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章末复习提升
一、圆锥曲线定义的应用
(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.
例1 已知B，C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.




训练1 (1)双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为 (　　)
A.(1，3) B.(1，3]
C.(3，+∞) D.[3，+∞)
(2)抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若2|BF|=|AF|+|CF|，则 (　　)
A.2x2=x1+x3 B.2y2=y1+y3
C.2x3=x1+x2 D.2y3=y1+y2


二、圆锥曲线的几何性质的应用
求离心率的三种方法
(1)定义法:直接利用公式e=.
(2)方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式.
(3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.
例2 (1)设椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·=0，求椭圆的离心率e的取值范围.
(2)如果双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，求此双曲线的离心率.




训练2 (1)(多选)已知双曲线C:-=1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则 (　　)
A.双曲线C的离心率为
B.焦点到渐近线的距离为3
C.点P到两条渐近线的距离之积为
D.当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为3
(2)(多选)已知直线l过抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点.若线段MN的长是16，MN中点到y轴的距离是6，O为坐标原点，则 (　　)
A.抛物线C的方程是y2=-8x
B.抛物线C的准线为x=3
C.直线l的斜率为1
D.△MON的面积为8
三、直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系主要围绕直线与圆锥曲线相离、相切、相交展开，并衍生出弦长，中点弦等相关问题，直线与圆锥曲线在解析几何、代数、三角和平面向量中均有论述，是高考数学的主干知识和重点考查内容.
例3 在平面直角坐标系xOy中，
①已知点Q(，0)，直线l:x=2，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之比为.②已知点H(-，0)，G是圆E:x2+y2-2x-21=0上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P.③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|=3，动点P满足=+.
(1)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程;
(2)点M(-1，0)，若直线l:x-y-1=0交C于A，B两点，求△MAB的面积.




训练3 已知抛物线E:y2=2px(p>0)，过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，满足y1y2=-4.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点C的坐标为(-2，0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求+的最小值.




四、圆锥曲线的综合问题
(1)圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值(范围)、探究性问题等.
(2)定值问题常从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(3)探究性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件存在，再验证结论是否成立，成立则条件存在，否则条件不存在;若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
例4 已知椭圆+=1(a>b>0)过点(0，1)，其长轴长与短轴长的平方和是焦距的平方的2倍.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足=λ1=λ2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若λ1+λ2=-3，试证明:直线l过定点，并求此定点.






训练4 如图所示，椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M 若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由.






章末复习提升
例1　解　以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示.
由|BC|=8可知点B(-4，0)，C(4，0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18得|AB|+|AC|=10>8=|BC|，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10，但点A不在x轴上.
由a=5，c=4，
得b2=a2-c2=25-16=9.
所以点A的轨迹方程为=1(y≠0).
训练1　(1)B　(2)A　
[(1)如图所示，
由|PF1|=2|PF2|知P在双曲线的右支上，
则|PF1|-|PF2|=2a，
又|PF1|=2|PF2|，
∴|PF1|=4a，|PF2|=2a.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2=
=，
∵0<∠F1PF2≤π，
且当点P是双曲线的右顶点时，∠F1PF2=π，
∴-1≤cos∠F1PF2<1，
∴-1≤<1，且e>1，
解得1(2)如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A'，B'，C'，由抛物线定义知:
|AF|=|AA'|，
|BF|=|BB'|，
|CF|=|CC'|.
∵2|BF|=|AF|+|CF|，
∴2|BB'|=|AA'|+|CC'|.
又∵|AA'|=x1+，
|BB'|=x2+，|CC'|=x3+，
∴2，
∴2x2=x1+x3，
故选A.]
例2　解　(1)由题意知PF1⊥PF2，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，
即在圆x2+y2=c2上.
又点P在椭圆上，所以圆x2+y2=c2与椭圆=1有公共点.
则易知0所以b2≤c2所以≤c2所以e∈.
(2)当双曲线的焦点在x轴上时，
由已知可得，∵c2=a2+b2，
∴e2=，
∴双曲线的离心率e=;
同理，当焦点在y轴上时，，可求得离心率e=.
故双曲线的离心率为.
训练2　(1)BCD　(2)AD　[(1)对于A，a=，b=3，c=，e==2，故A错误;
对于B，双曲线的右焦点F2(2，0)到渐近线y==3，故B正确;
对于C，设P(x0，y0)，满足=1，即3=9，则点P到两条渐近线的距离之积为d1·d2=，故C正确;
对于D，设P(x0，y0)，由C得3=9，kPA=，kPB=，
kPA·kPB==3，故D正确;故选BCD.
(2)依题意直线l过抛物线的焦点，|MN|=16，MN中点到y轴的距离是6，结合抛物线的定义可知×2=16 p=4，所以抛物线方程为y2=-8x，准线为x=2，所以A正确，B错误.
抛物线焦点坐标为F(-2，0)，
设直线l的方程为x=my-2，
消去x并化简得y2+8my-16=0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=-8m，x1+x2=m(y1+y2)-4=-8m2-4.
所以|MN|=8m2+4+4=16，解得m=±1，所以C错误.
当m=1时，直线l的方程为x=y-2，即x-y+2=0，原点到直线l的距离为，
所以S△MON=.当m=-1时，同理求得S△MON=8，D正确.故选AD.]
例3　解　(1)若选①，设P(x，y)，根据题意得，，
整理得=1，所以动点P的轨迹C的方程为=1;
若选②， 由E:x2+y2-2+y2=24，由题意得|PH|=|PG|，
所以|PH|+|PE|=|PG|+|PE|=|EG|=2，所以点P的轨迹C是以H，E为焦点的椭圆，且a=，c=，故b=，
所以动点P的轨迹C的方程为=1;
若选③，设P(x，y)，S(x'，0)，T(0，y')，
故x'2+y'2=9，(*)
因为，所以
即将其代入(*)得=1，
所以动点P的轨迹C的方程为=1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得3x2-4x-4=0.Δ>0，
解得x1=-，x2=2.
由弦长公式得|AB|=，又点M(-1，0)到直线x-y-1=0的距离h=，S△MAB=，所以△MAB的面积为.
训练3　解　(1)因为直线AB过焦点，
所以设直线AB的方程为x=my+，代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0，则y1y2=
-p2=-4，解得p=2，
所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，则直线AB的方程为x=my+1，
代入抛物线的方程有y2-4my-4=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=-4，
则k1=，
k2=，
所以，
因此
=2m2+6m
=2m2+6m·
=2m2+6m·
=5m2+，
所以当且仅当m=0时，.
例4　(1)解　设椭圆的焦距为2c，
由题意知b=1，且(2a)2+(2b)2=2(2c)2，
又a2=b2+c2，∴a2=3.
∴椭圆的方程为+y2=1.
(2)证明　由题意设P(0，m)，Q(x0，0)(x0>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
设l方程为x=t(y-m)，
由得(x1，y1-m)=λ1(x0-x1，-y1)，∴y1-m=-y1λ1，
由题意y1≠0，∴λ1=-1.
同理由-1.
∵λ1+λ2=-3，
∴y1y2+m(y1+y2)=0.①
由消x得
(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0，
∴由题意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0，②
且有y1+y2=，y1y2=，③
③代入①得t2m2-3+2m2t2=0，
∴(mt)2=1，
由题意mt<0，∴mt=-1，满足②，
得l方程为x=ty+1，故直线l过定点(1，0).
训练4　解　(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8，
即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8，
而|AF1|+|AF2|=|F1B|+|BF2|=2a，
所以4a=8，解得a=2.
又e=，所以c=1，
所以b2=a2-c2=3.
故所求椭圆E的方程为=1.
(2)存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
由消去y，整理得
(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，设P(x0，y0)，所以m≠0，
Δ=64k2m2-4(4k2+3)·(4m2-12)=0，
即4k2-m2+3=0.
此时x0=-，y0=，
故P得Q(4，4k+m).
假设在坐标平面内存在定点M满足条件，则由图形的对称性知点M必在x轴上.
设M(x1，0)，则由=0，
可得-+3=0，
即(4x1-4)-4x1+3=0.
因为此式对任意m，k恒成立，
所以
解得x1=1.故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.(共30张PPT)
第二章
章末复习提升
网络构建
(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决.
一、圆锥曲线定义的应用
例1
已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示.
由|BC|＝8可知点B(－4，0)，C(4，0).
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上.
由a＝5，c＝4，
得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
训练1
√
如图所示，
由|PF1|＝2|PF2|知P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
在△F1PF2中，由余弦定理得
且当点P是双曲线的右顶点时，∠F1PF2＝π，
∴－1≤cos∠F1PF2<1，
(2)抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若2|BF|＝|AF|＋|CF|，则
A.2x2＝x1＋x3 B.2y2＝y1＋y3 C.2x3＝x1＋x2 D.2y3＝y1＋y2
√
如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义知：
|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
二、圆锥曲线的几何性质的应用
例2
由题意知PF1⊥PF2，
所以点P在以F1F2为直径的圆上，
即在圆x2＋y2＝c2上.
当双曲线的焦点在x轴上时，
训练2
√
√
√
√
√
三、直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系主要围绕直线与圆锥曲线相离、相切、相交展开，并衍生出弦长，中点弦等相关问题，直线与圆锥曲线在解析几何、代数、三角和平面向量中均有论述，是高考数学的主干知识和重点考查内容.
例3
若选③，设P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，
故x′2＋y′2＝9，(*)
(2)点M(－1，0)，若直线l：x－y－1＝0交C于A，B两点，求△MAB的面积.
训练3
已知抛物线E：y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，满足y1y2＝－4.
(1)求抛物线E的方程；
则y1y2＝－p2＝－4，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
由(1)知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，则直线AB的方程为x＝my＋1，
代入抛物线的方程有y2－4my－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
四、圆锥曲线的综合问题
(1)圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值(范围)、探究性问题等.
(2)定值问题常从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(3)探究性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件存在，再验证结论是否成立，成立则条件存在，否则条件不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
例4
设椭圆的焦距为2c，
由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点，并求此定点.
由题意设P(0，m)，Q(x0，0)(x0>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
设l方程为x＝t(y－m)，
∵λ1＋λ2＝－3，
∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0.①
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，
由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，
得l方程为x＝ty＋1，故直线l过定点(1，0).
训练4
因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
(1)求椭圆E的方程；
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
而|AF1|＋|AF2|＝|F1B|＋|BF2|＝2a，
所以4a＝8，解得a＝2.
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，设P(x0，y0)，所以m≠0，
Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)·(4m2－12)＝0，
即4k2－m2＋3＝0.
假设在坐标平面内存在定点M满足条件，则由图形的对称性知点M必在x轴上.

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