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章末复习提升
一、条件概率与全概率公式
1.求条件概率有两种方法:一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)=求解;另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率.
2.全概率公式可以看成“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.
3.掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
例1 采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是:从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品.求:
(1)采购员拒绝购买的概率;
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率.




训练1 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车维修的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车维修，求该汽车为货车的概率.




二、离散型随机变量的分布列、均值和方差
1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛.
2.通过求离散型随机变量的分布列，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.
角度1　二项分布的均值、方差
例2 某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示:
质量(g) [5，15) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55]
数量(只) 6 10 12 8 4
(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数);
(2)将频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及均值.




角度2　超几何分布的均值、方差
例3 宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表:
质量指 标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100)
质量指 标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图:
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率;
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望.




训练2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克)，重量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图.
(1)根据频率分布直方图，求抽取的40件产品中重量超过505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值;
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.




三、正态分布的综合应用
1.正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其是统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用.
2.熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观思想、数据分析的素养.
例4 3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间.某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，其内径如下(单位:μm).
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
(1)计算平均值μ与标准差σ;
(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2).该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位:μm):86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试 为什么




训练3 某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
(1)估计这100人体重数据的平均值μ和方差σ2;(结果取整数，同一组数据用该组区间的中点值作代表)
(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的分布列和数学期望;
(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y近似服从正态分布N(μ，σ2).若P(μ-2σ0.954 4，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常，并说明理由.




章末复习提升
例1　解　B1表示事件“取到的是含4个次品的包”，
B2表示事件“取到的是含1个次品的包”，
A表示事件“采购员拒绝购买”，
P(B1)=0.3，P(B2)=0.7.
P(A|B1)=1-，
P(A|B2)=1-.
(1)由全概率公式得到
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=.
(2)P(B1|A)=.
训练1　解　设事件B为“中途停车修理”，事件A1为“该汽车是货车”，事件A2为“该汽车是客车”，则B=A1B∪A2B.
由全概率公式，得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
由题意知P(A1)=，P(B|A1)=0.02，P(A2)=，P(B|A2)=0.01，
所以P(B)=.
由贝叶斯公式，得该汽车为货车的概率
P(A1|B)=
==0.80.
例2　解　(1)由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为
=28.5(g)，因为购进生蚝500 kg，
故这批生蚝的数量为≈17 544(只).
(2)由表格中的数据可知，任意挑选一只，
质量在[5，25)的概率为，
由题意可知，X~B，
有0，1，2，3，4，
则P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=，
P(X=4)=.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
因此，EX=4×.
例3　解　(1)由题中的频率分布直方图可得，产品为废品的概率P=(0.04+0.02)×5=0.3，
∴P(A)=1-(0.3)3=1-0.027=0.973.
(2)由题中的频率分布直方图可知，m∈[85，90)的频率为0.08×5=0.4;m∈[90，95)的频率为0.04×5=0.2;m∈[95，100)的频率为0.02×5=0.1.
∴利用分层随机抽样抽取的7件产品中，m∈[85，90)的有4件，m∈[90，95)的有2件，m∈[95，100]的有1件，
因此X的可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴EX=0×.
或由题意知X服从参数N=7，M=2，n=3的超几何分布，
故EX=.
训练2　解　(1)重量超过505克的产品的频率为
5×0.05+5×0.01=0.3，
所以重量超过505克的产品数量为
40×0.3=12(件).
(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从参数N=40，M=12，n=2的超几何分布.
P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴X的均值为
EX=0×.
或EX=.
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y~B，
P(Y=k)=，k=0，1，2，
∴P(Y=0)=，
P(Y=1)=，
P(Y=2)=.
∴Y的分布列为
Y 0 1 2
P
例4　解　(1)μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105，
σ2=×[(-8)2+(-8)2+(-7)2+(-3)2+02+22+32+42+82+92]=36，
所以σ=6.
(2)结论:需要进一步调试.理由如下:
如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105，62)，则P(μ-3σ0.002 6，
而86 (87，123]，根据3σ原则，机器异常，
需要进一步调试.
训练3　解　(1)μ=(47.5+72.5)×0.004×5+(52.5+67.5)×0.026×5+(57.5+62.5)×0.07×5=60.
σ2=[(47.5-60)2+(72.5-60)2]×0.02+[(52.5-60)2+(67.5-60)2]×0.13+[(57.5-60)2+(62.5-60)2]×0.35≈25.
(2)由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生，其体重在[55，65)的概率为0.7.
随机抽取3人，相当于3重伯努利试验，随机变量X服从二项分布B(3，0.7)，
P(X=0)=×0.70×0.33=0.027，
P(X=1)=×0.7×0.32=0.189，
P(X=2)=×0.72×0.3=0.441，
P(X=3)=×0.73×0.30=0.343，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
EX=3×0.7=2.1.
(3)由题意知Y服从正态分布N(60，25)，
则P(μ-2σ0.954 4，
所以该校学生的体重是正常的.(共29张PPT)
第六章
章末复习提升
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一、条件概率与全概率公式
例1
采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品.求：
(1)采购员拒绝购买的概率；
B1表示事件“取到的是含4个次品的包”，
B2表示事件“取到的是含1个次品的包”，
A表示事件“采购员拒绝购买”，
P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.7.
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率.
设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车维修的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车维修，求该汽车为货车的概率.
训练1
设事件B为“中途停车修理”，事件A1为“该汽车是货车”，事件A2为“该汽车是客车”，则B＝A1B∪A2B.
1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛.
2.通过求离散型随机变量的分布列，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.
二、离散型随机变量的分布列、均值和方差
例2
角度1　二项分布的均值、方差
由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为
某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：
质量(g) [5，15) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55]
数量(只) 6 10 12 8 4
(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；
(2)将频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及均值.
由表格中的数据可知，任意挑选一只，
例3
角度2　超几何分布的均值、方差
宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC－801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为m(m∈[70，100])，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值m [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，100)
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
由题中的频率分布直方图可得，产品为废品的概率P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95)的件数X的分布列及数学期望.
由题中的频率分布直方图可知，m∈[85，90)的频率为0.08×5＝0.4；m∈[90，95)的频率为0.04×5＝0.2；m∈[95，100)的频率为0.02×5＝0.1.
∴利用分层随机抽样抽取的7件产品中，m∈[85，90)的有4件，m∈[90，95)的有2件，m∈[95，100]的有1件，
因此X的可能取值为0，1，2，
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图如图.
训练2
(1)根据频率分布直方图，求抽取的40件产品中重量超过505克的产品数量；
重量超过505克的产品的频率为
5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以重量超过505克的产品数量为
40×0.3＝12(件).
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，
X的取值为0，1，2，X服从参数N＝40，M＝12，n＝2的超几何分布.
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
三、正态分布的综合应用
1.正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其是统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用.
2.熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观思想、数据分析的素养.
例4
3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间.某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，其内径如下(单位：μm).
97 97 98 102 105 107 108 109 113 114
(1)计算平均值μ与标准差σ；
所以σ＝6.
(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2).该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试？为什么？
结论：需要进一步调试.理由如下：
如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105，62)，则P(μ－3σ训练3
某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
(1)估计这100人体重数据的平均值μ和方差σ2；(结果取整数，同一组数据用该组区间的中点值作代表)
μ＝(47.5＋72.5)×0.004×5＋(52.5＋67.5)×0.026×5＋(57.5＋62.5)×0.07×5＝60.
σ2＝[(47.5－60)2＋(72.5－60)2]×0.02＋[(52.5－60)2＋(67.5－60)2]×0.13＋[(57.5－60)2＋(62.5－60)2]×0.35≈25.
(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的分布列和数学期望；
由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生，其体重在[55，65)的概率为0.7.
随机抽取3人，相当于3重伯努利试验，随机变量X服从二项分布B(3，0.7)，
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y近似服从正态分布N(μ，σ2).若P(μ－2σ＜Y≤μ＋2σ)＞0.954 4，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常，并说明理由.
由题意知Y服从正态分布N(60，25)，
则P(μ－2σ＜Y≤μ＋2σ)＝P(50＜Y≤70)＝0.96＞0.954 4，
所以该校学生的体重是正常的.

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