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章末复习提升
一、向量的线性运算
向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
(2)求解策略
①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.
②字符表示的线性运算的常用技巧：
首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差的技巧，如－＝.
例1 (1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b等于(　　)
A.(4，0) B.(0，4)
C.(4，－8) D.(－4，8)
(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2CD，E为线段AD的中点，且BF＝AB，则等于(　　)
A.＋ B.－
C.＋ D.－
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训练1 若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A. B.
C. D.
二、向量的数量积
数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)
cos θ＝＝.
例2 已知O是坐标原点，＝(－1，3)，＝(4，0)，点P满足＋＋＝0.
(1)求||；
(2)设t∈R，求|＋t|的最小值.
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训练2 (1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)
A.－ B.
C. D.
(2)已知平面向量a，b，c满足a＝(2，λ)，b＝(1，－2)，c＝(－1，μ)，若a∥b，b⊥c，则a＋b与b＋c夹角的余弦值为________.
三、余弦定理、正弦定理
1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解.
例3 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，A＝.
(1)求b的最大值；
(2)若△ABC的面积为，求证：△ABC是直角三角形.
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训练3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
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四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用
正、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
例4 如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？
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训练4 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
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章末复习提升
例1　(1)C　(2)D　[(1)因为a∥b，
所以1×4＝－2×m，解得m＝－2，
所以b＝(－2，4)，
所以2a－b＝2(1，－2)－(－2，4)＝(4，－8).
(2)由题意，根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝－(＋＋)＝－＝×2－＝－.]
训练1　C　[因为＝4＝r＋s，
所以＝＝(－)
＝r＋s，
所以r＝，s＝－，
所以3r＋s＝－＝.]
例2　解　(1)∵＋＋＝0，
∴(－)＋(－)＋(－)＝0，
即－＋－－＝0，
∴＋－3＝0，
∴＝(＋).
∵＝(－1，3)，＝(4，0)，
∴＋＝(3，3)，∴＝(1，1)，
∴||＝＝.
(2)由(1)知＝(1，1)，
∴＋t＝(－1，3)＋(t，t)＝(t－1，t＋3)，
∴|＋t|＝
＝＝，
所以当t＝－1时，|＋t|取得最小值，最小值为2.
训练2　(1)B　(2)　[(1)∵＝－，＝＋
＝＋＝＋，
∴·＝(－)·
＝2－2－·
＝×1×1－×1×1－×1×1·cos 60°＝.
(2)因为a＝(2，λ)，b＝(1，－2)，c＝(－1，μ)，
a∥b，b⊥c，
所以2×(－2)＝1×λ，1×(－1)＋(－2)μ＝0，
解得λ＝－4，μ＝－，
所以a＝(2，－4)，c＝，
所以a＋b＝(3，－6)，b＋c＝，
所以cos〈a＋b，b＋c〉＝＝＝.]
例3　(1)解　由正弦定理，得＝，
则＝，所以b＝2sin B，
所以当B＝时，sin B取得最大值1，此时b取最大值2.
故b的最大值为2.
(2)证明　因为A＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝·bc·＝，
解得bc＝2.①
由余弦定理，得cos A＝
＝，
得＝，
解得b＋c＝3.②
由①②，解得或
当时，由b2＋a2＝12＋()2＝22＝c2，
得△ABC是直角三角形；
当时，由c2＋a2＝12＋()2＝22＝b2，
得△ABC是直角三角形.
综上，△ABC是直角三角形.
训练3　解　(1)由bsin A＝acos B及正弦定理＝，得sin B＝cos B，
所以tan B＝，又0(2)由sin C＝2sin A及＝，
得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋c2－ac.
所以a＝，c＝2.
例4　解　由题意知AB＝5(3＋) n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，
由正弦定理得＝，
∴DB＝
＝
＝＝10(n mile)，
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20(n mile)，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30(n mile).
则需要的时间t＝＝1(h)，
故救援船到达D点需要1 h.
训练4　解　①需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示).
②法一　第一步：计算AM.在△ABM中由正弦定理得AM＝；
第二步：计算AN.在△ABN中，由正弦定理得AN＝；
第三步：计算MN.在△AMN中由余弦定理得
MN＝.
法二　第一步：计算BM.在△ABM中由正弦定理得BM＝；
第二步：计算BN.在△ABN中由正弦定理得BN＝；
第三步：计算MN.在△BMN中由余弦定理得
MN＝.(共24张PPT)
第四章 4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算
第一课时　有理数指数幂
第1章 平面向量及其应用
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向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
(2)求解策略
①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.
一、向量的线性运算
②字符表示的线性运算的常用技巧：
例1
(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b等于
A.(4，0) B.(0，4)
C.(4，－8) D.(－4，8)
因为a∥b，
√
所以1×4＝－2×m，解得m＝－2，
所以b＝(－2，4)，
所以2a－b＝2(1，－2)－(－2，4)＝(4，－8).
√
训练1
√
二、向量的数量积
例2
训练2
√
(2)已知平面向量a，b，c满足a＝(2，λ)，b＝(1，－2)，c＝(－1，μ)，若a∥b，
b⊥c，则a＋b与b＋c夹角的余弦值为________.
因为a＝(2，λ)，b＝(1，－2)，c＝(－1，μ)，a∥b，b⊥c，
三、余弦定理、正弦定理
1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内角和定理及正弦定理解此三角形.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a，b和角A，根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务必做到不漏解、不多解.
例3
得△ABC是直角三角形；
训练3
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用
正、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
例4
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC
训练4
为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
①需要测量的数据有：A观测M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示).

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