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周测卷3　(范围：§1.6～§1.7)
(时间：50分钟　满分：100分)
一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.已知△ABC的外接圆半径为3，sin A＝，则BC＝(　　)
2 4
2 1
2.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间长短为(　　)
2 3
4 8
3.已知作用在点A的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为(　　)
(9，1) (1，9)
(9，0) (0，9)
4.在△ABC中，acos＝bcos，则△ABC的形状是(　　)
等边三角形 等腰三角形
等腰直角三角形 等腰三角形或直角三角形
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝3a，c＝2，则当角A取最大值时，△ABC的面积为(　　)
6.在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是(　　)
8 16
18 32
二、多选题(本题共2小题，每小题6分，共12分)
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝，A＝，则cos B的值可以为(　　)
－ －
8.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
若＝＋，则点M是△ABC的重心
若＝2－，则点M在边BC的延长线上
若2＝x＋y，且x＋y＝1，则△MBC的面积是△ABC面积的
已知平面向量满足·＝·，＝λ，则△ABC为等腰三角形
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
9.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
10.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
11.若向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于________.
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的外心，用向量法证明EF⊥CD.
13.(15分)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A).
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为，且a＝3，求△ABC的周长.
14.(15分)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，A＝60°.
(1)求sin∠ABC的值；
(2)设点D，E分别是AB，AC边上的点，记AD＝x，DE＝y.若△ADE的面积总保持为△ABC面积的一半，求函数z＝xy的最小值.
周测卷3　(范围：§1.6～§1.7)
1.A　[由扩充的正弦定理得＝2R＝6，
∴BC＝6sin A＝6×＝2.]
2.B　[由题意可知，v＝(1，2)，＝(3，6)，
则|v|＝＝，
||＝＝3.
则所用时间t＝＝＝3.]
3.A　[F＝F1＋F2＋F3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设终点坐标为(x，y)，
则(x－1，y－1)＝(8，0)，
所以所以
所以终点坐标为(9，1).故选A.]
4.B　[原式可化为asin A＝bsin B，
由正弦定理知a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形.]
5.A　[由于b＝3a，c＝2，
由余弦定理，可得，
cos A＝＝
＝≥·2＝，
当且仅当a＝，cos A取得最小值，
A取得最大值.
则面积为bcsin A＝·3a·2sin A＝×＝.]
6.B　[在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝65，
即AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠ABC＝65.①
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠DAB＝17，即AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠DAB＝17.②
又cos∠DAB＋cos∠ABC＝0，
①＋②得AB2＋AD2＝41，
又AB＋AD＝9，
∴AB＝5，AD＝4或AB＝4，AD＝5.
∴cos ∠DAB＝，
又∠DAB∈，∴sin ∠DAB＝，
∴这个平行四边形的面积S＝5×4×＝16.]
7.AC　[在△ABC中，由正弦定理知＝，
则sin B＝＝＝，
而A，B均为△ABC的内角，
由A＝知B∈，
则B＝或B＝，
故cos B＝或－.]
8.ACD　[如图，对于A，设BC的中点为N，若＝＋＝(＋)＝×2＝，则点M是△ABC的重心，故A正确；
对于B，若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；
对于C，若2＝x＋y，且x＋y＝1，由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故C正确；
对于D，因为·＝·，所以·(＋)＝·(＋)，
即·＝·，所以||||·
cos∠BAM＝||||cos∠CAM，
因为＝λ，所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM＝∠CAM，所以cos∠BAM＝cos∠CAM，
所以||＝||，所以△ABC为等腰三角形，故D正确.]
9.1　[在△ABC中，因为sin B＝，
0又因为B＋C<π，C＝，所以B＝，
所以A＝π－－＝π.
因为＝，所以b＝＝1.]
10.100　[依题意有AB＝600 m，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB.
所以∠ACB＝45°.
在△ABC中，由正弦定理得
＝，
即＝，
得CB＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝CB·tan 30°
＝100(m)，
则此山的高度CD＝100 m.]
11.2　[如图，设＝a，＝b，＝c，
则＝a－c，＝b－c.
∵|a|＝|b|＝1，
∴OA＝OB＝1.
又∵a·b＝－，
∴|a||b|cos∠AOB＝－，
∴cos∠AOB＝－，∴∠AOB＝120°.
又∵〈a－c，b－c〉＝60°，而120°＋60°＝180°，
∴O，A，C，B四点共圆.
∴当OC为圆的直径时，|c|最大，
此时∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴Rt△AOC≌Rt△BOC，
∴∠ACO＝∠BCO＝30°，
∴|OA|＝|OC|，
∴|c|＝|OC|＝2|OA|＝2|a|＝2.]
12.证明　建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(0，b)，B(－a，0)，C(a，0)，
则D，
＝.
易知△ABC的外心F在y轴上，可设为(0，y).
由||＝||得(y－b)2＝(－a)2＋y2，
所以y＝，即F.
由重心坐标公式得E，
所以＝.
所以·＝·＋·＝0，
所以⊥，即EF⊥CD.
13.解　(1)b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A)可化为
b2＋c2－a2
＝c，
即得＝1，所以＝，
所以cos A＝.
又因为A为△ABC的内角，所以A＝60°.
(2)根据题意，得S△ABC＝bcsin A＝bc×＝，
所以bc＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－2bc－2bccos 60°
＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－16＝9，
解得b＋c＝5，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8.
14.解　(1)由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝16＋9－2×4×3×＝13，
∴BC＝，
再由正弦定理可得＝，
即＝，解得sin∠ABC＝.
(2)由题意x·AE·sin 60°＝×AB·AC·sin 60°，解得AE＝，
由余弦定理可得
y2＝x2＋－2x·cos 60°＝x2＋－6，
∴y＝，
∴z＝xy＝
＝，
当x2＝3，即x＝时，zmin＝＝3.(共24张PPT)
周测卷3　(范围：§1.6～§1.7)
(时间：50分钟　满分：100分)
第1章 平面向量及其应用
√
√
2.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间长短为
A.2 B.3 C.4 D.8
√
F＝F1＋F2＋F3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
3.已知作用在点A的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为
A.(9，1) B.(1，9) C.(9，0) D.(0，9)
设终点坐标为(x，y)，
则(x－1，y－1)＝(8，0)，
√
原式可化为asin A＝bsin B，
由正弦定理知a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形.
√
由于b＝3a，c＝2，
√
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝65，
即AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠ABC＝65.①
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠DAB＝17，即AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠DAB＝17.②
又cos∠DAB＋cos∠ABC＝0，
①＋②得AB2＋AD2＝41，
又AB＋AD＝9，
∴AB＝5，AD＝4或AB＝4，AD＝5.
√
√
而A，B均为△ABC的内角，
√
√
√
1
依题意有AB＝600 m，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，
10.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
∠DBC＝30°，DC⊥CB.
所以∠ACB＝45°.
2
∴O，A，C，B四点共圆.
∴当OC为圆的直径时，|c|最大，
此时∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴Rt△AOC≌Rt△BOC，
∴∠ACO＝∠BCO＝30°，
四、解答题(本题共3小题，共43分)
12.(13分)在△ABC中，AB＝AC，D为AB的中点，E为△ACD的重心，F为△ABC的外心，用向量法证明EF⊥CD.
建立如图所示的平面直角坐标系.
设A(0，b)，B(－a，0)，C(a，0)，
13.(15分)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A).
(1)求角A的大小；
b2＋c2－a2＝c(acos C＋ccos A)可化为b2＋c2－a2`
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos 60°
＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－16＝9，
解得b＋c＝5，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8.
14.(15分)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，A＝60°.
(1)求sin∠ABC的值；
由余弦定理可得
(2)设点D，E分别是AB，AC边上的点，记AD＝x，DE＝y.若△ADE的面积总保持为△ABC面积的一半，求函数z＝xy的最小值.

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