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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练因式分解专题训练
一、选择题
1．若a+b＝0，ab＝﹣11，则a2+b2的值是（　　）
A．﹣11 B．11 C．﹣22 D．22
2．若多形式x2+mx+n有因式（x﹣1）和（x+2），则m，n的值分别为（　　）
A．1，﹣2 B．﹣1，2 C．﹣1，﹣2 D．1，2
3．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（　　）
A．﹣30 B．30 C．﹣5 D．﹣6
4．若a+x2＝2021，b+x2＝2022，c+x2＝2023，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．若已知a2+b2+c2＝69，ab+bc+ac＝50，由图2所表示的数学等式，则a+b+c的值为（　　）
A．1 B．12 C．13 D．14
6．已知（m+2n）2+2m+4n+1＝0，则（m+2n）2024的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
7．已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（　　）
A．12 B．±12 C．24 D．±2
二、解答题
8．在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目：
因式分解：x2﹣xy+6x﹣6y．下面是甜甜的解法：
解：x2﹣xy+6x﹣6y
＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分组）
＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（提公因式）
＝（x﹣y）（x+6）．
请利用上述方法，解答下列各题：
（1）因式分解：m2﹣2m+2n﹣mn；
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．
9．阅读材料后，回答下列问题．
材料一：我们可以将任意三位数记为，（其中a，b，c分别表示该数的百位数字，十位数字和个位数字，且a≠0），显然．
材料二：一个三位数m，若它各个数位上的数字均不为0．我们则称m为美妙数，例如123就是一个美妙数．将美妙数三个数位上的数字两两组合，可产生6个新的两位数，例如由123可以产生出12，13，21，23，31，32这6个新数．我们规定F（m）等于m产生的6个新数之和，例如F（123）＝12+13+21+23+31+32＝132．
（1）求F（236）的值；
（2）证明：任意一个美妙数m．其F（m）的值一定是11的倍数；
（3）若一个三位数是美妙数，且，求出所有符合题意的三位数．
10．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．
11．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m分解因式的结果中有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，
∴，解得．
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0，
即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21，
∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7），
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题．
（1）已知二次三项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有一个因式是x﹣3，则实数p＝ 　 　 ．
（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k分解因式的结果中有一个因式是2x﹣5，求另一个因式及k的值．
12．在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（xy）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4），
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc） （分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2 （直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2﹣1﹣2ab；
（2）已知a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，求式子a2﹣ac﹣ab+bc的值；
（3）已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2+2c2＝2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
13．（教材中这样写道：“我们把a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式”）
如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ 　 　 求代数式x2﹣6x+12的最小值为 　 　 ；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 　 　 时，y有最 　 　 值（填“大”或“小”），这个值是 　 　 ；
（3）若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，则m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ，若x2+2y2﹣2xy﹣4y+4＝0，则xy的值为 　 　 ；
（4）当a，b，c分别为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，判断△ABC的形状并说明理由；
（5）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：由条件可知（a+b）2＝a2+b2+2ab＝0，
∵ab＝﹣11，
∴a2+b2+2×（﹣11）＝0，
∴a2+b2＝22，
故选：D．
2．【解答】解：（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，
故m，n的值分别为1，﹣2．
故选：A．
3．【解答】解：∵a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，
∴a﹣c＝﹣1，
∴a2﹣ac﹣b（a﹣c）
＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c）
＝（a﹣c）（a﹣b）
＝5×（﹣1）
＝﹣5；
故选：C．
4．【解答】解：由题意知，a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
＝3．
故选：D．
5．【解答】解：由图2可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝69+2×50＝169，
又∵a+b+c＞0，
∴a+b+c＝13，
故选：C．
6．【解答】解：原方程整理得：（m+2n）2+2（m+2n）+1＝0，
（m+2n+1）2＝0，
∴m+2n＝﹣1，
∴（m+2n）2024＝（﹣1）2024＝1．
故选：C．
7．【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y2，
∴在9x2+mxy+16y2中，m＝±24．
故选：D．
二、解答题
8．【解答】解：（1）原式＝（m2﹣2m）+（2n﹣mn）
＝m（m﹣2）+n（2﹣m）
＝（m﹣2）（m﹣n）；
（2）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
9．【解答】（1）解：根据新定义直接计算得F（236）＝23+26+32+36+62+63＝242；
（2）证明：设一个美妙数m的百位数为a，十位数为b，个位数为c，
则F（m）＝F（abc）＝10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b＝22（a+b+c），
∴F（m）的值一定是11的倍数；
（3）解：根据新定义直接计算可得，
∴a+b＝5，
∴a＝1，b＝4或a＝2，b＝3或a＝3，b＝2或a＝4，b＝1，
∴符合题意的数有147，237，327，417．
10．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x2﹣2xy+y2）﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）△ABC是等腰三角形或直角三角形，理由如下：
a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，
（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）＝0，
（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，
（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，
a2﹣b2＝0或a2+b2﹣c2＝0，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
11．【解答】解：（1）设另一个因式为x+n，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+n），
∴当x＝3时，x2﹣px﹣6＝0，
即：32﹣3p﹣6＝0，
解得：p＝1，
故答案为：1；
（2）设另一个因式为x+n，得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+n），
∴当时，，
解得：k＝20，
∴2x2+3x﹣k＝2x2+3x﹣20＝（2x﹣5）（x+4），
∴另一个因式为x+4，k的值为20．
12．【解答】解：（1）a2+b2﹣1﹣2ab
＝a2+b2﹣2ab﹣1
＝（a﹣b）2﹣1
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）；
（2）∵a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，
两式相加得，a﹣c＝﹣1，
∴a2﹣ac﹣ab+bc
＝（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）
＝a（a﹣b）﹣c（a﹣b）
＝（a﹣b）（a﹣c）
＝3×（﹣1）
＝﹣3；
（3）∴△ABC是等边三角形，理由如下：
∵a2+b2+2c2＝2ac+2bc，
∴a2+b2+2c2﹣2ac﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，
∴（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣c＝0，b﹣c＝0，
a＝c，b＝c，
即a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
13．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣32＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）；
x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3，
∵（x﹣3）2≥0，
∴当x＝3时，x2﹣6x+12有最小值，最小值为3，
故答案为：（m+1）（m﹣5），3；
（2）y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴﹣（x﹣1）2≤0，
∴当x＝1时，﹣x2+2x﹣3有最大值，最大值为﹣2，
故答案为：1，大，﹣2；
（3）m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝0，
（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3；
∵x2+2y2﹣2xy﹣4y+4＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2﹣4y+4）＝0，
∴（x﹣y）2+（y﹣2）2＝0，
∵（x﹣y）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴x﹣y＝0，y﹣2＝0，
∴x＝y＝2，
∴xy＝22＝4，
故答案为：﹣3，3，4；
（4）△ABC的形状是等腰三角形，理由如下：
∵a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣10b+25）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣3）2≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，
∴a＝3，b＝5，c＝3，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（5）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+b2﹣8b+41＝0，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9．
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