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专题四 解析几何（解答题13种考向）
考向一 基础题
【例1-1】（2025·山东淄博·一模）已知双曲线，离心率，点在双曲线上
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得，则，即，
又因为点在双曲线上，所以，
解得：，所以双曲线的标准方程为：.
（2）因为的周长为12，所以①，
由双曲线的定义可得：，
所以②，
所以由①②可得：，
由（1）知，，所以，
因为直线的斜率不为，所以设，
则联立直线与双曲线可得，
当，即，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，所以，
，
所以，
所以，
解得：（舍去）或，所以，
直线的方程为：，即.
【例1-2】（2025·海南·三模）已知双曲线的焦距为，过点的直线与交于两点，且当轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点都在的左支上，且以为直径的圆与轴相切，求的斜率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为当轴时，，所以点在曲线C上，
所以，又的焦距为，所以，
所以，解得（负根舍去），所以，
所以的方程为；
（2）由题知，直线l的斜率一定存在，
设直线的方程为，，
联立，消并整理得，
因为直线与的左支交于两点，所以，
解得，所以，
且，
因为以为直径的圆与轴相切，所以，
所以，所以，结合，所以，
解得，即的斜率为.
【例1-3】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点.
①求k的取值范围；
②若，求的面积.
【答案】(1)
(2)①；②或.
【解析】（1）由已知得.
因为，所以，
解得，，故椭圆的方程为.
（2）①将代入，得，
则，解得或，
故的取值范围为.
②设，，由（1）可知，.
因为
，所以.
又，
所以，所以或.
易知直线与轴交于点，
所以.
当时，；当时，.
故的面积为或.
【例1-4】（2025·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)1
【解析】（1）由题意可知：，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
设直线的方程为，点.
由得
所以题意，即.
.
直线与轴交于点，所以.点
直线的方程为，
令，得，①
又因为，
带入①式
所以.
考向二 定点
【例2-1】（2025·山西吕梁·一模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定点为.
【解析】（1）由点在椭圆上，得，由椭圆的焦距为，得，
解得，所以椭圆的方程为.
（2）设,，代入椭圆方程得，由题知，
当时，设,、,，显然，
由，得，即，
由为线段的中点，得，直线的斜率，
由，得直线的方程为，即，
因此直线过定点，当时，直线，此时为轴亦过点，
所以直线恒过定点.
【例2-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）双曲线的一条渐近线方程为，
因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，
所以双曲线的一条渐近线方程为，即，
则，
，由对称性可知，到的一条渐近线的距离为，
所以，解得，
所以，
故的标准方程为.
（2）证明：由（1）可知，，
①当直线的斜率存在时，设方程为，，
由，整理得，
则，
得，
由得，，即，
由，则，
所以，
则
即，
所以，
整理得，
所以，
解得或，
若时，直线的方程为，
即，则直线过定点，不合题意，舍去；
若时，直线的方程为，即，则直线过定点.
当直线过定点，
②当斜率不存在时，，
得，故直线，满足题意.
综上可知，直线恒过定点.
【例2-3】（2025·吉林长春·二模）如图，矩形中，分别是矩形四条边的中点，设，其中，直线和的交点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；
(2)设，过点的动直线与椭圆交于两点，直线分别交圆于两点，设直线的斜率分别为．
①求证：为定值；
②直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②是，
【解析】（1）由题可知，
直线的方程为：，可化为，
直线的方程为：，可化为，
则两式联立得，所以椭圆方程为.
（2）①设直线的方程为：，，，
与椭圆的方程：联立消去可得：，
则，，
所以
，
代入，可得.

②设直线的方程为：，，，
联立直线与圆的方程，
消去可得，
则，
所以
，
代入，可得．
综上，直线恒过定点．
【例2-4】（2025·福建）已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得，，.
则，，，所以.
因为，又，所以，.
故的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，即.
因为直线与圆相切，所以，即.
设，，则，.
由化简，得，
由韦达定理，得
所以，
所以，
故，即以为直径的圆过原点.
当直线的斜率不存在时，的方程为或.
这时，或，.
显然，以为直径的圆也过原点.综上，以为直径的圆恒过原点.
考向三 定值
【例3-1】（2025·广西·一模）已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)已知，证明：点到直线的距离为定值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）由消去，得，由直线与椭圆交于两点，
得，
所以.
（2）设，由（1）知，，
，由，得，
整理得，因此点到直线的距离为定值，
所以点到直线的距离为定值．
【例3-2】（2025·新疆·二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点为，点在上，点与点关于轴对称．
(1)求的方程；
(2)设点为上异于的任意一点，直线与轴分别交于点，判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，2
【解析】（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍且右焦点为，
所以，解得，所以的方程为．
（2）因为为椭圆上异于的任意一点，所以直线的斜率存在，
设，则，
直线方程为，
令，得，则，
同理可得，
所以，
因为，
所以，
故．
【例3-3】（2025·山东菏泽·一模）已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上.

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M.
①求证：Q、R两点关于原点O对称；
②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②是定值，.
【解析】（1）由双曲线C的渐近线方程，可知，即.
把点带入双曲线C的方程得，由，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）①由题意知切线的斜率存在，故设切线的方程为，
由圆O的圆心到直线的距离，所以 ① ，
把代入消y得，
由题意知.设，，，
则由韦达定理可知，，
则，
所以，
所以，所以，
同理可得，所以Q，O，R三点共线，
又由双曲线C关于原点O对称，所以Q，R两点关于原点对称.
②是定值，证明如下：
连接，，，由①知：，，所以，
所以，所以为定值.
考向四 定直线
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【例4-2】（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点.
（i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；
（ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【解析】（1）由题意，得，则①，
将点代入双曲线方程，得②，
联立①②解得故的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在.
设直线的方程为，与联立得.
设，由题意，得解得.
（i）解：因为为中点，所以.
由，得.
又，解得，所以直线的斜率为.
（ii）证明：设直线的方程为，令，得.
同理可得，.
因为为中点，所以，即.
又因为点都在直线上，
所以，
整理，得，
代入韦达定理，得，所以.
因为，所以点恒在定直线上.
【例4-3】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知双曲线的左，右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：点在定直线上；
(3)记的面积分别为，若，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】（1）双曲线的渐近线为，设，则，
而，所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，，直线不垂直于轴，设方程为，
由消去得，设，
，，则，，
直线：，直线：，
联立得，解得，
所以直线与交于点在定直线上.
（3）由（2）知，，
则，即，
于是，解得，即，
所以直线的方程为，即.
考向五 最值
【例5-1】（2025·山东青岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，.
(1)求的方程;
(2)若直线与的另一个交点为，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)12
【解析】（1）由题知 ，
又 轴时，有代入方程解得，，
则双曲线的方程为： ；
（2）设直线方程为，
，消去得，
则，
所以，
，
因为，
令，则，
得
设，则该函数在上单调递减，则，
故，，即面积的最小值为12.
【例5-2】（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线C的顶点为，焦点为
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO，BO分别交直线l：于M、N两点，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)
【解析】（1）根据题意可设C的方程为，
那么，所以，
所以C：；
（2）如图，

设，，根据题意可设直线AB的方程为，
联立直线AB方程和方程C可得，化简得，
根据韦达定理可得，，
因此有
，所以AO的方程：，
根据，
可得，
同理，AO的方程：，
联立AO方程和直线，，可得，
因此
，
设，，所以，
因此
，
当时，，，
当时，，则，当取等号．
而，所以当，即时，的最小值是
【例5-3】（2025·山东烟台·一模）已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为.
（i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【解析】（1）由椭圆的焦距为，则，
由椭圆的离心率为，则，解得，
易知，则可得椭圆.
（2）（i）
当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆，
可得，易知，解得；
当直线的斜率存在时，可设方程为，
联立，消去可得，
由，设，
则，
可得，
由直线的斜率，直线的斜率，且，
则，整理可得，
化简可得，解得，
由.
（ii）
由圆的对称性，则，
由（i）可知：
当直线的斜率不存在时，，
当直线的斜率存在时，
，当且仅当时，等号成立，则，
综上可得，故的最小值为.
【例5-4】（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且，求l的方程；
(3)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由题意得，将代入椭圆方程得，
又，解得，
故椭圆的方程为
（2）设l的方程为，则.
联立方程组，整理得，
则，即，
所以，
则，
解得，满足题设，
所以l的方程为.
（3）设直线PA的方程为，则直线PB的方程为.
令，得，同理得，则.
在中，由正弦定理知，

同理可得.
因为，所以，
从而，
当且仅当时等号成立，故的最小值为
【例5-5】（2025·辽宁·二模）一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D.
(1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程
(2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
(3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值.
【答案】(1)椭圆方程为，抛物线的方程为
(2)四边形GCBD的面积存在最小值，最小值为8；
(3)
【解析】（1）椭圆的焦点在轴上，，
设椭圆方程为，，
若椭圆的短半轴长与的焦距长相等，
即，此时不合要求，
若椭圆的短半轴长与椭圆的焦距长相等，
即，解得，满足要求，
故椭圆方程为；
椭圆的焦点为，故，解得，
故；
（2）显然当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
故直线的斜率不为0，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为，此时直线为，
中，令得，故，
此时，，
设四边形GCBD的面积为，，
当直线的斜率存在，设直线的方程为，
与联立得，
设，则，
故，
故，
直线，与椭圆联立得，
恒成立，
设，则，
由弦长公式得
，
设四边形GCBD的面积为，
，
令，则，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
故，
故四边形GCBD的面积存在最小值，最小值为8.
（3）由题意得，故直线，联立得
，设，则，
故，，
故，，
中，令得，故，
，
又，设，故，解得，
所以，
由得，
即，，
即，
其中，，
故，解得，
故的值为
考向六 共线、共圆
【例6-1】（2025·山西临汾·一模）已知点在椭圆上，直线与交于，两点，直线，的斜率之和为0，点关于轴的对称点为，线段的中点为.
(1)证明：，，三点共线；
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【解析】（1）点代入椭圆方程得，解得，
所以椭圆的标准方程为
设，，
当直线斜率不存在时，可设其方程为，则，，
由，得，舍去，
当直线斜率存在时，可设其方程为，
联立整理得，
由，得，
由韦达定理得，，
由，得，
整理得，
，
韦达定理代入，得，
化简得，
当时，直线过点，舍去；
所以，即，
此时，直线的方程为，
，所以，，
所以
又因为，，
所以，所以，，三点共线.
（2）由（1）可得，，，
点到直线的距离，
，
所以，
令，则由（1）可得，
设，，
由二次函数的性质知，当时，，
所以面积的最大值为2.
【例6-2】（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点.
①证明：三点共线；
②当直线与有两个交点时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②的取值范围为.
【解析】（1）设，
则即 ，
所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且
所以动点的轨迹方程为.
（2）①证明：由（1）曲线:,，设，
对函数求导得，
所以两切线方程为：，即，
又切线过点P，所以，
即满足，即满足方程，
所以，
设， 则由，
所以，即三点在直线上，即三点共线；
②由上得，所以直线的方程为即，
联立，
因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根，
所以，
所以.
所以的取值范围为.
【例6-3】（2025·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，椭圆的长轴长为4，离心率为，直线交于两点.
(1)求的方程；
(2)若直线过的右焦点，当面积最大时，求；
(3)若直线不过原点，为线段的中点，直线与交于两点，已知四点共圆，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）依题意可得，解得，
所以，故椭圆的方程为.
（2）由（1）可知，由题可设直线的方程为，，
联立，消去可得，
则恒成立，
则，
所以
，
当且仅当时等号成立，所以直线垂直于轴时，的面积取最大值，
此时，.
（3）

若直线的斜率为，为上下顶点，且，
若四点共圆，则不成立，
所以由题可设直线的方程为，，
则，联立，可得，
当，
即时，，
所以中点的坐标为，所以，
故直线，
由四点共圆，则，
由，
联立，可得，即，
所以，
所以，可得，
所以，
又直线不过原点，所以，所以，
，
即.
【例6-4】（2025·陕西西安·二模）已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与轴交于点，证明：四点共圆.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题，，即 ①，把代入中，解得，
因点在第一象限，则，由可得，
代入点的坐标可得：，即得，
整理得：②，
将① 代入②可得：，解得（负值舍去），则，
故椭圆的标准方程为：.
（2）依题意，点关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设，
将代入，解得，依题意，，
则的外接圆半径为，
于是的外接圆的方程为：，
因点在该圆上，代入解得，
故的外接圆的方程可化简为：（*）.
又直线的方程为：，令，可得，
将其代入（*），可得：，
即点在该圆上，故四点共圆.

考向七 长度比值
【例7-1】（2025·重庆·一模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，在轴上方，，均垂直于的准线，垂足分别为，．
(1)当时，求直线的方程；
(2)已知为坐标原点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）

由题意，为抛物线的焦点．设．
设直线的方程为：，代入，得：．
则①，②．
因为，所以，即③．
由①③得：．又由②，解得．
因为，所以．直线的方程为．
（2）由题意，．
因为，所以在线段上．
同理，在线段上．
因为，所以与相似，
从而，即．
【例7-2】（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于另一点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点在椭圆上，过向直线引垂线交于点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【解析】（1）设，，.
，
设，则，解得：，
，
代入椭圆的方程，得，整理得，又，
，，
故椭圆的方程为.
（2）
由（1）知，易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
代入椭圆方程中，整理得，
，.
，且，
即，
又，易知：，
，，
解得，
直线的方程为或.
【例7-3】（2025·广东江门·一模）已知椭圆的焦距为，以椭圆短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点的直线分别交椭圆于点，点始终在第一象限且与点关于轴对称，直线分别交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求点的坐标；
(3)证明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】（1）由椭圆短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线方程为，，，
由点在第一象限且与点关于轴对称，得直线关于轴对称，，
由消去得，
则，，
直线方程为，令，得
，
所以点.
（3）由（2）知，，，
由，得，
因此，
所以.
【例7-4】（2025·云南·校联考三模）如图，已知椭圆的上、下顶点为，右顶点为，离心率为，直线和相交于点，过作直线交轴的正半轴于点，交椭圆于点，连接交于点.

(1)求的方程；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意可得，，又，解得，所以的方程为.
（2）在椭圆中，，所以，，
设直线（），直线（），
因为直线与直线相交于点，由，解得，所以，
又点在椭圆上，所以，整理得，
因为直线交轴正半轴于点，令得，即，
又因为，所以，，所以，
因为直线交于点，令得，故，
又，所以，，
所以，又，所以，
所以，所以
考向八 角度转化
【例8-1】（2025·陕西西安·二模）已知平面上动点到的距离比到直线的距离小1，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点的坐标为，过点作曲线的切线，切点为（在第一象限），若过点的直线与曲线交于M，N两点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【解析】（1）由题意得，
当时，，平方化简得，
当时，，平方化简得，
由可知，不合题意，舍去，
综上，曲线的方程为；
（2）设，因为，所以，
故过点的切线斜率为，又直线的斜率为，
故，解得，故，
又，所以轴，要使，只需，
当直线斜率不存在时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
设直线的方程为，联立得，
，解得或，
设，则，
则
，
故，此时直线的斜率取值范围是.
【例8-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交于，两点，分别过点作的垂线，交分别于两点（异于两点）.当的斜率不存在时，四边形的面积为6.
(1)求的标准方程；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】（1）由题意，得①，
当垂直于轴时，，
由题意，得②，
联立①②解得，
故的标准方程为.
（2）设，，
其中，
由题意，要证，即证，即证，
设直线和的斜率为，联立，
得，
即，
故，故，
同理得，当的斜率不存在时，显然满足题意；
当的斜率存在时，则，则，要证，
即证，
即证，
显然左右两式均等于，故.
【例8-3】（2025·山东济宁·一模）已知椭圆的离心率为分别为的左．右顶点，为的上顶点，且．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于两点，设直线与交于点．
①证明：点在定直线上；
②求的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②.
【解析】（1）由题意知，，
所以，即．
又，所以，
所以．
所以的方程为．
（2）①由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为．
由得，
设，则，
所以．
因为椭圆的左，右顶点分别为，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线与的方程得
,
解得，所以点在定直线上．
②设直线的倾斜角分别为，则，
由①知，所以，
所以
当且仅当时取等号，所以的最大值为．
【例8-4】（2025·山东泰安·一模）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左 右焦点，分别为椭圆的上 下顶点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点.
（i）设的面积分别为，若，求的最大值；
（ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【解析】（1）由题意知，，
椭圆方程为，
（2）（i）设，
则，
，
，，，
又在椭圆上，，
，，即，
，
，
，
；
（ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
，直线的倾斜角为，
，，
又，
，
由题意的斜率不为0，设直线的方程为：，
由，得，
设，
则，又，
，
即，
整理得，
，，
的方程为.
【例8-5】（2025·北京延庆·一模）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
【解析】（1）由题意得，解得，
所以，
所以椭圆E的标准方程为；
（2）假设存在点P，使得，则‖，
所以，
设，则，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，
所以，
因为点P是直线上不同于点Q的一点，所以，
所以，解得，
因为点在椭圆上，所以，解得或，
当时，，得，
当时，，得，
所以存在点P，使得，点的坐标为或
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为，再结合直线的方程和椭圆方程可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题.
考向九 轨迹
【例9-1】（2024湖南长沙）已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；
(2)若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
【答案】(1)直线l过定点；
(2)
【解析】（1）直线过定点，下面证明：
设，，，
又，，∴，
∴直线过原点满足．
又当PA两点固定时为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为，
则直线重合，则重合，
∴直线l过定点．
（2）设，，，不妨设，
∴，，又点A，B在椭圆上，
∴，，
∴，，两式相加得，
由，
得，
∴点Q的轨迹是以点O为圆心以为半径的圆，
∴点Q的轨迹方程为．
【例9-2】（2025·广东湛江·一模）已知抛物线的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线，，交于点P．点O为坐标原点，当为正三角形时，其面积为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线的距离的最小值．
【答案】(1)
(2)轨迹为直线，最小值为2．
【解析】（1）
因为为正三角形时，其面积为，可得的边长．
根据正三角形以及抛物线的对称性，可知此时点A，B关于x轴对称，
所以点A的坐标为．
将点A代入抛物线的方程可得，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）
易得．设直线的方程为，
联立直线与抛物线C的方程可得．
，
设点A，B的坐标分别为，，
根据韦达定理可得，．
设直线的方程为．
因为是抛物线C的切线，所以与C仅有一个交点．
联立两个方程可得，
，所以，
所以直线的方程为．
同理可得直线的方程为．
计算与的交点可得，即可得，
所以动点P的轨迹为直线．
将点P的横坐标代入直线及，可得其纵坐标为以及，
两者相加可得，代入上述韦达定理可得，
所以点P的坐标为，
所以点P到直线的距离，
当且仅当时等号成立，
所以点P到直线的距离的最小值为2．
【例9-3】（2025·山东聊城·一模）已知圆，圆，动圆与、都外切.
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)设，、是圆心轨迹上的不同两点，过点作，垂足为，若直线与的斜率之积等于，求动点轨迹的长度.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设圆的半径为，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆、圆都外切，则，，
所以，，
所以，点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支，
设双曲线的标准方程为，则，可得，，则，
所以，，
所以，圆心的轨迹方程为.
（2）若直线与轴垂直，则直线与曲线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得①，
则且，可得且，
由韦达定理可得，，
，
整理可得，
即，
整理可得，
若，此时，方程①为，由于，解得，
此时直线与点的轨迹只有一个公共点，不合乎题意，
所以，，所以，直线的方程为，故直线过定点，
因为，取线段的中点，则，
所以点在以点为圆心，半径为的圆上运动，
由题意可得，可得，
易知直线的方程为，
联立可得，
直线交轴于点，交圆于、两点，
，则，所以，，
易知点的轨迹为劣弧（不包括端点），其长度为.
【例9-4】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点的直线交双曲线于两点，曲线的左右顶点分别为，虚轴长与实轴长的比值为．

(1)求曲线的方程；
(2)如图，点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得，又，则，曲线的方程为；
（2）设直线的斜率分别为，直线为，
由，得，
，
，
则
，
，
由于点关于原点的对称点为点，，
则直线为，直线为，显然，
由，得，
即，
则直线的方程为，
由得，即，
当时，由对称性可知在轴上，
此时直线平行于直线，不符合题意，
故的轨迹方程为．
考向十 存在性
【例10-1】（2025·广东深圳·一模）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，和
【解析】（1）由在抛物线上，则，解得，
因此可得抛物线的方程为.
（2）
存在点在抛物线上，
设点，
由直线的斜率为，且过，
则直线的方程为：，即，
联立，可得，解得，或，
即可得点的纵坐标为，代入，得，即，
若，则，即，
又，
则可得，
整理得，，解得，或，或，或，
当时，与重合，舍去，
当时，与重合，舍去，
当时，，
当时，，
综上知，抛物线上存在点，为和时，.
【例10-2】（2025·福建莆田·二模）已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在，
【解析】（1）由已知，可得，
因为，，
解得，
所以椭圆方程为
（2）如图，
（ⅰ）证明：
要证，只需证明弦的中点与弦的中点重合.
当垂直于轴时，弦的中点都是坐标原点，故它们的中点重合，
此时
当不垂直于轴时，设直线的方程为，
由，得，
则，
所以弦中点的横坐标为，
同理可得，
所以弦中点的横坐标为
所以弦的中点与弦的中点重合，此时.
综上所述，
(ii)因为，所以，
又因为点在第一象限内，，
由(i)知，，所以,
又，所以，
化简得 ①
设到的距离为，C到的距离为，
假设的面积与的面积相等，则，
因为，所以，所以,
又，
因为，所以，
所以 ②
由①②解得，经检验符合题意，
所以
【例10-3】（2025·江西赣州·一模）已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）
由题意可知，，，
所以，，
整理联立有：，
又因为，，解得，，
所以椭圆方程为.
（2）根据已知条件设，设，，
当直线斜率不为时，设直线，
联立，整理得，
需，
即，
由韦达定理有：，，
故
因为为定值，所以，
整理得，解得，此时；
当直线斜率为时，不妨设，，，
此时符合题设，
同理可证当的坐标为时也符合题设，
又恒成立，
所以存在点或使得的值为（定值）.
考向十一 三角形的四心与形状
【例11-1】（2025·云南昆明·一模）椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，，设直线的斜率为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上一点，且为的重心，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设，，则，又，在椭圆上，
∴，两式作差，整理得：，
∴，又，
∴，，故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
与椭圆联立并整理得：，，
∴，则，
又恰为△的重心，故坐标为，即
因为在椭圆上，即，
故，即，解得，
∴，
而，，
故；
∴.
【例11-2】（2025·广东·一模）已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．
(1)当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程；
(2)当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
【答案】(1)或．
(2)
【解析】（1）
法一： 当轴，令，则，
设直线，由于，
则，
由于，则，则，
，
则，则，
所以直线的方程为或．
法二： 设，倾斜角为，由对称性知有两条，且关于对称，
不妨设，那么，
则，则，
由于，则，
则，
，
则由对称性，另一条直线：，
所以直线的方程为或．
（2）法一：设点，
因为，同理：，
所以，化简可得：，
同理可得：，，
，
又因为，直线和直线交于点，
所以，且，即，
，且，化简得：，于是，
则，解得，所以点，
由于，则，所以，则轴平分，
设的内切圆圆心，则到的距离，
点到的距离，
所以，
化简可得：，
由于，当且仅当取等号（舍），
则，
则．
或由化简得到：，
令，当且仅当取等号（舍），
则，设，
，
则在单调递减，．】
法二：点证明同解法1；
设的内切圆圆心，
设定点，由于，设半径为，
设，于是，
，那么，
（或：在中，由角平分线定理：．则．）
设，
由于，当且仅当取等号（舍），则，
则，则．
【点睛】关键点点睛：第二问：则到的距离，点到的距离，
得到.
【例11-3】（2025·广东佛山·一模）已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若正三角形的三个顶点都在上，且直线的倾斜角为，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设，，
因为是的中点且在轴上，根据中点坐标公式，
若为，则，所以，即，
已知，且，
根据两点间距离公式，，，
因为，所以，
两边平方可得，
展开式子：，
化简得，所以曲线的方程为.
（2）设，，直线的方程为，
由消去得，即，
由韦达定理得，，，
则，，
根据弦长公式（这里），
所以，
因为是正三角形，设中点为，则，即，
直线与直线垂直，直线斜率为，则直线斜率为，
点在曲线上，设，则，
又因为，
根据两点间距离公式，，
由，可得，
由可得，即，
，则，
，
，，
由，，，
两式相减得，
，解得或，
当时，，
当时，(舍去)，
所以.

【例11-4】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值；
(3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由题可知，椭圆右焦点坐标为，抛物线焦点坐标为
所以,
所以抛物线方程为,
（2）

由题可知，为抛物线准线，所以点到的距离等于点到焦点的距离；
联立，
显然无实数根，故直线与抛物线相离，记点到的距离为,
所以的最小值为焦点到直线的距离为.
（3）

设点，已知点
所以的面积,
设的内切圆半径为,
则有,
所以,
所以,
因为点是抛物线上一点（不同于坐标原点）,
所以，,
所以,
经整理得：,
构造函数,
得,
显然单调增,
令，解得,
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以,
所以.
【例11-5 】（2025·江西九江·一模）已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上不同的三点，四边形是边长为的正方形．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)在轴上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）四边形是边长为的正方形，，

由对称性可知，为短轴端点．
椭圆的标准方程为
（2）假设在轴上存在一点，满足条件．
由对称性，不妨设，设直线的方程为
代入椭圆方程中，整理得
设线段中点为，则．
线段的中垂线方程为
为等边三角形，在线段的中垂线上，
令，得，即，,
又，，解得．
在轴上存在一点，使得为等边三角形，且
考向十二 多个专题综合
【例12-1】（2025·辽宁·模拟预测）抛物线的焦点为，为上一点，的纵坐标为，点在轴上，轴，线段的中点为，且轴．
(1)求的方程；
(2)已知为上三个不同的点，点在第一象限．
（ⅰ）若点在原点，，，点的横坐标满足，求．
（ⅱ）在中，内角所对的边分别为，且满足，，的重心在轴上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】（1）将代入的方程，得，所以，
所以，解得，
故的方程为；
（2）（ⅰ）设，，则，
因为，所以，
即，①
又的中点为，所以，，
由，得，与①联立可得．
又，则，
令，则，
设方程的两根分别为，
得，，
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，
又，，即，
所以；
（ⅱ）由，得，
即，即，
即，所以，
又，所以，所以，
所以，
即，所以，
所以为等腰三角形，
设重心，，，，的中点为，
则由，得，，
直线的斜率，
由，即，可知，
所以，即，即，
所以，
则，
所以直线的方程为，即，
联立，整理得，
则，，
所以，
由，得，解得，
所以，
故点的坐标为．
【例12-2】（2025·陕西咸阳·一模）已知圆，圆．若动圆M与圆外切，与圆内切，动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若P为直线与x轴的交点，Q为直线上的另外一点，直线l过且与曲线C交于A，B两点，求证：
①；
②直线，，的斜率成等差数列．
【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【解析】（1）对于，圆心，半径，
对于，圆心，半径，
显然，即两圆外离，如下图示，
由动圆M与圆外切，与圆内切，令圆M的半径为，则，，
所以，故动圆圆心M的轨迹为.
（2）①由题设且，
令，设，
联立，消得，
由，知，又，
所以，，
则，且有，
故
，
所以，得证.
②由①知，，，
所以
，
所以，即直线，，的斜率成等差数列．
【例12-3】（2025·云南大理·模拟预测）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；
(3)求的面积.
【答案】(1)
(2)，
(3)16
【解析】（1）因为点在抛物线上，则，解得.
（2）由可知，，
因为点在抛物线上，则，且，
过，，且斜率为的直线，
联立方程，消去可得，
解得或，
因，故，即，
故数列是以首项为2，公差为4的等差数列，所以，
又，所以，
所以
所以，又是关于的递增函数，故，
的取值范围是.
（3）由（2）可知：，，，
直线的方程为，
即，
点到直线的距离为，，
所以的面积为.
【例12-4】（2025·吉林·二模）已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且.
(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)求的面积；
(3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)存在，或
【解析】（1）点在抛物线上，，
即抛物线方程为.
.
即.
.
.
是以2为首项，2为公比的等比数列，即.
符合上式，数列的通项公式是.
（2）（法一）.
直线的斜率为.
直线的方程为：，即.
到直线的距离为，
.
.
（法二）证明：在中，，
则的面积.
证明如下：，
.
下面求的面积.
，
.
.
（3）.
.
.
.，
或或.
解得或或（舍）.
或.
【例12-5】（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点其中点A在x轴上方连接，将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后A，B在新图形中对应点记为，.
(1)当时，
①求三棱锥的外接球的表面积；
②求三棱锥的体积；
(2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)①；②；
(2)存在，
【解析】（1）①由题可知，，则 .
直线的倾斜角，则斜率.
所以直线的方程为.
联立直线与椭圆方程得或.
又因为点A在x轴上方，所以.
所以为边长是的正三角形，且.
折叠后，.
又因为，所以；
外接圆半径；
外接圆半径.
三棱锥外接球半径为
.
三棱锥的外接球的表面积为.
②因为二面角为直二面角
所以到轴距离即为三棱锥的高，.
底面的面积
所以.
即三棱锥的体积为.
（2）设翻折前，
翻折后.
设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立得，
，则.
翻折前，
翻折后，
由,，所以.
分母有理化
所以.
则.
又因为，
所以，
将代入上式，
整理得，
整理得
因为，所以.
考向十三 新定义
【例13-1】（2025·江西萍乡·一模）如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.
(1)求“等差椭圆”的离心率；
(2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.
（ⅰ）求与和都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.
【答案】(1)；
(2)（i）或；（ii）证明见解析.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，
因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以，
又，所以，则，
两边同时除以，得，解得（舍去）.
所以“等差椭圆”的离心率为.
（2）（ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且，
则由，得，则，，解得.
故，.
易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：.
联立消去y得，
则，得；①
联立消去得，
则，得，②
联立①②，解得或
故和都相切的直线方程为或.
（ⅱ）证明：设l与相交于，，
线段CD的中点，则，，
两式相减，得，
所以，即，
由已知，，所以，
即，则
联立得，
又，则，
故，
所以中点的坐标为，可得，
所以，为N定值.
【例13-2】（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆.
(1)试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由.
(2)设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设点，记的面积为，证明：.
【答案】(1)是，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）假设3是抛物线的和谐数，则3的和谐圆为，
由对称性，不妨设圆与抛物线有公共点，
显然抛物线在点处的切线，即曲线在点处的切线，
易知该切线的斜率为，
∵圆与抛物线在点处有相同的切线，
∴，解得，
∴圆与抛物线有公共点，
∴和谐圆的半径为
∴3是抛物线的和谐数，且3的和谐圆为.
（2）由对称性，只需考虑，，…，均在轴上方的情形，不妨设，
（ⅰ）∵为抛物线的和谐数，
∴的和谐圆为，
∴由（1）可知，，解得，
∴，
∵在圆上，∴，
∵，圆与外切，且，
∴，即，
∴，
∴数列是等差数列，其公差为2，首项为，
∴，即，
∴数列的通项公式为.
（ⅱ）证明：显然点为抛物线的焦点，∴，
易知，且，∴为等腰三角形，
易知的面积，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴不等式得证.
【例13-3】（2025·陕西榆林·二模）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，，，，证明：；
(3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，由可先找到该方程的初始解，记此解对应的点为，进一步可得点，，，，.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，，，，，，，记，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是，1.
【解析】（1）因为，所以，
因为双曲线的一个顶点为，
一条渐近线的方程为：，
所以，解得：，
故双曲线的方程为：；
（2）设，，，，
因为直线的斜率不为0，设的方程为：，
联立可得：，则.
联立可得：，则，
故线段，的中点重合，
所以
（3）解法1：因为，
所以，，
因为二项式与的展开式中不含的项相等，含的项互为相反数，
所以，解得：，
令，，则.
直线的方程为：，，
，故定值1.
解法2：因为，
所以，，
因为二项式与的展开式中不含的项相等，含的项互为相反数，
所以，
则，
直线的方程为：，，
，
故为定值1.专题四 解析几何（解答题13种考向）
考向一 基础题
【例1-1】（2025·山东淄博·一模）已知双曲线，离心率，点在双曲线上
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程．
【例1-2】（2025·海南·三模）已知双曲线的焦距为，过点的直线与交于两点，且当轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点都在的左支上，且以为直径的圆与轴相切，求的斜率．
【例1-3】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点.
①求k的取值范围；
②若，求的面积.
【例1-4】（2025·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的值.
考向二 定点
【例2-1】（2025·山西吕梁·一模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【例2-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点.
【例2-3】（2025·吉林长春·二模）如图，矩形中，分别是矩形四条边的中点，设，其中，直线和的交点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；
(2)设，过点的动直线与椭圆交于两点，直线分别交圆于两点，设直线的斜率分别为．
①求证：为定值；
②直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【例2-4】（2025·福建）已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.
考向三 定值
【例3-1】（2025·广西·一模）已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)已知，证明：点到直线的距离为定值．
【例3-2】（2025·新疆·二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点为，点在上，点与点关于轴对称．
(1)求的方程；
(2)设点为上异于的任意一点，直线与轴分别交于点，判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【例3-3】（2025·山东菏泽·一模）已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上.

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M.
①求证：Q、R两点关于原点O对称；
②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围.
考向四 定直线
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【例4-2】（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点.
（i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率；
（ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上.
【例4-3】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知双曲线的左，右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：点在定直线上；
(3)记的面积分别为，若，求直线的方程.
考向五 最值
【例5-1】（2025·山东青岛·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，.
(1)求的方程;
(2)若直线与的另一个交点为，求面积的最小值.
【例5-2】（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线C的顶点为，焦点为
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO，BO分别交直线l：于M、N两点，求的最小值.
【例5-3】（2025·山东烟台·一模）已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，为上两个动点，且，作，垂足为.
（i）线段的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点的轨迹为，过点作的切线交于点（异于），求面积的最小值.
【例5-4】（24-25高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且，求l的方程；
(3)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值.
【例5-5】（2025·辽宁·二模）一般地，若两个椭圆焦点都在x轴或y轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F.过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点G、B，直线与交于点C、D.
(1)求该椭圆的相关椭圆方程及抛物线的方程
(2)四边形GCBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
(3)过椭圆左顶点A且斜率为的直线与椭圆交于点M，与轴交于点，设点为MA的中点.若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），若，求的值.
考向六 共线、共圆
【例6-1】（2025·山西临汾·一模）已知点在椭圆上，直线与交于，两点，直线，的斜率之和为0，点关于轴的对称点为，线段的中点为.
(1)证明：，，三点共线；
(2)求面积的最大值.
【例6-2】（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点.
①证明：三点共线；
②当直线与有两个交点时，求的取值范围.
【例6-3】（2025·广东茂名·一模）在平面直角坐标系中，椭圆的长轴长为4，离心率为，直线交于两点.
(1)求的方程；
(2)若直线过的右焦点，当面积最大时，求；
(3)若直线不过原点，为线段的中点，直线与交于两点，已知四点共圆，证明：.
【例6-4】（2025·陕西西安·二模）已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与轴交于点，证明：四点共圆.
考向七 长度比值
【例7-1】（2025·重庆·一模）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，在轴上方，，均垂直于的准线，垂足分别为，．
(1)当时，求直线的方程；
(2)已知为坐标原点，证明：．
【例7-2】（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于另一点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点在椭圆上，过向直线引垂线交于点，若，求直线的方程.
【例7-3】（2025·广东江门·一模）已知椭圆的焦距为，以椭圆短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点的直线分别交椭圆于点，点始终在第一象限且与点关于轴对称，直线分别交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求点的坐标；
(3)证明：．
【例7-4】（2025·云南·校联考三模）如图，已知椭圆的上、下顶点为，右顶点为，离心率为，直线和相交于点，过作直线交轴的正半轴于点，交椭圆于点，连接交于点.

(1)求的方程；
(2)求证：.
考向八 角度转化
【例8-1】（2025·陕西西安·二模）已知平面上动点到的距离比到直线的距离小1，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点的坐标为，过点作曲线的切线，切点为（在第一象限），若过点的直线与曲线交于M，N两点，证明：．
【例8-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交于，两点，分别过点作的垂线，交分别于两点（异于两点）.当的斜率不存在时，四边形的面积为6.
(1)求的标准方程；
(2)证明：.
【例8-3】（2025·山东济宁·一模）已知椭圆的离心率为分别为的左．右顶点，为的上顶点，且．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于两点，设直线与交于点．
①证明：点在定直线上；
②求的最大值．
【例8-4】（2025·山东泰安·一模）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左 右焦点，分别为椭圆的上 下顶点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点.
（i）设的面积分别为，若，求的最大值；
（ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程.
【例8-5】（2025·北京延庆·一模）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
考向九 轨迹
【例9-1】（2024湖南长沙）已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；
(2)若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．
【例9-2】（2025·广东湛江·一模）已知抛物线的焦点为F，A，B分别为C上的点（点A在点B上方）．过点A，B分别作C的切线，，交于点P．点O为坐标原点，当为正三角形时，其面积为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线经过点F，求动点P的轨迹以及点P到直线的距离的最小值．
【例9-3】（2025·山东聊城·一模）已知圆，圆，动圆与、都外切.
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)设，、是圆心轨迹上的不同两点，过点作，垂足为，若直线与的斜率之积等于，求动点轨迹的长度.
【例9-4】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点的直线交双曲线于两点，曲线的左右顶点分别为，虚轴长与实轴长的比值为．

(1)求曲线的方程；
(2)如图，点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的轨迹方程．
考向十 存在性
【例10-1】（2025·广东深圳·一模）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【例10-2】（2025·福建莆田·二模）已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【例10-3】（2025·江西赣州·一模）已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由.
考向十一 三角形的四心与形状
【例11-1】（2025·云南昆明·一模）椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，，设直线的斜率为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上一点，且为的重心，求.
【例11-2】（2025·广东·一模）已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．
(1)当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程；
(2)当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
【例11-3】（2025·广东佛山·一模）已知的顶点在轴上，，，且边的中点在轴上，设的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若正三角形的三个顶点都在上，且直线的倾斜角为，求．
【例11-4】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值；
(3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围．
【例11-5 】（2025·江西九江·一模）已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上不同的三点，四边形是边长为的正方形．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)在轴上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
考向十二 多个专题综合
【例12-1】（2025·辽宁·模拟预测）抛物线的焦点为，为上一点，的纵坐标为，点在轴上，轴，线段的中点为，且轴．
(1)求的方程；
(2)已知为上三个不同的点，点在第一象限．
（ⅰ）若点在原点，，，点的横坐标满足，求．
（ⅱ）在中，内角所对的边分别为，且满足，，的重心在轴上，求点的坐标．
【例12-2】（2025·陕西咸阳·一模）已知圆，圆．若动圆M与圆外切，与圆内切，动圆圆心M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若P为直线与x轴的交点，Q为直线上的另外一点，直线l过且与曲线C交于A，B两点，求证：
①；
②直线，，的斜率成等差数列．
【例12-3】（2025·云南大理·模拟预测）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；
(3)求的面积.
【例12-4】（2025·吉林·二模）已知在抛物线上，其中关于y轴的对称点为，记直线的斜率为且.
(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)求的面积；
(3)记为数列的前n项和，是否存在正整数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【例12-5】（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点其中点A在x轴上方连接，将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后A，B在新图形中对应点记为，.
(1)当时，
①求三棱锥的外接球的表面积；
②求三棱锥的体积；
(2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
考向十三 新定义
【例13-1】（2025·江西萍乡·一模）如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.
(1)求“等差椭圆”的离心率；
(2)在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且.
（ⅰ）求与和都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值.
【例13-2】（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆.
(1)试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由.
(2)设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切.
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设点，记的面积为，证明：.
【例13-3】（2025·陕西榆林·二模）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，，，，证明：；
(3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的整数解.例如：求二元二次方程的正整数解，由可先找到该方程的初始解，记此解对应的点为，进一步可得点，，，，.设由“循环构造法”得到方程的正整数解对应的点列为：，，，，，，，记，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

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