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章末检测卷(一)　第1章
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若＝(－1，2)，＝(1，－1)，则＝(　　)
(－2，3) (0，1)
(－1，2) (2，－3)
2.设e1，e2为基向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)
2 －3
－2 3
3.向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
－1 0
1 2
4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，a＝3，b＝2，则sin B的值为(　　)
5.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
a km a km
a km 2a km
6.在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足AP＝2PM，则·(＋)＝(　　)
－ －
7.已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　)
1
8.已知向量a＝(1，0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)
[0，] (1，]
[1，2] [，2]
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.设α为三角形的内角，已知向量a＝，b＝，若a∥b，则α可以为(　　)
30° 60°
45° 150°
10.在直角梯形ABCD中，CD∥AB，AB⊥BC，CD＝1，AB＝BC＝2，E为线段BC的中点，则(　　)
＝＋ ＝－
·＝2 ·＝6
11.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中正确的是(　　)
若a>b>c，则sin A>sin B>sin C
若A>B>C，则sin A>sin B>sin C
若b2＋c2－a2<0，则△ABC为钝角三角形
若a2＋b2>c2，则△ABC是锐角三角形
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知|a|＝2，|b|＝10，a与b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影是________.
13.在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.(本题第一空3分，第二空2分)
14.在四边形ABCD中，＝＝(1，1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b 的夹角的余弦值.
16.(15分)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.
(1)求b，c的值；
(2)求sin(B＋C)的值.
17.(15分)已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B处望见岛A在北偏东75°，航行20海里后，在C处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？
18.(17分)已知△ABC的内角A，B，C满足＝.
(1)求角A；
(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值.
19.(17分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置.
章末检测卷(一)　第1章
1.D　[＝(－1，2)，＝(1，－1)，
所以＝－＝(2，－3).]
2.A　[易知＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)，
又A，B，D三点共线，则∥，则k＝2，故选A.]
3.C　[∵2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)，
∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，
故选C.]
4.A　[由cos A＝，0所以由正弦定理＝，得
sin B＝sin A＝×＝.]
5.B　[由题意得∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理，得
AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，
所以AB＝a.故选B.]
6.A　[由题意可知点P是△ABC的重心，
∴＋＋＝0，
∴·(＋)＝－2＝－＝－.]
7.D　[过C作CE⊥x轴于点E.
由∠AOC＝，
得|OE|＝|CE|＝2，
所以＝＋＝λ＋，即＝λ，
所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.]
8.D　[|a＋b|＝＝.
因为θ∈，所以cos θ∈[0，1].
所以|a＋b|∈[，2].]
9.AD　[∵a∥b，∴sin2α＝×＝，
∴sin α＝±，
又0°<α<180°，∴sin α＝，∴α＝30°或150°.]
10.ABD　[如图，
对于A，＝＋＝＋，故A正确；
对于B，＝－＝(＋)－
＝－＝－，
故B正确；
对于C，因为与反向共线，DC＝AB＝1，所以·＝－2，故C不正确；
对于D，·＝(＋)·＝2＋·＝×8＋×2×2×cos 45°＝6，故D正确.]
11.ABC　[对于A，由于a>b>c，由正弦定理＝＝＝2R，
可得sin A>sin B>sin C，故A正确；
对于B，A>B>C，由大边对大角定理可知a>b>c，由正弦定理＝＝＝2R，可得sin A>sin B>sin C，故B正确；
对于C，由b2＋c2－a2<0，则cos A<0，A为钝角，故C正确；
对于D，a2＋b2>c2，由余弦定理可得cos C＝>0，由C∈(0，π)，可得C是锐角，而A或B可能为钝角或直角，故D错误.]
12.－5　[向量b在向量a方向上的投影为|b|cos θ＝10·cos 120°＝－5.]
13.　2　[在△ABC中，tan A＝2，所以A是锐角，且＝2，sin2A＋cos2A＝1，
联立解得sin A＝，
再由正弦定理得＝，
代入数据解得a＝2.]
14.　[由＝＝(1，1)，知四边形ABCD为平行四边形，且||＝||＝，因为＋＝，所以平行四边形ABCD的对角线BD平分∠ABC，则四边形ABCD为菱形，其边长为，且对角线BD长等于边长的倍，即BD＝×＝.设对角线BD与AC交于点E，则CE2＝()2－＝，即CE＝.所以△BCD的面积为××＝，所以四边形ABCD的面积为2×＝.]
15.解　(1)因为e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，
所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝(4，1)，
所以a·b＝(3，－2)·(4，1)＝12－2＝10，
a＋b＝(7，－1)，
所以|a＋b|＝＝5.
(2)设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
16.解　(1)由余弦定理
b2＝a2＋c2－2accos B，得
b2＝32＋c2－2×3·c·.
因为b＝c＋2，
所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3·c·.
解得c＝5.
所以b＝7.
(2)由cos B＝－，得sin B＝.
由正弦定理，得sin A＝sin B＝.
在△ABC中，B＋C＝π－A，
所以sin(B＋C)＝sin A＝.
17.解　如图所示，
在△ABC中，
依题意得BC＝20(海里)，
∠ABC＝90°－75°＝15°，
∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.
由正弦定理得＝，
所以AC＝＝10(－)(海里).
故A到航线的距离为AD＝ACsin 60°
＝10(－)×＝(15－5)(海里).
因为15－5>8，所以货轮无触礁危险.
18.解　(1)设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
根据题意及正弦定理，可得
＝ a2＝b2＋c2－bc，
所以cos A＝＝＝.
又因为0(2)设△ABC的外接圆半径为R，则R＝1，
由＝2R a＝2Rsin A＝2sin ＝，
所以3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤3，
所以S＝bcsin A≤×3×＝(当且仅当b＝c时，取等号).
所以△ABC的面积S的最大值为.
19.解　(1)由＝，
可得＝＋＝－＋.
∵＝，
∴＝＋＝－＋.
(2)将＝－＋，＝－＋
代入＝＋λ＝＋μ，
则有＋λ＝＋μ，
即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)，又与不共线，
∴解得
(3)设＝m，＝n，
由(2)知＝＋，
∴＝－＝n－
＝n－
＝·＋
＝m＝m－m，
∵与不共线，
∴解得
∴＝，即＝2，
∴点P是BC的三等分点且靠近点C处.(共29张PPT)
章末检测卷(一)　第1章
第1章 平面向量及其应用
(时间：120分钟　满分：150分)
√
√
√
∵2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)，
3.向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝
A.－1 B.0 C.1 D.2
∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，
故选C.
√
√
由题意得∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理，得
√
由题意可知点P是△ABC的重心，
√
过C作CE⊥x轴于点E.
√
√
√
√
√
√
11.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中正确的是
A.若a>b>c，则sin A>sin B>sin C
B.若A>B>C，则sin A>sin B>sin C
C.若b2＋c2－a2<0，则△ABC为钝角三角形
D.若a2＋b2>c2，则△ABC是锐角三角形
√
√
√
向量b在向量a方向上的投影为|b|cos θ＝10·cos 120°＝－5.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知|a|＝2，|b|＝10，a与b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影是________.
－5
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).
(1)求a·b，|a＋b|；
因为e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，
所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝(4，1)，
所以a·b＝(3，－2)·(4，1)＝12－2＝10，
a＋b＝(7，－1)，
(2)求a与b 的夹角的余弦值.
设a与b的夹角为θ，
解得c＝5.
所以b＝7.
(2)求sin(B＋C)的值.
故A到航线的距离为AD＝ACsin 60°
设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值.
设△ABC的外接圆半径为R，则R＝1，
(3)确定点P在边BC上的位置.

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