可能取值为4，5，6，7，8，X＝4表示取出4个白球；X＝5表示取出3个白球1个黑球；X＝6表示取出2个白球2个黑球；X＝7表示取出1个白球3个黑球；X＝8表示取出4个黑球，因此X服从超几何分布.由超几何分布的概念知④符合.
√
√
√
√
由题意知有两种情况：0个正品、4个次品，1个正品、3个次品，
6.有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为__________(用式子表示).
7.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则P(X≥8)＝________.
5
9.在10件产品中有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件.求：
(1)取出的3件产品中一等品的件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率.
设“取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3，
10.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从10张中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的期望.
X的所有可能值为：0，10，20，50，60，
故X的概率分布列为：
√
√
√
4
1
则红色球4个，白球2个，黑球3个，故有
13.2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现了快速交会对接.据航天科技集团五院的专家介绍，此次天舟货运飞船携带的物资可以供3名航天员在太空中生活3个月，这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录.如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担，在3名女性航天员(甲、乙、丙)和4名男性航天员(丁、戊、己、庚)共7名航天员中产生.
(1)求所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员的概率；
设“选出执行空间站任务3名航天员性别不同”为事件M，
(2)求所选的3名航天员中女航天员人数X的分布列及数学期望.
14.口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球.ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是
A.Eξ＜Eη，Dξ＜Dη B.Eξ＞Eη，Dξ＜Dη
C.Eξ＜Eη，Dξ＞Dη D.Eξ＞Eη，Dξ＞Dη
√
当n＝3时，ξ的可能取值为1，2，3，第六章　课时精练64　超几何分布
(分值:100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分,共25分
1.一个盒子里装有大小相同的10个黑球,12个红球,4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是(　　)
P(0P(X=1) P(X=2)
2.一个袋中有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:
①X表示取出的最大号码;
②X表示取出的最小号码;
③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分;
④X表示取出的黑球个数.
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
①② ③④
①②④ ①②③④
3.(多选)已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其次品数为ξ,已知P(ξ=1)=,则这10件产品中的次品数可能为(　　)
8 6
4 2
4.某公司有一批专业技术人员,其中年龄在35~50岁的本科生和研究生分别有30人和20人,现用分层随机抽样方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任意抽取3人,则至少有1人为研究生的概率为(　　)
5.10个排球中有6个正品,4个次品,从中随机抽取4个,则正品数比次品数少的概率为(　　)
6.有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为　　　　　(用式子表示).
7.袋中装有5个红球和4个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得3分,取到1个黑球得1分,设得分为随机变量X,则P(X≥8)=　　　　　.
8.一个袋中装有黑球、白球和红球共n(n∈N+)个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是.现从袋中任意摸出2个球,当n=　　　　时,摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大,且最大概率为　　　　.
9.(15分)在10件产品中有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件.求:
(1)取出的3件产品中一等品的件数X的分布列;
(2)取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率.
10.(15分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从10张中任抽2张,求:
(1)该顾客中奖的概率;
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的期望.
二、综合运用
选择题每小题5分,共5分
11.(多选)在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是(　　)
两件都是一等品的概率是
两件中有1件是次品的概率是
两件都是正品的概率是
两件中至少有1件是一等品的概率是
12.袋中有大小形状相同的红球、黑球和白球共9个,其中白球有2个,从袋中任意不放回地取出2球,至少取到1个红球的概率为,则红球有　　　　个,在此情况下,若从袋中任意不放回地取出3球,记取到黑球的个数为ξ,则随机变量ξ的数学期望Eξ=　　　　.
13.(15分)2021年5月30日清晨5时01分,天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后,中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演,天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现了快速交会对接.据航天科技集团五院的专家介绍,此次天舟货运飞船携带的物资可以供3名航天员在太空中生活3个月,这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录.如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担,在3名女性航天员(甲、乙、丙)和4名男性航天员(丁、戊、己、庚)共7名航天员中产生.
(1)求所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员的概率;
(2)求所选的3名航天员中女航天员人数X的分布列及数学期望.
三、创新拓展
选择题每小题5分,共5分
14.口袋中有相同的黑色小球n个,红、白、蓝色的小球各一个,从中任取4个小球.ξ表示当n=3时取出黑球的数目,η表示当n=4时取出黑球的数目.则下列结论成立的是(　　)
EξEη,DξEξDη 　Eξ>Eη,Dξ>Dη
课时精练64　超几何分布
1.B　2.B　3.AD　4.D　5.A　
6.　[二级品不多于1台，即一级品有3台或4台，故所求概率为.]
7.　[由题意知P(X≥8)=1-P(X=6)-P(X=4)=1-.]
8.5　　[依题意，得袋中黑球的个数为n(n=5，10，15，20，…).
记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球”为事件C，
则P(C)=1-，
所以当n=5时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为.]
9.解　(1)由题意知X服从参数为10，3，3的超几何分布，其分布列为P(X=k)=(k=0，1，2，3).
P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)设“取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3，
则P(A1)=，P(A2)=P(X=2)=，
P(A3)=P(X=3)=，
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1+A2+A3，
所以P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
所以取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为.
10.解　(1)P=1-，
即该顾客中奖的概率为.
(2)X的所有可能值为:0，10，20，50，60，
且P(X=0)=，
P(X=10)=，
P(X=20)=，
P(X=50)=，
P(X=60)=.
故X的概率分布列为:
X 0 10 20 50 60
P
EX=0×=16(元).
11.ABD　[两件都是一等品的概率为，两件中有一件次品的概率为，两件都是正品的概率为，两件中至少有1件是一等品的概率为.]
12.4　1　[设红球m个，黑球7-m个，至少取到1个红球的概率，就是取出一个是红色，另一个是其他色，共计种情况，还有一个可能就是两个都是红色有种情况，所以，解得m=4.则红色球4个，白球2个，黑球3个，故有
P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，
P(ξ=2)=，P(ξ=3)=，
所以数学期望Eξ=0×=1.
或由题意知ξ服从参数N=9，M=3，n=3的超几何分布，故Eξ==1.]
13.解　(1)设“选出执行空间站任务3名航天员性别不同”为事件M，则P(M)=1-.
(2)由题意知所选的3名航天员中女航天员人数X服从参数N=7，M=3，n=3的超几何分布且X=0，1，2，3，所以P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，所以X的分布列
X 0 1 2 3
P
EX=.
14.A　[当n=3时，ξ的可能取值为1，2，3，
P(ξ=1)=，
P(ξ=2)=，
P(ξ=3)=，
∴Eξ==2，
Dξ=;
当n=4时，η可取1，2，3，4，
P(η=1)=，
P(η=2)=，
P(η=3)=，
P(η=4)=，
∴Eη=，
Dη=，
∴Eξ

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