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(共27张PPT)
3.3 函数的性质
3.3.2
函数的奇偶性
学习目标、教学重难点
情境导入
奇、偶函数的概念
奇、偶函数的性质
常见函数的奇偶性
练习和小节
4
教学目标
学习目标：
1、理解奇函数和偶函数的定义，了解奇函数和偶函数的图像性质。
2、掌握定义法证明函数奇偶性的步骤。
3、学会用数形结合思想掌握常见函数的奇偶性。
5
重难点
重点：掌握判断函数奇偶行的方法和图像特征。
难点：常见函数的奇偶性运用。
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情境导入
观察下面函数图像，指出函数的单调区间。
图1单调递增区间：R
图2单调递减区间：（-∞，0]，单调递增区间[0，+∞）。
图1
图2
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情境导入
思考：上述函数图像除了单调性以外，还有什么样的特殊性质呢？
8
探索新知-奇、偶函数的概念
设函数的定义域为数集，若对于任意的，都有，且，
则称是偶函数．
例如：对于函数，如图
有：，
，
，
即对于定义域R上的任意一个，都有 ，所以函数是偶函数。
9
探索新知-奇、偶函数的概念
设函数的定义域为数集，若对于任意的，都有，且，
则称是奇函数．
例如：对于函数，如图有：
，
，
，
即对于定义域上的任意一个，都有。
10
探索新知-奇、偶函数的概念
函数的定义域一定关于原点对称。
如果函数是奇函数或偶函数，那么称函数奇偶性。
01
02
11
探索新知-奇、偶函数的概念
证明函数的奇偶性的步骤1：
一求
求的定义域。
二看
三判断
定义域是否关于原点对称。
（1）定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数。
（2）定义域关于原点对称，则判断与的关系；① ，则是偶函数；② ，则是奇函数；③ ，则是非奇非偶函数；④ ，则即是奇函数，又是偶函数。
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探索新知-奇、偶函数的性质
根据，偶函数在自变量互为相反数时，函数值相等，由此可得，偶函数的函数图像关于y轴对称，是轴对称图形；
根据，奇函数在自变量互为相反数时，函数值也互为相反数，由此可得，奇函数的函数图像关于原点对称，是中心对称图形。
可以根据函数图像判断函数的奇偶性。图像关于y轴对称的，称为偶函数；函数图像关于原点对称的，称为奇函数。（定义域必须对称）
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探索新知-奇、偶函数的性质
设在公共定义域上，则
奇函数+奇函数=奇函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数+偶函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数
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探索新知-常见函数的奇偶性
函数 图像 奇偶性
正比例函数 y=kx(k≠0) 奇函数
反比例函数 奇函数
二次函数 当时，二次函数为偶函数。
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探索新知-常见函数的奇偶性
函数 图像 奇偶性
正弦 奇函数
余弦 偶函数
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例题辨析
例1讨论下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解：（1）的定义域为R，对于任意的，都有，且，所以是奇函数．
（的定义域为R，对于任意的，都有，且，所以是偶函数．
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例题辨析
解： （3）的定义域为R，对于任意的，，都有，且，，所以既不是奇函数也不是偶函数．
（4）的定义域为[0，+∞） ，定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数．
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例题辨析
例2 （1）图（1）给出了偶函数在上的函数图像，试将的图像补充完整，并指出函数的单调区间．
解： (1)由于函数是偶函数，所以它的图像关于轴对称，因此它的图像如图所示．函数的减区间为，增区间为．
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例题辨析
例2 （2）图（2）给出了奇函数在上的函数图像，试将的图像补充完整，并指出函数的单调区间．
解：（2）由于函数是奇函数，所以它的图像关于原点中心对称，因此它的图像如图所示．函数的增区间为．
20
例题辨析
例3 函数是定义在R上的奇函数，当x＞0时， ，则当x＜0时， 。
解：当x＜0时，-x＞0，则
所以。
21
巩固练习
练习
1.填空题：
（1）点关于轴对称的点为 ，关于轴对称的点为 ，关于坐标原点对称的点为 ；
（2）点关于轴对称的点为 ，关于轴对称的点为 ，关于坐标原点对称的点为 ．
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巩固练习
2.讨论下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
练习
解：（1）函数定义域，关于原点对称，
∴函数是奇函数。
（2）函数定义域为R,关于原点对称，
∴函数是偶函数。
（3）函数定义域为R，关于原点对称，
,
∴函数非奇非偶。
（4）函数定义域R，关于原点对称，
∴函数是偶函数。
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巩固练习
练习
3.已知偶函数和奇函数的定义域均为[－4，4]，下图为它们在[0，4]上的图像．
求与
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巩固练习
解：因为是偶函数，所以，
又因为，所以。
因为是奇函数，所以，
又因为，所以
01
奇、偶函数的概念
02
奇、偶函数的性质
03
25
《把时间当作朋友》读书笔记
归纳总结
常见函数的奇偶性
26
布置作业
作业
1.完成函数奇偶性的配套同步练习册；
2.掌握函数的奇偶性证明的方法;
3.重点记忆常见函数的奇偶性。

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