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专题一 数列（解答题11种考向）
考向一 等差数列和等比数列
【例1-1】（2025·河南·模拟预测）已知项数为的数列满足：且．
(1)若为等比数列，求的值；
(2)若是等差数列，求公差的值．
【例1-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
【例1-3】（2025·广东惠州·模拟预测）记为等差数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和，并比较与的大小.
【例1-4】（2024·湖北黄冈·一模）设为数列的前项和，满足．
(1)求证：；
(2)记，求．
考向二 数列中求通项、求和的方法
【例2-1】（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
【例2-2】（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和为；
(3)求数列的前项和.
【例2-3】（2021·天津和平·二模）已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求
【例2-4】（2024·广东）在数列中，已知，，记．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记______，数列的前n项和为，求．
在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考向三 数列与三角函数的综合
【例3-1】（2024海南）已知函数的最小正周期为6．
(1)已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，求的值；
(2)若，求数列的前2022项和．
【例3-2】（2025云南）已知函数，
(1)求的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若在区间上的根按从小到大的顺序依次记为求数列的通项公式及其前n项和．
【例3-3】（2024宁夏）已知的三个内角、、的对边分别为、、，内角、、成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
考向四 数列与统计概率综合
【例4-1】（24-25高三上·辽宁丹东·期末）某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始.
(1)当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望；
(2)求第n轮为甲练习的概率.
【例4-2】（2025·安徽·模拟预测）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
（提示：请结合数列的递推关系求解）
【例4-3】（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题：
(1)试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率.
(2)试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值.
【例4-4】（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式．
考向五 数列与导数综合
【例5-1】（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，.
(1)求，的值及数列的通项公式；
(2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.
【例5-2】（24-25高三上·山西吕梁·期末）如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；一直继续下去，得到数列．
(1)求证：；
(2)若函数，记．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【例5-3】（24-25高三上·浙江金华·期末）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列，数列满足，记数列的前项和为，
(1)求；
(2)求数列的前项和；
(3)记，若恒成立，求的值.
【例5-4】（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数，点均为曲线图象上的点，且，，.
(1)当时，证明：是等比数列；
(2)求的取值范围；
(3)证明：直线的斜率随的增大而增大.
考向六 数列与解析几何的综合
【例6-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项之和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若点列是曲线在第一象限上的点，点的横坐标为，点到原点的距离为，求数列的通项公式，并证明：.
【例6-2】（2025·浙江温州·模拟预测）已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)用表示点的坐标；
(3)求证：数列是等比数列．
【例6-3】（2025·福建·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的一个动点（不与坐标原点重合），．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为抛物线C在点处的切线，过点作的垂线交抛物线C于另一点，记的坐标为．
（ⅰ）证明：当时，；
（ⅱ）设的面积为，证明：．
【例6-4】（2025·陕西渭南·一模）已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为
(1)求的值：
(2)记．证明：数列为等比数列；
(3)记的面积为．证明：是定值．
考向七 插项数列
【例7-1】（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式;
(2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求
.
【例7-2】（2024陕西）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和．
【例7-3】（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设，求；
(3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求.
【例7-4】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和：
(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围.
考向八 数列中的存在性问题
【例8-1】（2024江西）已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
【例8-2】．（24-25高三下·全国·开学考试）记数列的前n项和为，已知，
(1)求的通项公式;
(2)是否存在m和k，使得是和的等差中项 若存在，求出m和k的值;若不存在，请说明理由.
【例8-3】（2024·广东·二模）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
(1)求，，，；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【例8-4】（2024·山东·模拟预测）已知数列，，的首项均为1，为，的等差中项，且．
(1)若数列为单调递增的等比数列，且，求的通项公式；
(2)若数列的前项和，数列的前项和为，是否存在正整数使对恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
考向九 数列与二项式定理的综合
【例9-1】（2023·江苏无锡·校联考三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.
【例9-2】（2024·江苏）已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求．
【例9-3】（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
考向十 数列中求参数
【例10-1】（24-25高三上·河北·期末）数列满足：，.
(1)求数列通项；
(2)恒成立，求m最小值.
【例10-2】（23-24吉林长春·阶段练习）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且．
(1)求证：为等差数列，并分别求，的通项公式；
(2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围．
【例10-3】（2024·广东韶关·一模）设数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列.
（i）若，求；
（ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由.
【例10-4】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：；
(3)求使得成立的最大整数．
考向十一 新定义数列
【例11-1】（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”．
(1)若等比数列为“A数列”，求的公比q；
(2)若数列为“A数列”，且，．
①求证：；
②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值．
【例11-2】（2024·安徽·模拟预测）若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小的值叫做临界值，记为.
(1)记数列前项和为，证明：数列是下界数列；
(2)记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由；
(3)若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：．
【例11-3】（2025·福建厦门·一模）若数列满足数列是等差数列，则称为“绝对等差数列”，的公差称为的“绝对公差”．
(1)若“绝对等差数列”的“绝对公差”为2，且，求的值；
(2)已知“绝对等差数列”满足，，且的“绝对公差”为1，记为的前n项和．
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在，使得．
【例11-4】（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若数列满足如下两个条件：①是1，2，3，，的一个全排列;②或，k为常数且则称数列为“数列”.
(1)请写出所有的“数列”;
(2)证明：k是奇数;
(3)当时，求k的最大值，并说明理由.专题一 数列（解答题11种考向）
考向一 等差数列和等比数列
【例1-1】（2025·河南·模拟预测）已知项数为的数列满足：且．
(1)若为等比数列，求的值；
(2)若是等差数列，求公差的值．
【答案】(1)或(2)或
【解析】（1）设等比数列的公比为，显然．
由，得，解得．
由，得，所以或．
（2）由，得，所以，即．
当时，，此时（舍去）；
当时，则且，
即解得；
当时，则且，即解得．
综上所述，公差的值为或．
【例1-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
因为，所以．
又因为，则，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，．
当时，，
；
当时，，
．
综上，.
【例1-3】（2025·广东惠州·模拟预测）记为等差数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和，并比较与的大小.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为为等差数列，设公差为，
因为，，所以，
解得，故.
（2）因为，
所以
，
则对，，
又，故.
【例1-4】（2024·湖北黄冈·一模）设为数列的前项和，满足．
(1)求证：；
(2)记，求．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为数列的前项和，满足，
当时，可得，
两式相减得，即，所以；
当时，，解得；
所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以的图象公式为．
（2）由（1）知，可得，
所以，
则
．
考向二 数列中求通项、求和的方法
【例2-1】（24-25高三下·湖南·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）①，
当时，②，
由①-②得，所以，
当时，，所以，满足，
所以.
（2）因为，
所以，
即③，
所以④，
由③-④可得，
即，
所以，
整理得.
【例2-2】（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和为；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【解析】（1）因为，，
若，则，与矛盾，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列.
（2）由（1）知，
数列的前项和为.
（3）因为，
设数列的前n项和为，
当n为偶数时，，
因为，
所以，
当为奇数时，为偶数.
，
所以.
【例2-3】（2021·天津和平·二模）已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求
【答案】(1)，；
(2).
【解析】（1）设数列的公比为，依题意，，
由是递减数列，解得，因此；
数列，，当时，，
而满足上式，因此，
所以的通项公式为， 的通项公式为.
（2）当n是奇数时，，则，，
两式相减得：，
因此；
当n是偶数时，，
则，
所以.
【例2-4】（2024·广东）在数列中，已知，，记．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记______，数列的前n项和为，求．
在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析.
【解析】（1）由，得，则，而，
因此，显然，
所以数列为以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）选择①：由（1）得，，
则
所以．
选择②：由（1）得，，
则，
所以.
选择③：由（1）得，，
则，
所以.
考向三 数列与三角函数的综合
【例3-1】（2024海南）已知函数的最小正周期为6．
(1)已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，求的值；
(2)若，求数列的前2022项和．
【答案】(1)2；(2).
【解析】(1)，
因为的最小正周期为6，故可得，，解得，故，
因为，，故可得，又，则，；
因为，故可得，又，则或，或，
因为，则，当时，，满足题意；当时，，不满足题意，舍去；
由正弦定理可得：.
(2)
根据（1）中所求可得：，
故
.
即数列的前2022项和.
【例3-2】（2025云南）已知函数，
(1)求的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若在区间上的根按从小到大的顺序依次记为求数列的通项公式及其前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由题意得，，
则，
，解得Z)，
即函数的单调增区间为Z，
(2)由，得，
有或Z，
解得或，Z，
得方程的根从小到大排列依次为
，
所以
则数列的通项公式为，
故数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，
奇数项是以为首项，1为公差的等差数列.
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
综上，
【例3-3】（2024宁夏）已知的三个内角、、的对边分别为、、，内角、、成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为内角、、成等差数列，，
所以，，
因为，所以，，
故数列是首项、公比均为的等比数列，.
（2），
，
，
则，
故数列的前项和.
考向四 数列与统计概率综合
【例4-1】（24-25高三上·辽宁丹东·期末）某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到丙练习的概率为，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为，抽到乙练习的概率为，直到这天练习结束，一共练习了n（，）轮，已知练习从甲开始.
(1)当时，求甲一共参与练习次数X的分布列与期望；
(2)求第n轮为甲练习的概率.
【答案】(1)分布列见解析，(2)
【解析】（1）根据题意得，X的可能取值分别为1，2，3，
则时，表示第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为丙，即，
时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为乙，或第1轮为甲，第2轮为乙，第3轮为甲，
即，
时，表示第1轮为甲，第2轮为甲，第3轮为甲，即，
所以X的分布列如下表
X 1 2 3
P
.
（2）设第n轮练习为甲，乙，丙的概率分别为，，，
由题意得 ， ①
， ②
由②得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
，则代入①中，
得，故第n轮为甲练习的概率为.
【例4-2】（2025·安徽·模拟预测）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
（提示：请结合数列的递推关系求解）
【答案】(1)分布列见答案，数学期望
(2)证明见答案，.
【解析】（1）由题意投掷1次骰子得分的概率为，投掷1次骰子得分的概率为，
由题意的可能取值为2，3，4，
，，，
故的分布列为：
2 3 4
数学期望.
（2）由题意知，
故，且，，，
故是以为首项，为公比的等比数列，
故，
∴当时，
，
当时，上式也成立，
综上：.
【例4-3】（2025·四川·二模）小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题：
(1)试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率.
(2)试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值.
【答案】(1)
(2)，
【难度】0.65
【解析】（1）设事件，，为分别为第次选择A，B，C套餐，，
如图得，
.
（2）由（1）知：
　①
则　②
②－①得到：
，
X 1 2 3 4 ．．． n
P ．．．
　　　③
则　④
③－④得：，
.
【例4-4】（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)
【解析】（1）的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分；
既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率．
随机变量 的可能取值为 2，3，4，
可得 ，
的分布列如下表所示：
2 3 4
数学期望为 ；
（2）由这 人的合计得分为 分，
则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，
则 ，
由两式相减， 可得
；
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人，
则这些人的合计得分可能为 分或 分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件，
，
，即
，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，.
考向五 数列与导数综合
【例5-1】（2024·浙江·一模）已知数列的首项是1，其前项和是，且，.
(1)求，的值及数列的通项公式；
(2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值.
【答案】(1)，，(2)4或5
【解析】（1）∵，∴
当时，，
即，
当时，也满足，
∴，
∴，.
（2）由（1）可知，
∴，∴
令，
，当时，，单调递增;
当时，,单调递减;
∵,
∴当或时，取得最大值70，
∴取得最大值时，取4或5.
【例5-2】（24-25高三上·山西吕梁·期末）如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；在横坐标为的点处作的切线，该切线与轴的交点为；一直继续下去，得到数列．
(1)求证：；
(2)若函数，记．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）不存在，理由见解析.
【解析】（1）证明：函数在点处的切线斜率为，
所以函数在点处的切线方程为，
因为切线过点，所以，
解得，
（2）（ⅰ）因为，所以，
，
，
则，
又，则是以2为首项，2为公比的等比数列，；
（ⅱ）由（ⅰ）知，
所以，
所以．
假设数列中存在3项，（其中成等差数列）成等比数列，
则互不相等，
所以，即，
又因为成等差数列，所以，所以．
化简得，所以，又，
所以与已知矛盾．
所以在数列中不存在3项成等比数列．
【例5-3】（24-25高三上·浙江金华·期末）已知数列是等比数列，满足，且，，成等差数列，数列满足，记数列的前项和为，
(1)求；
(2)求数列的前项和；
(3)记，若恒成立，求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）因为数列是等比数列，设首项是，公比是，
由，，
解得，
所以.
（2）由于①
则，②
由①②得，
当时，，满足上式，因此，
所以.
，接下去求的前项和，
记的前项和是.
①
②.
由①②得，
整理得：.
（3）由（2）可知，，则，
所以，要求的最大项，
可以设函数，
则.
令
则，
分析可得，，，使得
所以在单调递增，单调递减，
，，
，使得
当时，，
当时，，
时，
因此在单调递减，在，单调递增，在，单调递减.
只要比较，，的大小，，，.
所以第五项是最大项，.
【例5-4】（24-25高三上·河南周口·期末）已知函数，点均为曲线图象上的点，且，，.
(1)当时，证明：是等比数列；
(2)求的取值范围；
(3)证明：直线的斜率随的增大而增大.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析.
【解析】（1）由，得，又，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由，得，则，
因此数列与分别是以与为首项，6为公差的等差数列，
，由，，得，.
等价于对于任意成立，即，
即，即，解得，
由点均为图象上的点，且，得，
所以的取值范围是.
（3）直线的斜率.
任取，设函数，求导得
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，，函数在和上都单调递增，
而数列单调递增，取，而，则，
取，而，则，
所以，即直线的斜率随单调递增．
考向六 数列与解析几何的综合
【例6-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项之和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若点列是曲线在第一象限上的点，点的横坐标为，点到原点的距离为，求数列的通项公式，并证明：.
【答案】(1)(2)，证明见解析
【解析】（1）由，
当，解得，（舍去）；
当，，
化简，
由于，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2）由题意，则，，
由，所以，
，
而，
所以．
【例6-2】（2025·浙江温州·模拟预测）已知双曲线过点，其渐近线的方程为．按照如下方式依次构造点；过右支上点作斜率为1的直线与C的左支交于点，过再作斜率为的直线与C的右支交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)用表示点的坐标；
(3)求证：数列是等比数列．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以双曲线C的方程为：
（2）过作斜率为的直线方程为，
联立其与双曲线方程可得，
设,
由于在抛物线上，所以
则，
所以，
故
（3）设，
由于在双曲线上，所以，
则，化简可得，，故，
所以，
,
所以，
故是等比数列.
【例6-3】（2025·福建·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的一个动点（不与坐标原点重合），．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为抛物线C在点处的切线，过点作的垂线交抛物线C于另一点，记的坐标为．
（ⅰ）证明：当时，；
（ⅱ）设的面积为，证明：．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析 （ⅱ）证明见解析
【解析】（1）抛物线C的准线方程为，所以，
所以，解得，所以C的方程为；
（2）（ⅰ）设，因为，
所以点处的切线斜率为，所以直线斜率为，
所以直线，
与联立可得，，
可得，即的横坐标为，
所以，
当时，有，
又由，故，所以；
（ⅱ）易知直线，
F到直线的距离为，
，
所以，
因为，
由（1）知，即，所以当时，，
所以当时，，
所以，
当时，，
当时，．
所以．
【例6-4】（2025·陕西渭南·一模）已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为
(1)求的值：
(2)记．证明：数列为等比数列；
(3)记的面积为．证明：是定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由题知双曲线．点在上，
故，所以双曲线．
又过点斜率为的直线方程为．
由双曲线与直线的对称性可知．
所以．即.
（2）因为，所以．因为
所以．
于是．①．
由于，
所以．且．
两式作差可得．②
把①代入②可得．③
由③-①得．
即
因为．所以
又．所以
故数列是首项为．公比为的等比数列．
（3）由（2）知．又，所以．
则．
因为，
且，
所以
，
即是定值.
考向七 插项数列
【例7-1】（24-25高三上·浙江杭州·期末）已知等比数列的前n项和为，
(1)求数列的通项公式;
(2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由，得，
两式相减得，
即，，
得等比数列的公比，
又当时，，所以，所以
（2）数列为：3，，，1，1，，，，，
以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数，
当时共有项数，
当时共有项数，
所以
.
【例7-2】（2024陕西）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)在和之间插入n个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）因为①，
当时，②，
①②，得．
所以，当时，满足上式，
所以的通项公式为．
（2）由题，知，得，
则③，
④，
③④得 ，
所以．
【例7-3】（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设，求；
(3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)2170.
【解析】（1）在等差数列中，，而，解得，
公差，则；
设等比数列的公比为，，由，得，
即，解得，，
所以数列和的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，当为奇数时，，
则；
当为偶数时，，，
，
则，
两式相减得
，因此，
所以.
（3）依题意，数列：
项为前的总项数为，
数列是递增的，当时，，
当时，，
因此数列的前项中，有数列的前项，有个，
所以.
【例7-4】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和：
(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解析】（1）由题可知数列是公差为的等差数列，
且，则，解得，
所以，
设等比数列的公比为，且，，
则，解得，
所以，
所以和的通项公式为，．
（2）由（1）得为，，
所以，
当为奇数时，则，
因为当为偶数时，
设①，
则②，
①—②：
，
所以，
所以求数列的前项和为
，
故；
（3）由题意可得，
由，得，
所以对恒成立，
令，则
当时，，当时，，当时，，
所以最大，所以．
考向八 数列中的存在性问题
【例8-1】（2024江西）已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，证明见解析
【解析】（1）由已知，所以，相除得；
又，所以，所以.
（2）假设存在正数，使得数列是等比数列，由得，由，得，
因为是等比数列，，即，
下面证明时数列是等比数列，
由（1）知数列和都是公比是的等比数列，
所以，；
所以为奇数时，，为偶数时，，
所以对一切正整数，都有，所以，所以存在正数使得数列是等比数列.
【例8-2】．（24-25高三下·全国·开学考试）记数列的前n项和为，已知，
(1)求的通项公式;
(2)是否存在m和k，使得是和的等差中项 若存在，求出m和k的值;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在且或
【解析】（1）因为，①，
所以，②，
①-②，得，
化简，得
由，，得，仍适合，
所以数列是公差为d的等差数列，
所以
（2）假设是和的等差中项，
则，即，
化简得，
当时，，则，显然不成立;
当时，由，解得
当时，，则是和的等差中项；
当时，，则是和的等差中项；
当时，，则，不适合题意.
综上，存在且或，使得是和的等差中项.
【例8-3】（2024·广东·二模）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
(1)求，，，；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)3；5；9；13
(2)
(3)存在，
【解析】（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4.
则，，，.
（2）由题意，.
当，时，
，
且满足上式，所以当为奇数时，.
当时，.
所以
（3）存在时，使得，，，成等比数列
证明如下：
由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，所以当时，，，，成等比数列.
【例8-4】（2024·山东·模拟预测）已知数列，，的首项均为1，为，的等差中项，且．
(1)若数列为单调递增的等比数列，且，求的通项公式；
(2)若数列的前项和，数列的前项和为，是否存在正整数使对恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，正整数的最大值为2024
【解析】（1）若数列为单调递增的等比数列，设其公比为，且，
因为，则，解得或（舍去），
所以.
因为，即，
可得，且，
可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，则，
因为为，的等差中项，则，
即，且，
当时，则，
累加可得，
则，
且符合上式，所以.
（2）若数列的前项和，
当时，则；
当时，则；
且符合上式，所以.
因为，即，
可得，且
可知数列为常数列，
则，所以，
可知数列为递增数列，则的最小项为，
若存在正整数使对恒成立，则，即，
所以正整数的最大值为2024.
考向九 数列与二项式定理的综合
【例9-1】（2023·江苏无锡·校联考三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）因为，，
所以是首项为1，公差为的等差数列，
所以，
即①，
所以②，
由②－①可得，
即，
所以.
（2）由（1）可得，
则，
所以，
所以
所以除以3的余数为2.
【例9-2】（2024·江苏）已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，则，且；
当时，，，两式相减得，
∴（），
∴当时，，即，
则，∴．
综上，对任意都成立．
（2），集合的非空子集有个，
其中最小元素为1的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有个，
含3个元素的集合有个，……，含个元素的集合有个，
所以最小元素为1的子集个数为个，
同理，最小元素为2的子集个数为个，
……，最小元素为的子集个数为1个，
∴，
，
∴，则．
【例9-3】（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
②-①得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
因为等差数列满足.所以.
设公差为，则，解得.
所以.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；
（2）若选①，则有.
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以；
若选②，则有，
因为
所以当时，对应的，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时为整数，满足题意；
当时，对应的，
由二项展开式可知
所以除以3 的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意；
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
考向十 数列中求参数
【例10-1】（24-25高三上·河北·期末）数列满足：，.
(1)求数列通项；
(2)恒成立，求m最小值.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）由，
，
两式相减得：，
时，符合等式，
故，，
两式相除得：
故n为奇数时，
n为偶数时，
综上，对任意，.
（2）由
故，最小值为.
【例10-2】（23-24吉林长春·阶段练习）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且．
(1)求证：为等差数列，并分别求，的通项公式；
(2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【解析】（1）由题意知，且当时，，
所以由得，
所以，由得，即，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，即，所以；
当时，，
当时，也符合上式，所以．
（2）由（1）得，
所以
，
所以
，
所以数列是单调递增数列，所以，
因为不等式对任意正整数恒成立，
所以，即，又，
所以解得，所以的取值范围为.
【例10-3】（2024·广东韶关·一模）设数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列.
（i）若，求；
（ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在，和
【解析】（1）当时，得；
当时，，
两式相减得，
所以是以1为首项，为公比的等比数列.
所以.
（2）①
设，
所以，
上面两式相减得，
所以
所以，
所以.
②
因为都是递减数列；
所以；
则，
令，即恒成立，
所以数列单调递增，
当时，；
则
所以；
当时，；
则，
所以，，成立，解得，存在；
当时，；
当时，；不满足题意，故不存在：
综上所述，当正整数对取和时，成立.
【例10-4】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．
(1)求数列和的通项公式；
(2)证明：；
(3)求使得成立的最大整数．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)6
【解析】（1）因为，
所以当时，，
作差得，
两边同时除以得，
又，所以，得，
所以，故对，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，则．
设等比数列的公比为，
因为，所以由，或
又因以数列是递增数列，所以．
（2）因为，
所以
．
（3）由（1）知，即，令，则，
，
所以当时，，当时，，当时，，
即有，，
又，
故当时，，所以，，
又，
所以，当时，，故使得成立的最大整数为6．
考向十一 新定义数列
【例11-1】（2025·陕西咸阳·一模）若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”．
(1)若等比数列为“A数列”，求的公比q；
(2)若数列为“A数列”，且，．
①求证：；
②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②1
【解析】（1）因为等比数列为“A数列”，则，
即，可得，
若上述方程对任意恒成立，则，且为定值，
所以的公比.
（2）由题意可知：，且，
则数列是以首项为，公差为1的等差数列，
可得，即.
①因为，
若，则；
若，则；
若，则，
可得；
综上所述：；
②因为，且是正项数列，则，即，
可得，
若对任意恒成立，即，
令，可得，可得，
且，则，
若，可得，
又因为，
可得，
所以符合题意；
若对任意恒成立，即，
令，可得，可得，
若，可得，
又因为，
可得，，
可得，所以符合题意；
综上所述：的最小值1.
【例11-2】（2024·安徽·模拟预测）若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小的值叫做临界值，记为.
(1)记数列前项和为，证明：数列是下界数列；
(2)记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由；
(3)若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)数列不是下界数列，理由见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由题意知，，
故数列是下界数列.
（2）由，知，
．
因为，
所以，
故数列不是下界数列．
（3）由题意知，，
，
因为，
所以，所以．
，当时，，
当时，
，
所以．
【例11-3】（2025·福建厦门·一模）若数列满足数列是等差数列，则称为“绝对等差数列”，的公差称为的“绝对公差”．
(1)若“绝对等差数列”的“绝对公差”为2，且，求的值；
(2)已知“绝对等差数列”满足，，且的“绝对公差”为1，记为的前n项和．
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）证明：对任意给定的正整数m，总存在，使得．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）设，则，
因为，
若与均为负数，则，解得，不合题意；
若与一正一负，则或-2，不合题意；
所以，，
所以，解得，故．
（2）（ⅰ）由题
则
，
又因为．
则，所以．
（ⅱ）依题意，，记，其中，
①若m为奇数，
令，由（ⅰ）可知，，
因为，
所以，符合题意；
所以对任意给定的奇数m，存在满足的使得；
②若m为偶数，
因为，
，
……
，，
累加得
由（ⅰ）知，令'可得，．
若，则，符合题意，故下面只讨论的情况．
当k为大于1的奇数时，，，设此时的，
即，，
构造新数列，其中，，其余各项均不变
即，
记调整为后该数列的前m项和为，
则
，结合及（ⅰ）可得
令，解得，
则对任意给定的偶数m，当，或时，
存在一个对应的满足，其中为不超过x的最大整数，，
综上所述，对任意给定的正整数m，总存在一个满足
【例11-4】（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若数列满足如下两个条件：①是1，2，3，，的一个全排列;②或，k为常数且则称数列为“数列”.
(1)请写出所有的“数列”;
(2)证明：k是奇数;
(3)当时，求k的最大值，并说明理由.
【答案】(1)①，2，3，②，4，3，③，1，4，④，3，4，⑤，2，1，⑥，4，1，⑦，1，2，⑧，3，2，1；
(2)证明见解析
(3)，理由见解析
【解析】（1）①，2，3，②，4，3，③，1，4，④，3，4，⑤，2，1，⑥，4，1，⑦，1，2，⑧，3，2，1；
（2）由条件得或，
设的有个，的有个，的有个，的有个.
则即，
若k为偶数，则为偶数，
①当为奇数，则中的每一项均为奇数，不合题意;
②当为偶数，则中的每一项均为偶数，不合题意，
所以k不能为偶数，即k为奇数.
（3）的最大值为
首先我们可以写出一个满足要求的数列：
当时，，则
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
当时，，则
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
且
下面用反证法证明没有比1011更大的k的值.
由知， k为奇数，假设，现在考虑1013这个数，
因为对于任意一个小于等于2024的正整数i，，
即数列中的任意一项不能与1013相邻，但1013是数列中的一项，矛盾.
所以，所以k的最大值为

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