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第六章　课时精练65　离散型随机变量及其分布列
(分值:100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分,共25分
1.若X~B(5,0.1),则P(X≤2)等于(　　)
0.665 0.008 56
0.918 54 0.991 44
2.有8名学生,其中有5名男生,从中选出4名代表,选出的代表中男生人数为X,则其均值EX等于(　　)
2 2.5
3 3.5
3.(多选)设火箭发射失败的概率为0.01,若发射10次,其中失败的次数为X,则下列结论正确的是(　　)
EX=0.1 P(X=k)=0.01k×0.9910-k
DX=0.99 P(X=k)=×0.01k×0.9910-k
4.在100张奖券中,有4张能中奖,从中任取2张,则2张都能中奖的概率是(　　)
5.(多选)一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为,若该射手射击四次命中次数为ξ,每次命中的概率为p,则(　　)
ξ~B(4,p) P(ξ≥1)=
p=
6.某射手射击所得环数X的分布列如下:
X 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知X的均值EX=8.9,则x的值为　　　　,y的值为　　　　.
7.一批产品共50件,其中5件次品,其余均为正品,从这批产品中任意抽取两件,其中出现次品的概率为　　　　.
8.现有A,B两队参加某知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢1分,答错得0分.A队中每人答对的概率均为,B队中3人答对的概率分别为,,,且各答题人答题正确与否互不影响,设A队总分数为随机变量X,则X的数学期望为　　　　.若事件M表示“A队共得2分”,事件N表示“B队共得1分”,则P(MN)=　　　　.
9.(10分)某学校在其“环保周”组织“碳达峰、碳中和”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学在两类问题中分别随机抽取一个问题进行回答.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得30分,否则得0分.小强作为本班代表参赛,已知小强能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)求小强至少答对一个问题的概率;
(2)记X为小强的累计得分,求X的分布列及期望.
10.(10分)甲、乙两人射击,甲射击1次中靶的概率是p1,乙射击1次中靶的概率是p2,且,是方程x2-5x+6=0的两个实根.已知甲射击5次,中靶次数的方差是.
(1)求p1,p2的值;
(2)若两人各射击2次,至少中靶3次就算完成目标,则完成目标的概率是多少
(3)若两人各射击1次,至少中靶1次就算完成目标,则完成目标的概率是多少
二、综合运用
选择题每小题5分,共5分
11.在一个袋中装有除颜色外完全相同的6个黑球,4个白球,现从中任取4个小球,设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的是(　　)
P(X=2)=
随机变量X服从二项分布
随机变量X服从超几何分布
EX=
12.已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p),且EX=4,DX=q,则的最小值为　　　　.
13.(15分)为了加强环保知识的宣传,某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.活动设置了四个箱子,分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”,另有卡片若干张,每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张,按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则,每正确投放一张卡片得5分,投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得5分,放入其他箱子,得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人,
将他们的得分按照[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分组,绘成如右频率分布直方图.
(1)分别求出所抽取的20人中得分落在[0,20]和(20,40]内的人数;
(2)从所抽取的20人中得分落在[0,40]内的选手中随机选取3名选手,以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数,求X的分布列和数学期望.
三、创新拓展
14.(15分)某环保机器制造商对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案:
方案一:交纳延保金5 000元,在延保的5年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费1 000元.
方案二:交纳延保金6 230元,在延保的5年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费t元.
制造商为制定收费标准,搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数,统计得到下表:
维修次数 0 1 2 3
机器台数 20 40 80 60
以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列.
(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据,为使选择方案二对客户更合算,应把t定在什么范围内
课时精练65　离散型随机变量及其分布列
1.D　2.B　3.AD　4.C　5.ABD　
6.0.2　0.4　[由题意知
解得x=0.2，y=0.4.]
7.　[设抽取的两件产品中次品的件数为X，
则P(X=k)=(k=0，1，2).
∴P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)=.]
8.1　　[由题意可得，随机变量X~B，
故X的数学期望EX=np=3×=1.
事件M表示“A队共得2分”，即A队中有一人答错，其余两人答对，
所以P(M)=，
事件N表示“B队共得1分”，即B队中有两人答错，剩余一人答对，
所以P(N)=，
所以P(MN)=P(M)P(N)=.]
9.解　用事件C表示小强至少答对一个问题.
则事件C包含了3种可能性:①小强答对A类问题，答错B类问题，
②小强答错A类问题，答对B类问题，
③小强A类和B类均答对.
∴P(C)=0.8×(1-0.6)+(1-0.8)×0.6+0.8×0.6=0.92.
故小强至少答对一个问题的概率为0.92.
(2)X为小强的累计得分，X的所有可能取值为:0，20，30，50.
P(X=0)=(1-0.8)×(1-0.6)=0.08，
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32，
P(X=30)=(1-0.8)×0.6=0.12，
P(X=50)=0.8×0.6=0.48，
所以随机变量X的分布列为:
X 0 20 30 50
P 0.08 0.32 0.12 0.48
EX=0×0.08+20×0.32+30×0.12+50×0.48=34，所以随机变量X的期望为34.
10.解　(1)由题意可知，甲射击中靶的次数X甲~B(5，p1).
∴DX甲=5p1(1-p1)=.
∴=0，解得p1=.
又=6，∴p2=.
(2)甲、乙两人射击中靶与否互不影响，分两类情况:共击中3次的概率为
+
.
共击中4次的概率为
.
则所求概率为.
(3)两人各射击1次，都未中靶的概率为
，
则两人各射击1次，至少中靶1次的概率为1-.
11.ACD　[由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确;
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=，P(X=3)=，
P(X=4)=，
所以EX=0×，故A，D正确.故选ACD.]
12.　[由题意得EX=4=np，
DX=q=np(1-p)，
所以p+=1(p>0，q>0)，
所以，当且仅当q=2p=，即q=，p=时取等号.]
13.解　(1)由题图知，所抽取的20人中得分落在[0，20]内的人数有0.005 0×20×20=2，得分落在(20，40]内的人数有0.007 5×20×20=3.
(2)由题意可知，X的可能取值为0，1，2，
P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以EX=0×.
14.解　(1)由题意得X=0，1，2，3，4，5，6，
P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=，
P(X=4)=，
P(X=5)=，
P(X=6)=，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)设选择方案一时所需费用为Y1元，
则X≤2时，Y1=5 000;X=3时，Y1=6 000;X=4时，Y1=7 000;X=5时，Y1=8 000;X=6时，Y1=9 000.
所以Y1的分布列为
Y1 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000
P
EY1=5 000×=6 860.
设选择方案二时所需费用为Y2元，则X≤4时，Y2=6 230;
X=5时，Y2=6 230+t;X=6时，Y2=6 230+2t.
则Y2的分布列为
Y2 6 230 6 230+t 6 230+2t
P
EY2=6 230×+(6 230+t)×+(6 230+2t)×，
要使选择方案二对客户更合算，则EY2所以6 230+<6 860，解得t<1 500，
即t的取值范围为[0，1 500).习题课　离散型随机变量及其分布列
课标要求　1.掌握离散型随机变量的分布列. 2.掌握离散型随机变量的均值与方差的概率. 3.能区分二项分布、超几何分布.
一、二项分布与超几何分布
例1 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求:
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值;
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.




思维升华　二项分布与超几何分布的区别与联系
(1)区别:不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布.
(2)联系:当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，此时可以近似把超几何分布认为是二项分布.
训练1 某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)
(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望.




二、与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差
例2 某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为，三步篮投中的概率为，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次.
(1)求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率;
(2)求该同学的总得分X的分布列、数学期望和方差.




思维升华　若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率.
训练2 某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知A，D两辆汽车每天出车的概率为，B，C两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下:
汽车车牌尾号 车辆限行日
0和5 星期一
1和6 星期二
2和7 星期三
3和8 星期四
4和9 星期五
(1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率;
(2)设X表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求X的分布列和均值.




三、与统计有关的分布列的均值
例3 从一企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.
(1)求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率;
(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X，求X的分布列和数学期望.




思维升华　求与统计有关的分布列问题，常借助题设条件中的图表数据，运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解.
训练3 某校为推进科技进校园活动组织了一次科技知识问答竞赛，组委会抽取了100名学生参加，根据得到的竞赛成绩作出如图所示的频率分布直方图.已知成绩在[75，80)内的学生有20人.
(1)求a，b的值，并估计本次竞赛学生成绩的中位数(结果保留一位小数);
(2)从成绩在[65，70)与[95，100]内的学生中任取3人进行问卷调查.记这3名学生成绩在[95，100)内的人数为X，求X的分布列与期望.



【课堂达标】
1.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是 (　　)
A.np(1-p) B.np
C.n D.p(1-p)
2.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示:
使用时 间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60
个数 10 40 80 50 20
若以频率视为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
3.某处有供水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为，3个水龙头同时被打开的概率为　　　　.
4.若X~B，则P(X=k)取得最大值时，k=　　　　. 习题课　离散型随机变量及其分布列
例1　解　(1)法一　由题意知X的可能取值为0，1，2.
P(X=0)=;
P(X=1)=;
P(X=2)=.
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
EX=0×.
法二　由题意知P(X=k)=(k=0，1，2)，
∴随机变量X服从超几何分布，n=3，M=2，N=10，
∴EX=.
(2)由题意知抽取1次取到次品的概率为，
随机变量Y服从二项分布Y~B，
∴EY=3×.
DY=3×.
训练1　解　(1)设“从100个水果中随机抽取1个，抽到礼品果”为事件A，则P(A)=，
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为Z，则Z~B，
∴恰好抽到2个礼品果的概率P(Z=2)=.
(2)用分层随机抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个.
现从中随机抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3.
P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=，P(X=3)=.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴EX=0×.
或由题意可知X服从参数n=3，N=10，M=4的超几何分布，故EX=.
例2　解　(1)设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C，则P(A)=，P(B)=，
所以P(C)=.
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，
所以P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=+
，
P(X=3)=，
P(X=4)=，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故EX=0×=3.1，
DX=(0-3.1)2×+(1-3.1)2×+(2-3.1)2×+(3-3.1)2×+(4-3.1)2×=1.07.
则该同学总得分X的数学期望是3.1分，方差是1.07.
训练2　解　(1)记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A，则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车.P()=.
所以P(A)=1-P()=.
(2)由题意，X的可能值为0，1，2，3，4.
P(X=0)=;
P(X=1)=;
P(X=2)=;
P(X=3)=;
P(X=4)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
EX=.
例3　解　(1)设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则在区间[55，65)，[65，75)内的频率分别为4x和2x.
依题意得(0.004+0.012+0.019+0.03)×10+4x+2x+x=1，解得x=0.05.
所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.
(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X~B(n，p)，其中n=3.
由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45，75)内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，将频率视为概率得p=0.6.
因为X的所有可能取值为0，1，2，3，
且P(X=0)=×0.60×0.43=0.064，
P(X=1)=×0.61×0.42=0.288，
P(X=2)=×0.62×0.41=0.432，
P(X=3)=×0.63×0.40=0.216，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
EX=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8，
或者EX=3×0.6=1.8.
训练3　解　(1)已知成绩在[75，80)内的学生有20人.
故相应频率为=0.2，所以b==0.040，
所以(0.006+0.034+0.040+a+0.036+0.014+0.010)×5=1，得a=0.06.
由题图得从左到右，
第一个矩形的面积为0.03，
第二个矩形的面积为0.17，
第三个矩形的面积为0.2，
第四个矩形的面积为0.3，
所以中位数在第四个矩形里，设中位数为x，
则0.03+0.17+0.2+(x-80)×0.06=0.5，
所以x≈81.7，所以估计中位数为81.7.
(2)由题意知，成绩在[65，70)内的学生人数为3，成绩在[95，100]内的学生人数为5，
X所有可能的取值为0，1，2，3，
P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX=0×或X服从参数N=8，M=5，n=3的超几何分布，所以X的期望EX=.
课堂达标
1.B　2.D　3.0.008 1　4.10　(共61张PPT)
第六章
习题课　离散型随机变量及其分布列
课标要求
1.掌握离散型随机变量的分布列.
2.掌握离散型随机变量的均值与方差的概率.
3.能区分二项分布、超几何分布.
课时精练
一、二项分布与超几何分布
二、与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差
三、与统计有关的分布列的均值
课堂达标
内容索引
二项分布与超几何分布
一
例1
在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
法一　由题意知X的可能取值为0，1，2.
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.
二项分布与超几何分布的区别与联系
(1)区别：不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布.
(2)联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，此时可以近似把超几何分布认为是二项分布.
思维升华
某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
训练1
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)
(2)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望.
用分层随机抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个.
现从中随机抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，其可能的取值为0，1，2，3.
与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差
二
例2
设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C，
(2)求该同学的总得分X的分布列、数学期望和方差.
X的可能取值为0，1，2，3，4，
思维升华
若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率.
训练2
汽车车牌尾号 车辆限行日
0和5 星期一
1和6 星期二
2和7 星期三
3和8 星期四
4和9 星期五
(1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；
记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A，
(2)设X表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求X的分布列和均值.
由题意，X的可能值为0，1，2，3，4.
与统计有关的分布列的均值
三
例3
从一企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.
设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，
(1)求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
则在区间[55，65)，[65，75)内的频率分别为4x和2x.
依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.03)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.
所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.
从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X～B(n，p)，其中n＝3.
(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X，求X的分布列和数学期望.
由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45，75)内的频率为
0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.
因为X的所有可能取值为0，1，2，3，
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
EX＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8，
或者EX＝3×0.6＝1.8.
思维升华
求与统计有关的分布列问题，常借助题设条件中的图表数据，运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解.
训练3
某校为推进科技进校园活动组织了一次科技知识问答竞赛，组委会抽取了100名学生参加，根据得到的竞赛成绩作出如图所示的频率分布直方图.已知成绩在[75，80)内的学生有20人.
(1)求a，b的值，并估计本次竞赛学生成绩的中位数(结果保留一位小数)；
已知成绩在[75，80)内的学生有20人.
所以(0.006＋0.034＋0.040＋a＋0.036＋0.014＋0.010)×5＝1，得a＝0.06.
由题图得从左到右，
第一个矩形的面积为0.03，
第二个矩形的面积为0.17，
第三个矩形的面积为0.2，
第四个矩形的面积为0.3，
所以中位数在第四个矩形里，设中位数为x，
则0.03＋0.17＋0.2＋(x－80)×0.06＝0.5，
所以x≈81.7，所以估计中位数为81.7.
(2)从成绩在[65，70)与[95，100]内的学生中任取3人进行问卷调查.记这3名学生成绩在[95，100)内的人数为X，求X的分布列与期望.
由题意知，成绩在[65，70)内的学生人数为3，成绩在[95，100]内的学生人数为5，
X所有可能的取值为0，1，2，3，
【课堂达标】
1.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是
A.np(1－p) B.np
C.n D.p(1－p)
√
用电单位的个数X～B(n，p)，∴EX＝np.
√
2.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示：
使用时间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
0.008 1
10
【课时精练】
√
1.若X～B(5，0.1)，则P(X≤2)等于
A.0.665 B.0.008 56
C.0.918 54 D.0.991 44
√
2.有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值EX等于
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
√
√
√
√
设此射手射击四次命中次数为ξ，每次命中的概率为p，所以ξ～B(4，p).
√
√
6.某射手射击所得环数X的分布列如下：
X 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知X的均值EX＝8.9，则x的值为________，y的值为________.
0.2
0.4
7.一批产品共50件，其中5件次品，其余均为正品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________.
设抽取的两件产品中次品的件数为X，
1
9.某学校在其“环保周”组织“碳达峰、碳中和”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学在两类问题中分别随机抽取一个问题进行回答.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分.小强作为本班代表参赛，已知小强能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)求小强至少答对一个问题的概率；
用事件C表示小强至少答对一个问题.
则事件C包含了3种可能性：①小强答对A类问题，答错B类问题，
②小强答错A类问题，答对B类问题，
③小强A类和B类均答对.
∴P(C)＝0.8×(1－0.6)＋(1－0.8)×0.6＋0.8×0.6＝0.92.
故小强至少答对一个问题的概率为0.92.
(2)记X为小强的累计得分，求X的分布列及期望.
X为小强的累计得分，X的所有可能取值为：0，20，30，50.
P(X＝0)＝(1－0.8)×(1－0.6)＝0.08，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝30)＝(1－0.8)×0.6＝0.12，
P(X＝50)＝0.8×0.6＝0.48，
所以随机变量X的分布列为：
X 0 20 30 50
P 0.08 0.32 0.12 0.48
EX＝0×0.08＋20×0.32＋30×0.12＋50×0.48＝34，
所以随机变量X的期望为34.
(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
甲、乙两人射击中靶与否互不影响，分两类情况：共击中3次的概率为
(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
两人各射击1次，都未中靶的概率为
√
由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；
√
√
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，
由题意得EX＝4＝np，
DX＝q＝np(1－p)，
13.为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”，另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]分组，绘成如下频率分布直方图.
(1)分别求出所抽取的20人中得分落在[0，20]和(20，40]内的人数；
由题图知，所抽取的20人中得分落在[0，20]内的人数有
0.005 0×20×20＝2，得分落在(20，40]内的人数有0.007 5×20×20＝3.
(2)从所抽取的20人中得分落在[0，40]内的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望.
由题意可知，X的可能取值为0，1，2，
14.某环保机器制造商对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金5 000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1 000元.
方案二：交纳延保金6 230元，在延保的5年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元.
制造商为制定收费标准，搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表：
维修次数 0 1 2 3
机器台数 20 40 80 60
以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列.
由题意得X＝0，1，2，3，4，5，6，
(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围内？
设选择方案一时所需费用为Y1元，
则X≤2时，Y1＝5 000；X＝3时，Y1＝6 000；X＝4时，Y1＝7 000；X＝5时，Y1＝8 000；X＝6时，Y1＝9 000.
设选择方案二时所需费用为Y2元，
则X≤4时，Y2＝6 230；X＝5时，Y2＝6 230＋t；X＝6时，Y2＝6 230＋2t.
则Y2的分布列为

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