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第8章三角形
8.2多边形的内角和与外角和第1课时
学习目标与重难点
学习目标：
1.使学生了解多边形、正多边形及多边形的内角、外角、对角线等概念.
2.使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它们进行有关计算.
3.通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.
学习重点：探索多边形的内角和公式，应用多边形内角和解决有关的问题.
学习难点：多边形的内角和公式的推导.
预习自测
一、知识链接
1、三角形的内角和是多少度？
现实生活中除了三角形还有哪些常见的图形？
自学自测
1.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为（　　）
A.540° B.720° C.900° D.1 260°
2.多边形的内角和不可能为（　　）
A.180° B.540° C.1 080° D.1 200°
3.内角和为720°的多边形是（　　）
A. B.
C. D.
教学过程
一、创设情境、导入新课
小区健身广场中心的边缘是一个五边形（如图），你能求出它的五个内角的和吗？
二、合作交流、新知探究
探究一：情境导入
教材第94页：试一试
1.多边形的有关概念
试一试：
三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形）.我们已经知道什么叫三角形，你能说出什么叫四边形、五边形吗？
注意：一般以顺时针或逆时针方向按顺序确定顶点字母.
多边形的定义：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
注意：我们现在研究的是如图8.2.1所示的多边形，也就是凸多边形.
另:由七年级上册3.4节可知， 下面所示的图形也是多边形， 但不在我们目前的研究范围内.
与三角形类似，如图8.2.2所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角.
思考：五边形、 六边形分别有多少个内角？ 多少 个外角？n边形呢？
一般地，如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形(regular polygon).
如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等.
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.例如，图8.2.3①中，线段AC是四边形ABCD的一条对角线;图8.2.3②、③中，虚线表示的线段也是所画多边形的对角线.
思考：还可以画出哪些对角线？
2.多边形的内角和
试一试
由图8.2.3可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形.我们已知一个三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形呢？一般地，n边形的内角和等于多少呢？
探索
为了求得n边形的内角和，请根据图8.2.4所示，完成表8.2.1.
表8.2.1
多边形的边数 3 4 5 6 7 ..... n
分成的三角形的个数 1 .....
多边形的内角和 180° .....
【强调】：解决这个问题的关健是比较两种方式所付款的多少，
探究三：例题讲解
教材第96页
求八边形的内角和.
例2 已知一个多边形的内角和为2 160，求这个多边形的边数.
试一试：如图 8.2.5， 在 n 边形(图中取 n = 6 的情形) 内任取 一点 P， 连结点 P 与多边形的每一个顶点， 可得到几个三角形？ 你能否根据这样划分多边形的方法来说明 n 边形的内角和等于(n - 2)·180°？
为了说明多边形的内角和公式， 我们已经尝试用两种方法划分多边形. 这里是在多边形内任取一点， 前面可以看作是任取一个顶点. 那么是否还可以移动点 P， 引出其他方法呢？ 试试看， 你一定会有新的发现.
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列选项中的图形，不是凸多边形的是(　　)
2.已知过一个多边形的某一个顶点共可作7条对角线，则这个多边形的边数是(　　)
A.7　　　　　　B.8　　　　　　C.9　　　　　　D.10
3.下图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是(　　)
A.900°　　　　　　B.720°　　　　　　C.540°　　　　　　D.360°
选做题：
4.如图，在四边形ABCD中，∠A=45°.直线EF与边AD，AB分别相交于点E，F，则∠1+∠2的度数为(　　)
A.245°　　　　　　B.225°　　　　　　C.145°　　　　　　D.135°
5.一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是　　　　边形.
6.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　.
【综合拓展类作业】
7.【新独家原创】阅读下面的对话，解决下列问题.
(1)小欣为什么说这个凸多边形的内角和不可能是2024°？
(2)小明求的是几边形的内角和？
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
知识点：1.多边形的概念：一般地，由n条(n≥3)不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称多边形.
2、n边形的内角和为.
注意事项：n边形有n内角，2n个外角；从一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线，一共有n(n-3)/2条对角线；
五、【作业布置】
【知识技能类作业】
必做题：
1..从五边形的一个顶点出发可以引 条对角线.
2.下列多边形中，内角和最小的是（　 　）
3.一个七边形的内角和等于（　 　）
A.540° B.900°
C.980° D.1 080°
4. “交木如井，画以藻文”.中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井，如图是一幅“藻井”的图案，其外轮廓为正八边形.这个正八边形的每个内角的度数为 °.
选做题：
5.根据图中提供的信息，求出x的值：
6.一个正多边形花园的内角和是1 080°，不相邻顶点间都修了一条笔直的小路，该花园内共有多少条这样的小路？
【综合拓展类作业】
7.如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就是正多边形.如图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题.
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形 的边数 3 4 5 6 … 18
∠α的度数 …
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由.
（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由.
答案：
自学测试：
1.C 2.D 3.D
课堂巩固：
答案：
1.A　根据凸多边形的定义知，A中的图形不是凸多边形.
2.D　设多边形有n条边，则n-3=7，解得n=10，故多边形的边数为10，故选D.
3.C　(5-2)×180°=540°，故选C.
4.B　解法一:∵∠A=45°，∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=135°，∵∠AEF+∠1=180°，∠AFE+∠2=180°，∴∠1+∠2=360°-(∠AEF+∠AFE)=360°-135°=225°，故选B.
解法二:四边形ABCD中，∵∠A=45°，四边形内角和为(4-2)×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°-45°=315°，五边形EFBCD中，∵五边形内角和为(5-2)×180°=540°，∴∠1+∠2=540°-(∠B+∠C+∠D)=540°-315°=225°，故选B.
5.五
解析　设此多边形的边数为n，则(n-2)·180°=540°，解得n=5，即此多边形为五边形.
6.360°
解析　如图，∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
7.解析　(1)∵n边形的内角和是(n-2)×180°，∴多边形的内角和一定是180°的整数倍.∵2 024÷180=11……44，∴多边形的内角和不可能为2 024°.
(2)设小明求的是n边形的内角和，这个外角为x°，则0∴0<2 384-180n<180，∴12，∵n为正整数，∴n=13，故小明求的是十三边形的内角和.
作业布置：
1. 2;
2.A;
3.B;
4.135;
5. 解：（1）根据题意，得x＋x＋130＋90＝360，
解得x＝70.
解：（2）根据题意，得
70＋x＋20＋x＋x＋10＋x＝（5－2）×180.
解得x＝110.
6. 解：∵一个正多边形花园的内角和是1 080°，
∴该正多边形花园的边数为1 080÷180＋2＝8，
那么它的对角线条数为，
即该花园内共有20条这样的小路.
7.(1)
正多边形 的边数 3 4 5 6 … 18
∠α的度数 60° 45° 36° 30° … 10°
(2)存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°，
此时n＝9.
（3）不存在，理由如下：
根据题意，得∠α＝＝21°.
解得n＝8.
∵n是正整数，
∴不存在正n边形，使∠α＝21°.
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