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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练分式方程专题训练
一、选择题
1．用换元法解关于方程，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2t2﹣5t+3＝0 B．2t2+3t﹣5＝0
C．t2+3t﹣5＝0 D．t2﹣5t+3＝0
2．若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜1且m≠﹣2 D．m＞1且m≠3
3．若关于y的分式方程的解为正数，且x2+2（a﹣1）x+16是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（　　）
A．±3 B．5 C．﹣3 D．5或﹣3
4．若分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．2 B．4 C．2或﹣2 D．4或﹣8
5．若关于x的方程无解，则m的取值为（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．3
二、填空题
6．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x的解为x1＝2，x2；
方程x的解为x1＝3，x2；
方程x的解为x1＝4，x2；
…
（1）根据上面的规律，猜想方程x的解是　 　 ；
（2）利用材料提供的方法解关于x的方程：x；
（3）已知a≠0，利用材料提供的方法解关于x的方程：x.（结果保留a）
7．某商品经销店购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价多10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件？
8．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．
（1）每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？
（2）由于电影角色深受大家喜爱，所以玩具公司决定对两款手办进行降价促销，若降价后每个“敖丙”手办的售价是每个“哪吒”手办售价的1.3倍，且用800元购买“哪吒”手办的数量比用520元购买“敖丙”手办的数量多5个，求降价后每个“哪吒”手办的售价为多少元？
9．为进一步加强“书香校园”建设，某校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个乙种书柜的进价比每个甲种书柜的进价低30%，用4200元购进乙种书柜的数量比用9000元购进甲种书柜的数量少10个．
（1）每个乙种书柜的进价是多少元？
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共100个，其中甲种书柜的数量不少于乙种书柜的3倍．该校应如何购进这两种书柜才能使得购进书柜所需的费用最少？
10．（1）已知关于x的分式方程．
①当a＝5时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．
11．已知，关于x的方程：．
（1）若方程有增根，求m的取值；
（2）若方程无解，求m的取值；
（3）若方程的解为整数，求整数m的取值范围．
12．（1）若关于x的方程有增根，求m的值．
（2）在（1）中的条件下，若，求4A﹣B的值．
13．如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”，如：a＝2、b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”．
（1）下列数对为关于x的分式方程的“关联数对”的有 　 　 （填序号）；
①[1，1]
②[3，﹣5]
③[﹣2，4]
（2）若数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值；
（3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值．
14．给出定义：如果两个实数m，n使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对＜m，n＞称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
例如：当m＝3，n＝2时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
（1）在数对①＜1，0＞；②＜﹣2，3＞；③，中，　 　 （只填序号）是关于x的分式方程的“梦想数对”．
（2）若数对＜a﹣3，2+a＞是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，求a的值．
（3）若数对＜c+d，d＞（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：由题意，方程可化为2t3＝0，
∴2t2+3t﹣5＝0．
故选：B．
2．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：m﹣3＝x﹣2，
解得x＝m﹣1，
∵分式方程的解为正实数，
∴m﹣1＞0且m﹣1≠2，
解得m＞1且m≠3．
故选：D．
3．【解答】解：方程两边同时乘以（y﹣1）得ay﹣3（y﹣1）＝4﹣y，
去括号得ay﹣3y+3＝4﹣y，
解得，
∵x2+2（a﹣1）x+16是一个完全平方式，
∴2（a﹣1）＝±2×1×4＝±8，
解得a＝﹣3或a＝5，
∵关于y的分式方程的解为正数，
当a＝﹣3时，，不符合题意，舍去；
当a＝5时，，符合题意；
故选：B．
4．【解答】解：去分母，得：m﹣2（x﹣2）＝x+2，
去括号，得：m﹣2x+4＝x+2，
移项、合并同类项，得：m＝3x﹣2，
∵分式方程有增根，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，m＝3×2﹣2＝4；
当x＝﹣2时，m＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8，
∴m的值可能为4或﹣8．
故选：D．
5．【解答】解：，
2x﹣4（x﹣3）＝﹣m，
2x﹣4x+12＝﹣m，
﹣2x＝﹣m﹣12，
x，
因为x＝3是方程的增根，
所以，
m＝﹣6，
所以当m＝﹣6时，原分式方程无解．
故选：A．
二、解答题
6．【解答】解：（1）根据题中的规律，猜想方程的解为：
x1＝5，，
故答案为：x1＝5，；
（2）由题意，得，
∴，
∴x+1＝3或，
解得：x1＝2，，
经检验：x1＝2，是原方程的解；
（3），
方程两边同时乘以2，得，
方程两边再同时减去3，得，
∴2x﹣3＝a或，
解得：，，
经检验：，是原方程的解．
7．【解答】解：（1）设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x+10）元，
根据题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50（元）．
答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元；
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（200﹣m）件，
根据题意得：（45﹣40）m+（60﹣50）（200﹣m）≥1600，
解得：m≤80，
∴m的最大值为80．
答：A种纪念品最多购进80件．
8．【解答】解：（1）设每个“哪吒”的售价是x元，“敖丙”手办的售价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：每个“哪吒”的售价是100元，“敖丙”手办的售价是120元；
（2）降价后每个“哪吒”手办的售价为a元，则降价后每个“敖丙”手办的售价是1.3a元，
由题意得：，
解得：a＝80，
经检验：a＝80是所列方程的根，且符合题意；
答：降价后每个“哪吒”手办的售价为80元．
9．【解答】解：（1）设每个甲种书柜的进价是x元，则每个乙种书柜的进价是（1﹣30%）x元，
根据题意得：10，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意，
∴（1﹣30%）x＝（1﹣30%）×300＝210（元）．
答：每个乙种书柜的进价是210元；
（2）设购进m个甲种书柜，则购进（100﹣m）个乙种书柜，
根据题意得：m≥3（100﹣m），
解得：m≥75，
设该校购进这两种书柜共花费w元，则w＝300m+210（100﹣m），
即w＝90m+21000，
∵90＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝75时，w取得最小值，最小值为90×75+21000＝27750（元），此时100﹣m＝100﹣75＝25（个）．
答：当该校购进75个甲种书柜、25个乙种书柜时，所需的费用最少．
10．【解答】解：（1）①当a＝5时，分式方程为：1，
5﹣3＝x﹣1，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣1≠0，
∴x＝3是原方程的根；
②，
a﹣3＝x﹣1，
解得：x＝a﹣2，
由题意得：x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴a﹣2＝1，
解得：a＝3，
∴a的值为3；
（2），
mx﹣1﹣1＝2（x﹣2），
解得：x，
∵方程有整数解，
∴2﹣m＝±1或2﹣m＝±2且2，
解得：m＝1或3或0或4且m≠1，
∴m＝3或0或4，
∴此时整数m的值为3或0或4．
11．【解答】解：（1）去分母，得3（x﹣1）+6（x+1）＝mx，
去括号，得3x﹣3+6x+6＝mx，
移项、合并同类项，得（m﹣9）x＝3．
当x＝﹣1时，得9﹣m＝3，
解得m＝6；
当x＝1时，得m﹣9＝3，
解得m＝12．
∴若方程有增根，m的取值为6或12．
（2）∵（m﹣9）x＝3，
∴当m﹣9＝0时原分式方程无解，
∴m＝9，
∵当m＝6或12时方程有增根，
∴若方程无解，m的取值为6或9或12．
（3）∵（m﹣9）x＝3，
∴x，
∵方程的解为整数，
∴m﹣9＝±3，±1．
当m﹣9＝3时，m＝12（舍去）；
当m﹣9＝﹣3时，m＝6（舍去）；
当m﹣9＝1时，m＝10；
当m﹣9＝﹣1时，m＝8；
∴m＝8或10．
12．【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣3），得，x﹣4+m＝2（x﹣3），
解得x＝2+m，
∵方程有增根，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝2+m中，得3＝2+m，
解得m＝1，
∴m的值为1．
（2）由（1）得m＝1，
∴方程为，
方程两边同乘以（x﹣1）（x﹣2），得，
3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
3x﹣4＝Ax+Bx﹣2A﹣B，
可得，
解得，
∴4A﹣B＝2．
13．【解答】解：（1）①若a＝1，b＝1，分式方程1＝1的解为无解，
不符合“关联数对”的定义，
故不正确，不符合题意；
②若a＝3，b＝﹣5，分式方程1＝﹣5的解为x，
，符合“关联数对”的定义，
故正确，符合题意；
③若a＝﹣2，b＝4，分式方程的解为，
不符合“关联数对”的定义，
故不正确，不符合题意；
故答案为：②；
（2）∵数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，
∴x是方程的解，
∴1＝8﹣n，
整理得：8n+1＝8﹣n，
解得：；
（3）∵数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”，
∴x是分式方程的解，
∴1＝k，
整理可得m（m﹣k）+1＝k，
解得k，
将方程整理为k（m+1）x﹣m（m+1）+m+1＝﹣2mx，
解得x1，
∵方程有整数解，
∴m+1＝±1，±2，
∴m＝0或﹣2或1或﹣3，
又∵m≠0，k≠1，
∴m+1≠m2+1，
∴m≠1，
∴m＝﹣2或﹣3．
14．【解答】解：（1）当m＝1，n＝0时，使得关于x的分式方程的解是1成立，所以数对（1，0）是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，故①正确；
当m＝﹣2，n＝3时，使得关于x的分式方程1的解是，不是成立，所以数对（﹣2，3）不是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，故②错误；
当，时，使得关于x的分式方程的解是x成立，所以数对是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，故③正确；
故答案为：①③；
（2）根据定义，分式方程1的解为，
故，
解得a＝2；
（3）根据数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“梦想数对”，得关于x的分式方程的解是，回代方程，得c2+cd﹣d＝1，
整理，得（c﹣1）（c+1）+d（c﹣1）＝0，
∴（c﹣1）（c+d+1）＝0，
∵c≠±1且c≠0，
∴c+d+1＝0，
∴c＝﹣d﹣1，
∵方程dy﹣c+1＝0的解为y，
∴，
∵方程有整数解，
∴d＝±1，d＝±2，
当d＝±1时，c＝﹣2，c＝0（舍去）；
当d＝±2时，c＝﹣3，c＝1（舍去）；
故c＝﹣2或c＝﹣3．
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