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专题二 三角函数与解三角形（解答题13种考向）
考向一 正余弦定理公式的简单运用
【例1-1】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若，求的面积．
【例1-2】（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若边上的高为，求三角形ABC的周长.
【例1-3】（2025·江西九江·一模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【例1-4】（2025·河南·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，．
(1)求；
(2)设，．
①求；
②求的值．
【例1-5】（2025·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)设D为边AB的中点，若，且，求a．
考向二 三角函数的性质
【例2-1】（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知函数的最小正周期为．
(1)求和的对称中心；
(2)求在上的最值并求相应的的值．
【例2-2】（23-24辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象，如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)，求函数的值域；
(3)若，求满足不等式的的取值范围.
【例2-3】（24-25高三上·浙江金华·期末）函数的的部分图象如图，且经过点，.

(1)求函数的解析式；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值.
【例2-4】（24-2山西·期末）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
考向三 正余弦定理在几何中的运用
【例3-1】（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且．
(1)求证：为等边三角形；
(2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值．
【例3-2】（24-25高三上·江西·期末）如图，在平面四边形中， 点E在上，且
(1)求;
(2)求的面积.
【例3-3】（2025·海南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)如图，若，点在边BC上，且的面积为，求的周长.
【例3-4】（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，且四点共圆．

(1)求的值；
(2)若点为上一点，的面积为，求的值．
考向四 三角形的中线、角平分线、高
【例4-1】（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，．
(1)求的长；
(2)求的长.
【例4-2】（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，
(1)求
(2)设，求边上的高.
【例4-3】（24-25贵州·阶段练习）的内角，，的对边分别是，，，，，____________.
(1)若在横线处填入，求；
(2)给出两个条件：
①内角的平分线长为；
②BC边上的中线长为.
从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
考向五 三角形的四心
【例5-1】（2024广西）已知的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若，，为的___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【例5-2】（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
【例5-3】（24-25高三上·辽宁·期末）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若是的重心，求的面积.
考向六 三角形周长与面积的最值
【例6-1】（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【例6-2】（24-25高三上·浙江·期末）已知
(1)求的最小正周期;
(2)若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围.
【例6-3】（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【例6-4】（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【例6-5】（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为.
(1)求；
(2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围.
考向七 三角形的存在性问题
【例7-1】（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，.
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【例7-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，.
(1)求的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【例7-3】（24-25高三上·河南南阳·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
考向八 证明题
【例8-1】（24-25高三上·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：.
【例8-2】（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，.
(1)求A；
(2)证明：.
【例8-3】（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
【例8-4】（2024高三下·广东揭阳·阶段练习）在中，角的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若外接圆的半径为，点D为边的中点，证明：．
考向九 最值问题
【例9-1】（2025·四川·二模）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求的值.
(2)若，求边上的高的取值范围.
【例9-2】（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为.
(1)若，求的面积S；
(2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
【例9-3】（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点．
(1)若，求角A的平分线AD的长；
(2)求BC边上中线AD长的最小值．
【例9-4】（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线.
(1)证明：；
(2)若，，求的最大值.
【例9-5】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围.
考向十 解三角形与数列综合
【例10-1】（24-25高三下·福建·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：成等差数列；
(2)若的面积为，求．
【例10-2】．（24-25高三上·辽宁大连·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求证：A，B，C成等差数列；
(2)若，，线段AC延长线上的一点D满足，求BD的长.
【例10-3 】（24-25高三上·安徽·期末）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若对任意的，都有，且成等差数列，也成等差数列，证明：的周长为定值．
【例10-4】（24-25高三上·山东日照·期末）已知等差数列的公差，集合.
(1)若，，求集合；
(2)若，集合中恰好有两个元素，求；
(3)当时，是否存在使得集合中恰好有三个元素，如果存在，求出的值，并给出证明过程；如果不存在，请说明理由.
考向十一 解三角形与导数综合
【例11-1】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知的最小正周期为．
(1)求的值以及函数的单调减区间；
(2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．
【例11-2】（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数．
(1)当时，判断的奇偶性；
(2)当为偶数时，方程有解，求的最小值；
(3)若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【例11-3】（2025·辽宁·二模）已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为.
(1)求证：；
(2)若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有；
(3)求的最小值.
考向十二 新定义
【例12-1】（2025·江西·一模）设是定义在上的函数，若对于任意的，存在，均有，则称为“函数”．
(1)若函数，证明：不是“函数”．
(2)若函数，证明：是“函数”．
(3)对于区间，定义，已知，且为“函数”，证明：．
【例12-2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数．
(1)求的对称轴方程及在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，已知，求．
【例12-3】（24-25高三上·河北沧州·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
(3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
【例12-4】（2025·江西南昌·模拟预测）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离.
考向十三 一题多解
【例13-1】（24-25高三上·山西吕梁·期末）记的内角的对边分别为，已知为锐角．
(1)求证：；
(2)求；
(3)若，四边形内接于圆，求面积的最大值．
【例13-2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)判断的形状；
(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.
①当时，求线段长的最小值；
②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
参考公式：，.
【例13-3】（24-25高三上·广东·期末）在中，角的对边分别为，且
(1)求；
(2)已知为的中点，于于，若求的面积.
【例13-4】（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求边；
(2)若，求面积的最大值.专题二 三角函数与解三角形（解答题13种考向）
考向一 正余弦定理公式的简单运用
【例1-1】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以，
即，得到，
又，则，所以，解得.
（2）由（1）知，又，所以，
又，所以，
又，
所以.
【例1-2】（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若边上的高为，求三角形ABC的周长.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由题设及余弦定理知，整理得，
所以，，则；
（2）由题意及（1）知：，则，
由，即，
所以（负值舍），故，而，
所以三角形ABC的周长为.
【例1-3】（2025·江西九江·一模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由及余弦定理，得
又
（2）由正弦定理得
，
所以.
的面积.
【例1-4】（2025·河南·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，．
(1)求；
(2)设，．
①求；
②求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】（1）因为，所以，
所以，即，
所以，
因为，，所以，，所以，
又，所以．
（2）①因为，，，
由余弦定理可得，
即，整理得，
即，而，所以．
②由知．
【例1-5】（2025·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)设D为边AB的中点，若，且，求a．
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）在中，由及正弦定理得，
即，即，
而，即，则，又，
所以.
（2）依题意，，则，或，
当时，由，
得，
在中，由正弦定理得，，则，
在中，由余弦定理得，
因此，
当时，，
，，
所以或.
考向二 三角函数的性质
【例2-1】（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知函数的最小正周期为．
(1)求和的对称中心；
(2)求在上的最值并求相应的的值．
【答案】(1)，
(2)时，取得最小值；时，取得最大值3．
【解析】（1）因为的最小正周期为，所以，则，
所以，
由得，，
所以的对称中心．
（2）由（1）知，
因为，所以，
所以，
所以，当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值3．
【例2-2】（23-24辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象，如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)，求函数的值域；
(3)若，求满足不等式的的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由图可得，
则，因为，且，所以，
所以，
由图可知，
则，解得，
因为，所以，
故.
（2）由（1）知，
设，
，
所以函数的值域为.
（3）由，得，
则，，
解得或，
解得或.
又，
所以.
【例2-3】（24-25高三上·浙江金华·期末）函数的的部分图象如图，且经过点，.

(1)求函数的解析式；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为图像经过，，
所以得周期，由得.
又得，，又因为，
所以，所以.
（2）因为，又，
结合图像可知：，，
又，，由余弦定理可得.
在中，易求得，
由平方关系可得：.
所以.
【例2-4】（24-2山西·期末）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1）因为．
令，解得，
所以的单调递减区间为．
（2）当时，不等式恒成立，即不等式在上恒成立，
因为，所以，所以，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
考向三 正余弦定理在几何中的运用
【例3-1】（24-25高三上·山东淄博·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，成等差数列，且．
(1)求证：为等边三角形；
(2)如图，点D在边BC的延长线上，且，，求的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）因为，，成等差数列，则，
又因为，由余弦定理可得，
即，解得，
所以为等边三角形.
（2）设，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，即，
由正弦定理可得.
【例3-2】（24-25高三上·江西·期末）如图，在平面四边形中， 点E在上，且
(1)求;
(2)求的面积.
【答案】(1)3
(2)
【解析】（1）在中，由余弦定理得. ，
即
整理得 ，
所以（负值舍去）.
（2）在中，由余弦定理得 ，
所以
所以的面积为
【例3-3】（2025·海南·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)如图，若，点在边BC上，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由条件及正弦定理得，
所以，即，
因为，所以，即，
所以.
（2）由（1）及条件知，
所以，
从而得.
设，
则，得.①
由余弦定理得，所以，②
由①②，得，所以，
所以的周长为.
【例3-4】（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，且四点共圆．

(1)求的值；
(2)若点为上一点，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为四点共圆，所以，
则．
如图所示：

连接，在中，，
在中，，
两式作差得，解得．
（2）由（1）可知，所以．
由的面积为，得，
即，解得，
则．
易知，所以，
连接，
在中，，
在中，，
两式作差得，，解得，则．
在中，，则．
由正弦定理，得．
考向四 三角形的中线、角平分线、高
【例4-1】（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，．
(1)求的长；
(2)求的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
所以，又，所以.
因为为中点，所以，
所以.
所以，即.
（2）因为平分，所以.
设，
由.
所以.
故.
【例4-2】（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，
(1)求
(2)设，求边上的高.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）在中，
，，
而A为三角形内角，
，
，
整理得，得，
又，且，
（2）由正弦定理得，
得，
由（1）得，，，
，
设边上的高为h，则，
边上的高为
【例4-3】（24-25贵州·阶段练习）的内角，，的对边分别是，，，，，____________.
(1)若在横线处填入，求；
(2)给出两个条件：
①内角的平分线长为；
②BC边上的中线长为.
从条件①②中选择一个填入横线，求的面积.（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由，得，
因为中，，所以或，
又因为，所以，所以.
（2）选择①：设的平分线交BC于点，则，，
，，
，即，
在中，由余弦定理，
，，，
，，.
选择②：以AB、AC为邻边作平行四边形，记作平行四边形，
则有，两式平方相加得：，
即
又结合已知：，，
可解得，即，
在中，由余弦定理得：，
将，，代入解得：，
.
考向五 三角形的四心
【例5-1】（2024广西）已知的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若，，为的___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）解：，
，
则，即，
，则，，即有，
可得，
，则，，解得.
（2）解：若选①，连接并延长交边于点，
因为为的重心，所以，为的中点，且，
所以点到的距离等于点到的距离的，
所以，；
若选②，由余弦定理可得，
若为的内心，设的内切圆的半径为，
则，则，
因此，；
若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，
由余弦定理可得，则，
在优弧上任取一点，则，则，
因此，.
【例5-2】（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
【答案】(1)(2).
【解析】（1）选择条件①：.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理，得.
因为，所以.
选择条件②：因为，所以，即.
由正弦定理得，即.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.因为，所以.
（2）连接，
因为点是内心，所以.
因为，所以，
所以，所以.
由余弦定理得，即，解得，
所以.
【例5-3】（24-25高三上·辽宁·期末）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若是的重心，求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，则，可得，
又因为，则，
可得
由正弦定理可得，即，
可得，整理可得，
且，所以.
（2）方法一：在中，
，
则.
可得，
.
又因为为的重心，到边的距离为到的距离的倍，
所以；
方法二：因为
，
则，
且，可得，
延长，交于，
在中，由余弦定理可得，即，
可得，
由正弦定理得：，则
所以.
考向六 三角形周长与面积的最值
【例6-1】（2025·上海·模拟预测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
(1)若，求a；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由正弦定理可得即，
又，所以，即，解得，所以.
（2）因为，且，，
所以，当且仅当时等号成立，
当取最小值时，取最大值，最大值，
所以的面积的最大值为.
【例6-2】（24-25高三上·浙江·期末）已知
(1)求的最小正周期;
(2)若锐角中，边AC上的高且求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
；
（2），即
所以或得舍
由边AC上的高，
根据正弦定理得：
是锐角三角形，
，，
【例6-3】（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，可得，
所以由正弦定理可得，
又为三角形内角，，
所以，
因为，
所以，可得，所以.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理得，
则，
，
【例6-4】（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由正弦定理，，所以．
又，所以，
所以，所以，
因，所以，即.
（2）因为，所以，
因为，所以．
因为，所以，
∵为锐角三角形，∴，∴，∴
因为，由余弦定理，两式联立得，
又因为，代入上式，得到，则，且，
所以，即．
所以周长的取值范围为．
【例6-5】（24-25高三上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为.
(1)求；
(2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，，所以，，
又，解得；
（2）∵，，即，
所以，即，
又，所以，
因为，所以，故，
所以，所以，
所以周长的范围为．
考向七 三角形的存在性问题
【例7-1】（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，.
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）因为，
由正弦定理，得.
因为在中，，所以.
所以.
因为，所以.
（2）选条件①：，
则，即，解得，
故无解，所以不存在；
选条件②：，
由余弦定理，得.
解得或.
当时，.
当时，.
条件③：，
因为，所以为钝角，所以.
由，得.
因为
，
所以.
【例7-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，.
(1)求的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又，所以；
（2）选条件①：边上中线的长为：
设边中点为，连接，则，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得或（舍），
所以的面积为.
选条件③：：
在中，由余弦定理得，即，
整理得，解得或，
当时，的面积为．
当时，的面积为．
不可选条件②，理由如下：
若，故为钝角，则，
则，，即，
其与为钝角矛盾，故不存在这样的.
【例7-3】（24-25高三上·河南南阳·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【解析】（1）在中，由及由正弦定理得，
由余弦定理得，而，
所以.
（2）选条件①，由，，得，与矛盾，
此时不存在，即条件①不符合要求，不选①；
选条件②，由（1）知，由，得，
由余弦定理得，即，而，解得，
所以的面积为.
选条件③，由，得，
在中，由正弦定理得，则，
又，
所以的面积为.
考向八 证明题
【例8-1】（24-25高三上·河南周口·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：.
【答案】证明见解析
【解析】（1）因为，
由余弦定理可得，
化简得，
整理得；
（2）由（1）得，
当且仅当时取得等号，与题意不符.
故，即.
（3）由（1）知，
又，
则，
解得，
故
解得，
所以.
【例8-2】（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，.
(1)求A；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，，
即，
化简得，
即，故或，
又，解得或（舍去），故．
（2）要证，即证，即证，
由（1），，所以，即证．
不妨设（其中），
则
显然恒成立．
故，命题得证．
【例8-3】（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）如图．在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以，
所以．
（2）因为，
所，所以．
由可知，均为锐角．
由（1）知，．
设，则，．
由，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以．
【例8-4】（2024高三下·广东揭阳·阶段练习）在中，角的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若外接圆的半径为，点D为边的中点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为，
即，
即，
即，
因为，所以，且，
所以等式可化为，即，
即，因为，所以；
（2）解：由（1）知，因为外接圆的半径为，
所以中，由正弦定理知：，
即，解得，因为点D为边的中点，
所以，因为，
所以，
在分别由余弦定理可得：
，
代入中可得：
，
即，
即，即，
故，得证.
考向九 最值问题
【例9-1】（2025·四川·二模）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求的值.
(2)若，求边上的高的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，所以，
所以，
又因为，所以，
应用正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，所以.
（2）因为是锐角的内角，又因为，所以得出，
所以，
设边上的高为，，
.
【例9-2】（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为.
(1)若，求的面积S；
(2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，
得.
由正弦定理得.
所以，
因为，所以.
在中，，由余弦定理，
得，解得.
所以.
即的面积S为.
（2）因为为角C平分线，，所以.
在中，，
所以，
由，得，所以.
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
【例9-3】（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点．
(1)若，求角A的平分线AD的长；
(2)求BC边上中线AD长的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）因为，，，
所以，所以，
由，且是角A的平分线，
所以，所以.
（2）因为D是BC的中点，所以，
两式平方，并代换得
，当且仅当时取等号，
所以AD长的最小值为.
【例9-4】（2025·广东·一模）在中，角的对边分别为，为边上的中线.
(1)证明：；
(2)若，，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）方法一：为边上中线，，
，
在中，由余弦定理得：，
，
，
.
方法二：为边上中线，
在中，，
在和中，由余弦定理得：
，
即，
，
即；
（2），，由余弦定理可得，
故，即，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，
所以取得最小值为.
【例9-5】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）在三角形中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据正弦定理可知：，
因为，所以，所以.
（2）由余弦定理可知：，因为，所以，，，
因为，所以，，
由正弦定理得：，
所以
，
因为，所以，所以，
所以时，取得最小值，
并且，
所以的范围是.
考向十 解三角形与数列综合
【例10-1】（24-25高三下·福建·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：成等差数列；
(2)若的面积为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由正弦定理得，
得到，
即，
由三角形内角和性质得，故，
得到，由正弦定理得，
所以，，成等差数列.
（2）因为的面积为，
所以，故
由余弦定理得，
所以，
因为，所以，
即，结合，
故，而，得到，
化简得，由辅助角公式得，
因为，所以，解得，即为.
【例10-2】．（24-25高三上·辽宁大连·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求证：A，B，C成等差数列；
(2)若，，线段AC延长线上的一点D满足，求BD的长.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【解析】（1）由及正弦定理得，
整理得，由余弦定理得，
因为，所以，
又，所以，则，
所以A，B，C成等差数列．
（2）由（1）可知：及，，
得，即，解得，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
由得，
所以，即，所以，
设的面积为，
则，
即，又，解得，
所以BD的长为.
【例10-3 】（24-25高三上·安徽·期末）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若对任意的，都有，且成等差数列，也成等差数列，证明：的周长为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由余弦定理得

因为，所以，即，所以，
所以，
因为，所以的取值范围是
（2）由题意知成等差数列，也成等差数列，
所以，
所以，
整理得．
又因为，即，
所以，即．
所以的周长是，为定值．
【例10-4】（24-25高三上·山东日照·期末）已知等差数列的公差，集合.
(1)若，，求集合；
(2)若，集合中恰好有两个元素，求；
(3)当时，是否存在使得集合中恰好有三个元素，如果存在，求出的值，并给出证明过程；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【解析】（1）令，因为，，则，
则，周期为.
又因为，，，
所以，由周期性可知，.
（2）因为，，，
因为恰好有两个元素，所以，或或，
因为，则，且，
若，则，可得；
若，则，即，
解得，则，
所以或.
①当时，，周期为，
所以，，，此时，符合题意；
②当时，，周期为，
所以，，，，此时，符合题意；
综上，或.
（3）不存在使得集合恰好有三个元素，证明如下：
因为，则有或，
因为为公差的等差数列，
故，所以，又，故、、.
①当时，因为、、、中至少有个值相等，
此时，不成立；
②当时，因为、、、至少有个值相等，
此时，必然有，
即，则，即且不是整数，故不符合条件；
③当时，因为、、、至少有个值相等，
此时，必然有或，
若，则，即且不是整数，
若则，即且不是整数，

故不符合条件；
综上，不存在使得集合恰好有三个元素.
考向十一 解三角形与导数综合
【例11-1】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知的最小正周期为．
(1)求的值以及函数的单调减区间；
(2)函数的导函数是，求函数的最小值，以及取最小值时自变量的取值．
【答案】(1)，
(2)最小值为，对应的取值为
【解析】（1）由题意得，，∴.
由得，，
∴函数的单调减区间为.
（2）由（1）得，，
∴，
∴函数的最小值为，
由得，，
综上得，函数的最小值为，对应的取值为.
【例11-2】（2025·浙江温州·模拟预测）已知函数．
(1)当时，判断的奇偶性；
(2)当为偶数时，方程有解，求的最小值；
(3)若存在，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)偶函数
(2)24
(3)
【解析】（1）当时，，
则，
故为偶函数，
（2）当n为偶数时，
由于，
则的周期为，且关于对称，
所以只需要讨论在上的值域，
由于，，
故恒成立，所以在单调递减，
，
所以，
其中时，，
时，，
故的最小值为24，
（3）当是偶数时，由（2）知，
故恒有，当时恒为1，
要使存在，使得关于的不等式恒成立，
所以只需要恒成立，
由于，
当时，恒成立，只需要，
当时，恒成立，只需要，
因此是偶数时，，
当是奇数时，设，则恒成立，
而，从而，
令，，
取
反之当时，
令，等式左边，
所以等式左边的最小值为
，综上可得
【例11-3】（2025·辽宁·二模）已知为锐角三角形的三个内角，角所对的边分别为.
(1)求证：；
(2)若，且，求实数的取值范围，使得对任意实数和任意角，恒有；
(3)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）因为
，
由，则，故，所以，
设，
则，
故在上单调递增，
故当时，，即.
由为锐角，则，所以有，
同理，，
所以，.
（2）由题意，且，
则根据余弦定理可得，
化简得，由正弦定理得，
得，由均为锐角，且，
则且，
解得，
则
，
令，则，，
不等式，
即不等式对任意，恒成立.
所以对任意恒成立，
则，
化简得，
则不等式对任意恒成立，
其否定为：存在，使不等式.
即存在，成立.
即关于的不等式在有解.
由可得，且；
，且，且当时，；
又，
则要使不等式在有解，
则，
故当，或时，不等式对任意恒成立.
综上所述，实数的取值范围为.
（3）在锐角中，，
由，则，
令，则，
故，
令，则，
则
，
当且仅当时等号成立.
令，
则，
令，
则，令，解得，
则当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
又，
故在有且仅有一个根，设为，且，
发现，故，
故，由，则，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
故，
所以有，
当且仅当，即时，取到最小值，且最小值为.
此时，
综上可得，的最小值为.
考向十二 新定义
【例12-1】（2025·江西·一模）设是定义在上的函数，若对于任意的，存在，均有，则称为“函数”．
(1)若函数，证明：不是“函数”．
(2)若函数，证明：是“函数”．
(3)对于区间，定义，已知，且为“函数”，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）假设是“函数”，则，
即在上恒成立．
因为，
所以假设不成立，即不是“函数”．
（2）令，，
则．
令，，则在上恒成立，即在上单调递减．
因为，，所以，，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减．
由，可得在上恒成立，
故是“函数”．
（3）由为“函数”，可得，
即．
令，，
则．
由，且，可得．
令，，
则在上恒成立，则在上单调递增．
由，可得，
则，即．
【例12-2】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数．
(1)求的对称轴方程及在上的单调递增区间；
(2)在锐角中，已知，求．
【答案】(1)对称轴为，单调递增区间为，
(2)
【解析】（1）
，设，
由，得，所以的对称轴为．
由，解得，
又，所以单调递增区间为，．
（2）由（1）知，，则，
由，得，则，解得，
因为中，，则为锐角，
所以，
因为，所以；
因为，故可得，
即，也即，故；设，则，
在和中，由正弦定理得，
，上面两个等式相除可得，
得，即，
所以．
【例12-3】（24-25高三上·河北沧州·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
(3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【解析】（1）根据题意知，向量的相伴函数为，
当时，，
又，则，所以，故.
（2）因为，
整理得到，故函数的相伴特征向量，
则与同向的单位向量为.
（3）由题意得，，
在中，，，因此，
设外接圆半径为，根据正弦定理，，故，
所以 ，
，
，
代入可得，
所以当时，取得最大值．
【例12-4】（2025·江西南昌·模拟预测）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离.
【答案】(1)，余弦距离为；
(2).
【解析】（1）由题设定义知：，
，则余弦距离为；
（2），又，则，
，则，
所以，结合，，
所以，可得或，
由，即，故，则，
，
，
所以，，则.
考向十三 一题多解
【例13-1】（24-25高三上·山西吕梁·期末）记的内角的对边分别为，已知为锐角．
(1)求证：；
(2)求；
(3)若，四边形内接于圆，求面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）因为，由正弦定理，
得，
所以．
（2）因为，所以，
即
所以，
由得，
所以，所以或，
因为为锐角，所以．
（3）法一：在中，
所以，
由，
得，
所以，（等号当时取得）．
所以面积为，
即所求最大值为．
法二：在四边形的外接圆内考虑，因为
则的外接圆直径为，
是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大，
此时最大距离为圆心到距离加半径2，
在直角三角形中可知，圆心到距离为，
所以高的最大值为，
所以面积的最大值为．
【例13-2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)判断的形状；
(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.
①当时，求线段长的最小值；
②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
参考公式：，.
【答案】(1)直角三角形或等腰三角形
(2)①；②成立，，
【解析】（1）在中，因为，且，
所以，
即，，
所以或者.
当时，所以，为直角三角形；
当时，所以，为等腰三角形.
综上所述，为直角三角形或等腰三角形.
（2）①因为，所以，又，，所以，.
如图，设，，
方法一：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因为，所以，
故当，即时，.
方法二：在中，由正弦定理，得，所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因为，所以，
故当，即时，.
方法三：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以.
所以
，
因为，所以，
故当，即时，.
②假设存在常数，，对于所有满足题意的，，
都有成立，
则存在常数，，对于所有满足题意的，，利用参考公式，有
.
由题意，是定值，所以，是定值，
对于所有满足题意的，成立，故有，
因为，从而，
即，，所以.
故，.
【例13-3】（24-25高三上·广东·期末）在中，角的对边分别为，且
(1)求；
(2)已知为的中点，于于，若求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）方法一：由以及正弦定理可得．
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
方法二：由余弦定理可得．
故有，所以．
因为，所以．
（2）由题，并结合（1）的结论易得．
因为，所以．
方法一：因为为的中点，故与的面积相等，均为面积的一半．
即，
所以．
所以，解得．
所以面积．
方法二：在直角三角形中，．同理，．
故有，即．
由正弦定理可知．
所以面积．
【例13-4】（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求边；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）法一：由可得，
故，由正弦定理可得：，故
法二：由可得
由余弦定理得：
化简得：，即，所以.
（2）法一：因，故，
所以
由正弦定理可得：，又因为，所以
所以面积为：
当即时取等.
所以面积的最大值为.
法二：
又.
则，当时取等.
法三：因，易知都为锐角，如图，作边上的高，
则有，因，故，即
当且仅当，即时取等.
法四：因，则，，
余弦定理可得，即
由余弦定理可得：，
则有，化简可得，即
所以
当时，，
所以面积的最大值为.
法五：同法四可得
如图过点作底边的高，
不妨设，，，则有，，
则，
整理可得，
所以，即，当且仅当时取等，则有，
所以面积的最大值为.

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