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专题三 空间几何（解答题10种考向）
考向一 平行
【例1-1】（2025·贵州六盘水·一模）在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且．
(1)求证：平面；
(2)求四棱台的高；
(3)求异面直线与所成的角的余弦值．
【例1-2】（24-25新疆乌鲁木齐）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点．
(1)求证：平面．
(2)求点到平面的距离．
【例1-3】（2025·四川·模拟预测）如图，在三棱台中，，，点，分别为，的中点，平面，．
(1)若平面平面，求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【例1-4】（24-25高三下·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点.
(1)证明：平面
(2)若，，求二面角的正弦值.
【例1-5】（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且．
(1)证明：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
【例1-6】（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）在五面体中，平面，平面．
(1)求证：；
(2)若，，，求二面角的大小．
【例1-7】（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．
(1)求证：平面．
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
考向二 垂直
【例2-1】（24-25 河南漯河·期末）如图，在三棱锥中，，，，为中点，点Q满足．
(1)证明：面；
(2)求二面角的大小．
【例2-2】（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面，，平面平面，，四棱锥的体积为4.
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【例2-3】（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.

(1)证明：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【例2-4 】（2025·广东惠州·三模）如图，正三棱柱的所有棱长都为为中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与面所成角的余弦值.
【例2-5】（2025·广东汕头·一模）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
考向三 空间距离
【例3-1】（24-25高三下·天津·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【例3-2】（24-25高三上·天津·期末）如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【例3-3】（24-25高三下·天津·阶段练习）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，.
(1)求证: 平面;
(2)求平面与平所成夹角的余弦值；
(3)求点 A 到平面的距离.
考向四 动点问题
【例4-1】（24-25 广东茂名·期末）如图所示，在五面体中，已知平面平面，底面是平行四边形，是正三角形，.
(1)证明：平面；
(2)证明：四边形为矩形；
(3)若点是棱上的动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【例4-2】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点．
(1)若，证明：平面；
(2)在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由．
【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）如图1所示，在平行四边形EBCD中，，垂足为，，将沿折到的位置，使得二面角的大小为，如图2所示，点为棱的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)证明：；
(3)若点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
考向五 折叠问题
【例5-1】（2025·新疆·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，点为中点，点分别为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面.

(1)求证：平面；
(2)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由.
【例5-2】（2025·云南昆明·模拟预测）如图1，在△ABC中，将沿EF折起，使点A到达点位置，连接，得到四棱锥.如图2.
(1)若平面平面，在线段上是否存在一点P，使得，如果存在，指出点P的位置；如果不存在，说明理由；
(2)如图3，若平面平面，且点N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【例5-3】（24-25高三下·江西·开学考试）如图，在直角梯形中，.以为折痕将折起，使到达的位置且.
(1)试在线段上确定一点，使平面，并说明理由；
(2)求二面角的正切值.
【例5-4】（2025·海南·模拟预测）如图（1），正方形的边长为，是的中点，点在边上且.将沿折起到图（2）中的位置，使得平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)如图（2），点在线段上，过点、的平面截四棱锥所得的截面是一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由）
考向六 最值问题
【例6-1】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，.
(1)若，证明：；
(2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围.
【例6-2】（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.
(1)求证：；
(2)求证：平面平面；
(3)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【例6-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，且，.
(1)求证：；
(2)若二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【例6-4】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
(1)设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
(2)求二面角的余弦值的最小值.
考向七 外接球
【例7-1】（24-25高三上·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，.
(1)证明：三棱柱是正三棱柱；
(2)证明：；
(3)设平面平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积.
【例7-2】（2024湖北）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求三棱锥的外接球表面积.
【例7-3】（2023·全国·模拟预测）如图，球O是正三棱锥和的外接球，M为的外心，直线AM与线段BC交于点D，D为BC的中点，两三棱锥的高之比为，E为PA上一点，且．
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
【例7-4】（2024云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点，
（1）求证：，，，四点在同一球面上，并说明球心及半径；
（2）画出平面与平面的交线（不需要写画法）．
（3）设平面与平面的交线为，直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成的锐二面角的大小．
考向八 轨迹（长度）
【例8-1】（24-25 上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线和夹角的大小；
(3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积.
【例8-2】（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面．
(1)求点的轨迹长度；
(2)当点到面的距离为时，求二面角的余弦值．
【例8-3】（2024·全国·模拟预测）如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点．
(1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）；
(2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值．
【例8-4】（2024·安徽芜湖·二模）在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于．
(1)当时，求点的轨迹长度；
(2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．
【例8-5】（24-25上海·阶段练习）已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置.
(1)证明： ；
(2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离；
(3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围
【例8-6】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点.
(1)求直线到平面的距离；
(2)在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
(3)在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状.
【例8-7】（24-25 福建福州·期中）如图，四边形与均为菱形，，，.

(1)求证：平面；
(2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值；
(3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度.
考向九 四点共面
【例9-1】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在多面体中，的中点为.
(1)求证：四点共面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【例9-2】（24-25广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值；
(3)点在上，且.判断，，，四点是否共面，说明理由.
【例9-3】（2024河北邯郸·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，分别为棱的中点，.

(1)证明：四点共面；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
【例9-4】（2025山东威海）如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且．
(1)求证：面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【例9-5】（2023·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥中，面ABCD，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．
(1)求证：面PAD；
(2)求二面角的正弦值；
(3)设点G在PB上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面．
考向十 新定义
【例10-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），且面积的最大值为2．将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图1，2所示．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求折叠后，平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)求折叠后面积的最大值．
【例10-2】（2024高三·全国·专题练习）空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”．
(1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标；
(2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【例10-3】（2025·山东日照·一模）已知在四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．
(1)证明：平面；
(2)若两两垂直，则称四面体为“斜垂四面体”．
①在斜垂四面体中，若，求直线与平面所成角的正弦值；
②在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程．
【例10-4】（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，球的半径为1．对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面，唯一的公共点叫切点，球心和切点的连线垂直于切平面，类似于二元一次方程表示平面内的直线，三元一次方程可以表示空间的平面．例如：方程表示经过三点的平面．方程表示坐标平面．
(1)求球在点处的切平面方程，并求该平面与坐标平面的交线在平面内的直线方程；
(2)过球面上任意一点作切平面，若平面分别与x，y，z的正半轴相交于三点，求面积的最小值；
(3)过球外一个定点作球的切平面有无数个，全体切点所确定的平面记为面．设是球外两个定点，证明：若面，则面．专题三 空间几何（解答题10种考向）
考向一 平行
【例1-1】（2025·贵州六盘水·一模）在四棱台中，底面为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底面，与BC的距离为，点分别在棱，上，且．
(1)求证：平面；
(2)求四棱台的高；
(3)求异面直线与所成的角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)2(3)
【解析】（1）取的中点，连接，
则是梯形的中位线，
所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形AEFG是平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）分别取的中点，如图所示：
因为侧面为等腰梯形，所以，
因为侧面底面，侧面底面，所以底面，
因为，所以，平面，
所以平面，平面，
所以，即，
且，所以为与BC的距离，
所以，解得．
所以四棱台的高为2．
（3）以OA，OB，所在直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，
则；
所以
所以；
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
【例1-2】（24-25新疆乌鲁木齐）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点．
(1)求证：平面．
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由底面，，
则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
可得,；
则，，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，即，
因为，可得，且平面，
所以平面
（2）因为，
平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
【例1-3】（2025·四川·模拟预测）如图，在三棱台中，，，点，分别为，的中点，平面，．
(1)若平面平面，求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为为棱台，所以，
因为分别为的中点，所以，所以，
因为平面，平面，所以∥平面，
因为平面平面，平面，所以.
（2）
如图，以为原点，分别以为轴，过点垂直平面向上的方向为轴建系，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【例1-4】（24-25高三下·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点.
(1)证明：平面
(2)若，，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】线面角的向量求法、线面平行的性质
【分析】（1）根据棱台的性质得到，然后利用线面平行的判定定理和性质定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求线面角.
【详解】（1）证明：连接，因为，D为的中点，所以；
又因为平面，平面，所以；
又因为，平面，，所以平面，
又平面，所以；
因为，且，均在平面内，所以；
因为平面，平面，所以平面；
（2）如图，过点H作于点Q，连接，
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，所以为二面角的平面角，
因为，，所以，，
所以，所以，
所以二面角的正弦值为
【例1-5】（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且．
(1)证明：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)．
【解析】（1）连接交于，连接，∵，∴．
又∵，∴，∵平面，平面，∴平面．
（2）取中点，连接，∵，∴，，
又∵，，∴四边形为矩形，．
∵，∴．
∵，且平面，平面，
∴平面，以为原点建系如上图，
，，，，，
∴，，，
设为平面的法向量，
令，则，，∴，
∴，
∴与平面所成角的正弦值为．
【例1-6】（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）在五面体中，平面，平面．
(1)求证：；
(2)若，，，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见详解；
(2)二面角的大小为.
【解析】（1）证明：平面，平面ADE，
，
又平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
，又，
.
（2）因为平面，所以，
又，所以，
如图，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，
又，所以，
又，，所以，
解得.
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
同理，设平面的一个法向量为，则，
令，则，
设二面角为，根据几何体，可判断为钝角，
则，
所以二面角的大小为.
【例1-7】（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图所示，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．
(1)求证：平面．
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】（1）方法一：如图，取中点，因是中点，
且，
取的四等分点，使，
又，则，且
，
四边形为平行四边形，
,又平面，且平面，
平面.
方法二：
如图，连接并延长交于，连接，
在中，过点作 ，交于点，
因为是的中点，则，
又是的中点，则，得
在中，因，故，
又平面 平面，
平面.
（2）
由，知.
以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，
分别以所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系.
又，得，，
则，，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
考向二 垂直
【例2-1】（24-25 河南漯河·期末）如图，在三棱锥中，，，，为中点，点Q满足．
(1)证明：面；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)45°
【解析】（1）连接，因为，，
所以是正三角形，故，
同理可得，所以，
因为为的中点，所以，
由三线合一性质得，
因为，所以，
因为，所以由直角三角形中线性质得，
结合，由勾股定理得，
所以，
故，因为，面，
所以面．
（2）由（1）得，，，
以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
设，故，，
因为，所以，，，
解得，，，故，
而是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则，即，取，解得，，
故，设二面角为，
故，
由题意得二面角为锐角，则，
故二面角的大小为．
【例2-2】（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面，，平面平面，，四棱锥的体积为4.
(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）设，在平面内过点作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2）在中，由，，可得，，
由（1）知，则，
解得，
因为平面，平面，所以，，
以为轴建立如图所示空间直角坐标系，
所以，，，，，
设平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
又，
则，取，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【例2-3】（24-25高三上·广东深圳·期末）如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.

(1)证明：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）取中点，连接
平面平面，平面平面平面
平面
平面

，即
又平面平面
平面
（2）连接，设，连接
平面平面，平面平面
，易知
取中点，连接，则两两互相垂直.
分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系

则
，
，
设平面的一个法向量
则即令，则
设直线与平面所成角为，则
即直线与平面所成角的.正弦值为
【例2-4 】（2025·广东惠州·三模）如图，正三棱柱的所有棱长都为为中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）取中点，连结，为正三角形，则，
正三棱柱中，平面平面，
平面，平面平面，
平面，
以为原点，的方向为轴的建立空间直角坐标系，
则
，
，且都在面内，
平面
（2）设平面的法向量为，且
，令，得，
由（1）知面，则为平面的法向量，
设面与面所成角所为，
.
【例2-5】（2025·广东汕头·一模）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，平面，二面角与二面角的大小相等．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为平面，平面，所以，
又正方形中，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）由（1）平面，平面，所以，，
从而为二面角的平面角，
因为，所以平面，
同理可得为二面角的平面角，
依题意，即，
以点D为原点，分别以直线、为x、y轴，过点D作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，所以，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
又为平面的一个法向量，
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
考向三 空间距离
【例3-1】（24-25高三下·天津·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）连接交于，连接，
由底面为矩形，则为的中点，
又为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面;
（2）根据题意，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
由 ，
则 ，
则，，，
故平面的一个法向量为，
设为平面的法向量，则，即，
令，则，故，
所以，
根据题意，可得平面与平面夹角为锐角，
故平面与平面夹角的余弦值为；
（3）由（2）可知为平面的法向量，，
所以，
所以点到平面的距离为.
【例3-2】（24-25高三上·天津·期末）如图，四棱锥中，平面平面ABCD是以为斜边的等腰直角三角形，底面为直角梯形其中是的中点，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：由于是以AD为斜边的等腰直角三角形，
O是AD的中点，故
由于平面平面ABCD，平面平面平面PAD，
故平面ABCD；
（2）连结OB，由于O是AD的中点，且故
由于故四边形OBCD为矩形，
所以故有OB、OD、OP两两垂直，
以O为坐标原点，OB、OD、OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直坐标系Oxyz，
则,
设平面PAB的法向量为
则
令则
故平面PAB的一个法向量为
设平面PBC的法向量为
则
令则
故平面PBC的一个法向量为
设平面PAB与平面PBC的夹角为
故平面PAB与平面PBC的夹角余弦值为；
（3）由（2）知，平面PAB的一个法向量为
所以点E到平面PAB的距离为
【例3-3】（24-25高三下·天津·阶段练习）在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，.
(1)求证: 平面;
(2)求平面与平所成夹角的余弦值；
(3)求点 A 到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）取的中点，连接，由是的中点，得，而，则．
又，于是四边形是平行四边形，，
在中，，，有，由平面，
平面，得，而平面，因此平面，
所以平面.
（2）由（1）知平面，而，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
于是，，，，，，，
设是平面的一个法向量，则，令，得，
显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
（3）由（2）知道平面的一个法向量为，且，
则点 A 到平面EBD的距离.
考向四 动点问题
【例4-1】（24-25 广东茂名·期末）如图所示，在五面体中，已知平面平面，底面是平行四边形，是正三角形，.
(1)证明：平面；
(2)证明：四边形为矩形；
(3)若点是棱上的动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【解析】（1）底面是平行四边形，
，又平面平面，
平面，又平面，且平面平面，
，又平面平面，
平面；
（2）如图，取中点，连接，又是正三角形，
，又平面平面，平面平面，
平面，又平面，
，又，且，平面，
平面，又平面，
，又四边形为平行四边形，
四边形为矩形；
（3）根据题意（2）可以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过且平行的直线为轴，建系如图：
则，设
设平面的法向量为，
则，取，
直线与平面所成角的正弦值为：
解得，
【例4-2】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点M是线段的中点，N为线段CD上一点．
(1)若，证明：平面；
(2)在线段CD上是否存在点N，使平面与平面MNB夹角的余弦值为？若存在，指出点N的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点N为CD的中点
【解析】（1）取线段的中点P，连接PM，PD，
因为MP为梯形的中位线，所以，
又因为，所以，
因为，，且，所以，，
所以四边形MNDP为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面．
（2）在平面中，作于O，
因为平面平面ABCD，且平面平面，
所以平面ABCD，
在正方形ABCD中，过O作AD的平行线交CD于点Q，则，
分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为四边形为等腰梯形，，，所以，
又因为，所以，
则，，，，，设，，所以，
设平面的法向量为，
所以，则，
令，所以，
又因为M为的中点，
所以，所以，，
设平面BMN的法向量为，
所以，则，
令，所以，
又因为平面与平面MNB夹角的余弦值为，
所以，整理得，
所以，解得或，
又因为，所以，
所以存在，点N为CD的中点．
【例4-3】（2025·广东广州·模拟预测）如图1所示，在平行四边形EBCD中，，垂足为，，将沿折到的位置，使得二面角的大小为，如图2所示，点为棱的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)证明：；
(3)若点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）由题意可知，图2中，，，平面，
所以平面.
又面，所以平面平面.
（2）解法一：由平面几何知识可知，在图2中取AD中点O，连接MO，PO，

因为M为AB中点，所以，，
因为，，所以为二面角的平面角，
所以，则为等边三角形，所以.
又平面平面ABCD，交线为AD，所以平面ABCD，所以.
又，且平面PMO，所以平面PMO.
又平面PMO，所以.
解法二：因为，，所以为二面角的平面角，所以，
以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴，平行于PO的直线为z轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
则，，
所以，
所以.
（3）以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴，平行于PO的直线为z轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
设，面AMN的法向量为，，
，
则，取，则.
又，所以
因为直线PC与平面AMN所成角的正弦值为，所以
解得，，，
当时，直线PC与平面AMN所成角的正弦值为.
考向五 折叠问题
【例5-1】（2025·新疆·模拟预测）如图，在等腰梯形中，，点为中点，点分别为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面.

(1)求证：平面；
(2)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求平面与平面夹角的余弦值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1），且，
故四边形是平行四边形，，
又四边形为等腰梯形，，
，可得是等边三角形，
故四边形为菱形，是等边三角形，
为中点，，同理，
又平面，
平面.

（2）存在点，使得平面;
设平面与平面夹角为.
平面平面，平面平面平面，
平面，又，建立以为原点，所在的直线为轴的空间直角坐标系，如图所示，
，
则，
设，则，
设平面的一个法向量，则，即，
令，则，
要使平面，则，
即，解得，故在侧棱上存在点，使得平面，
此时，，
设平面的一个法向量，则，即，
令，则，即，
易得平面的一个法向量，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
【例5-2】（2025·云南昆明·模拟预测）如图1，在△ABC中，将沿EF折起，使点A到达点位置，连接，得到四棱锥.如图2.
(1)若平面平面，在线段上是否存在一点P，使得，如果存在，指出点P的位置；如果不存在，说明理由；
(2)如图3，若平面平面，且点N为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)存在，点是线段上靠近点的三等分点；
(2).
【难度】0.65
【解析】（1）在线段上存在一点P，使得，
在线段上取点P，使，在线段上取点Q，使，连接，
则，，且，而，
于是，四边形是平行四边形，，
而平面，平面，则平面，又平面，平面平面，
所以，此时点是线段上靠近点的三等分点.
（2）取的中点，连接，依题意，，则，
平面平面，平面平面，平面，
则平面，在平面内过作，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
显然垂直平分线段，而，直线与的距离为，
，
，
设平面的法向量，则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【例5-3】（24-25高三下·江西·开学考试）如图，在直角梯形中，.以为折痕将折起，使到达的位置且.
(1)试在线段上确定一点，使平面，并说明理由；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)是线段的中点时，平面，理由见解析
(2)
【解析】（1）当是线段的中点时，平面，理由如下：
取为线段的中点，连接，
所以，，又，所以，
又，所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）在直角梯形中，取的中点，易得是矩形，且，
所以，所以是等边三角形，
取中点，连接，
可得，所以是等边三角形.又为等边三角形.
所以，又易得，又，
所以，所以，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，又显然二面角为锐二面角，
所以，
所以，所以.
所以二面角的正切值为.
【例5-4】（2025·海南·模拟预测）如图（1），正方形的边长为，是的中点，点在边上且.将沿折起到图（2）中的位置，使得平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)如图（2），点在线段上，过点、的平面截四棱锥所得的截面是一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由）
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)作图见解析
【解析】（1）因为，平面平面，且平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为，即，
因为，、平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为，
因为平面平面平面，且平面平面，平面，，
所以，平面，
因为，即，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
因为，则，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、.
在中，，，所以，
因为，由勾股定理可得，
所以，，，则，所以，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，可得.
由（1）知平面，故平面的一个法向量为.
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为
（3）所得的截面为直角三角形，如图所示：
作法：在平面内作，交或于点，连接，
因为平面，，则平面，
因为平面，所以，.
考向六 最值问题
【例6-1】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，点M，N分别在线段，上，且，.
(1)若，证明：；
(2)若，点P，Q分别在直线，上，且，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接，，当，则是的中点，是的中点，
所以，
因为面，面，所以，
所以.

（2）以点为原点，，，方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则
，，，，，
，，所以，，
所以，，所以，
又，设直线的方向向量为，
则由得，
取，又，
所以
由得，
易知在单调递减，单调递增
所以，所以.
【例6-2】（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.
(1)求证：；
(2)求证：平面平面；
(3)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【解析】（1），，所以
又，，
又，，，.
（2）在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，
，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，.
，，，
设为平面的一个法向量，
令，得，.
设平面的一个法向量，则，取.
，又平面与平面不重合，
平面平面.
（3）当时，为平面的一个法向量，，
则，
设，
，，
设直线与平面所成角为，
，
当且仅当时，等号成立，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
【例6-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，且，.
(1)求证：；
(2)若二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）
如图，取的中点F，延长交于G点，是边长为2的等边三角形，则.
在中，已知，且满足.
根据勾股定理的逆定理，. 则G为中点.
又为的中点，则.，则.
又平面，，则平面，
平面，所以.
（2）由（1）可知⊥平面，
又因为平面，所以平面平面.
以为坐标原点建立空间直角坐标系，
为的中点，且，可设点，
已知，.
设平面的法向量为，由，不妨令，
则平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为.
根据向量夹角公式，
又因为，则，解得.
因为为的中点，所以点到平面的距离为.
在中，满足，
所以的面积为.
根据三棱锥体积公式，三棱锥的体积.
（3）因，则直线与平面所成角即为直线与平面所成角.
设该角为.
已知，则.
根据线面角的正弦值公式.
.
因为，故，
根据均值不等式则
（当且仅当时，等号成立），所以的最大值为，
即直线与平面所成角正弦值的最大值为.
【例6-4】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
(1)设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
(2)求二面角的余弦值的最小值.
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）球O的半径为；
(2).
【解析】（1）在中，由，得，
所以，且，即，
（i）证明：因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，设球心，半径，
则，
所以，
解得，所以球O的半径为；
（2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，
因平面,则平面.
则由（1），
设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内，
则，
所以，
设平面一个法向量分别为，则，
即，取，则得；
平面的一个法向量为，则，
即，取，则得，
所以，
令，则由得，则，
于是
，
当且仅当即时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值为.
考向七 外接球
【例7-1】（24-25高三上·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，.
(1)证明：三棱柱是正三棱柱；
(2)证明：；
(3)设平面平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）
在直三棱柱中，
又因为，
所以，
所以，
所以三棱柱为正三棱柱.
（2）取的中点，连结，
则.
因为平面，
所以平面.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则
，
，
所以.
因为，所以，
所以，所以.
所以，
所以，即.
（3）因为平面平面，
又因为，
所以不妨取平面的法向量.
因为直线与平面的距离为，
所以点到平面的距离为.
因为，
所以点到平面的距离，
所以.
所以正三角形的外接圆半径，
所以正三棱柱的外接球的半径
，
所以三棱柱外接球的表面积为.
【例7-2】（2024湖北）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与底面所成的角的余弦值为，求三棱锥的外接球表面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）在四边形中，，，，
，为等腰直角三角形，即，
平面平面，，平面平面，
平面，又平面，，
，平面，平面.
（2）平面，平面，，，
又，，，即，
，平面，平面，
平面，，
即，均为直角三角形，且公共斜边为，
中点到三棱锥四个顶点的距离相等，
三棱锥的外接球半径；
平面，为直线与底面所成的角，
，又，，
三棱锥的外接球表面积.
【例7-3】（2023·全国·模拟预测）如图，球O是正三棱锥和的外接球，M为的外心，直线AM与线段BC交于点D，D为BC的中点，两三棱锥的高之比为，E为PA上一点，且．
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）过M作，交AB于，易证MA，MP，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，球O的半径为R，
则在中，有，解得．
则，，，
∵，
∴，
，所以
∴，
∴．
（2）因为，
平面，
所以平面PAD，又平面PAD，
∴．
由（1）得，又，平面，
∴平面，
所以平面的一个法向量为．
又∵，，，
∴，．
设平面的法向量为，
则
令，则，，
∴为平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，
∴，又，
∴．
故二面角的正弦值为．
【例7-4】（2024云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点，
（1）求证：，，，四点在同一球面上，并说明球心及半径；
（2）画出平面与平面的交线（不需要写画法）．
（3）设平面与平面的交线为，直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成的锐二面角的大小．
【答案】（1），，，四点在以为圆心，为半径的圆上；（2）答案见解析（3）
【解析】（1）连接，因为，为的中点，所以，
因为平面平面且平面平面，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
在中，为的中点，
所以，
连接，因为，且，
所以四边形为矩形，所以，
因为，，所以面，面，
所以，在中，为的中点，
所以，所以，
所以，，，四点在以为圆心，为半径的球面上；
（2）如图所示，即为平面与平面的交线，
延长、交于点，连接，
即在平面上也在平面上，
为两平面的一个公共点，所以即为两平面的交线；
（3）连接，因为，为的中点，
所以为的中位线，所以，，因为平面，
所以直线与平面所成角即为，
所以，所以，
如图建立空间直角坐标系，则，，
，，，
所以，，
，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以，
设平面与平面所成的锐二面角为，则，
所以，
即平面与平面所成的锐二面角为.
考向八 轨迹（长度）
【例8-1】（24-25 上海·期中）如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线和夹角的大小；
(3)设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【解析】（1）在三棱柱中，连接，
由，O为的中点，得，
又平面，且平面，则，，
由，平面，得平面，
在中，分别为的中点，则，，
而，，则，，
即四边形为平行四边形，则，
所以平面.
（2）在三棱柱中，，
由（1）知，，则，
所以异面直线和夹角的大小为.
（3）连接，
由（1）可知：，且平面，平面，则平面，
在平行四边形中，分别为的中点，则，，
四边形为平行四边形，，且平面，平面，
于是平面，且，平面，所以平面平面，
且平面平面，则点P的轨迹为线段，即，
由，，为的中点，得，
，且为矩形，则，
在中，，则边上的高，
可得，
所以三棱柱的侧面积.
【例8-2】（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面．
(1)求点的轨迹长度；
(2)当点到面的距离为时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)π
(2)
【解析】（1）如图所示，过点作，且，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，又平面，，
平面，平面，
，又，且，平面，
平面，平面，，
由点在正方形内，
所以点在以为直径的半圆上，，
所以点的轨迹长度为.
（2）过点作于点，
平面，平面，，
，平面，平面，
故的长度即为点到面的距离，故，
∵由（1）可知点在以为直径的半圆上运动，
如图所示建立空间直角坐标系，
∴，，，，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，
又平面的一个法向量为，记二面角为，
，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【例8-3】（2024·全国·模拟预测）如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长为，是的中点．
(1)已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）；
(2)点是圆上的一点（不同于，），，求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）是的中点，．
要满足平面，需满足，
又平面，平面平面
如图，过作下底面的垂线交下底面于点，
过作的平行线，交圆于，，则线段即点的轨迹．
（2）易知可以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
母线长为，母线与底面所成角为45°，，，，，
取的位置如图所示，连接，
，，即，
则，，，，，
则，，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，．
设平面与平面所成的角为，则
，
．
【例8-4】（2024·安徽芜湖·二模）在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于．
(1)当时，求点的轨迹长度；
(2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）作交于，
因为平面平面，且平面平面，面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为平面，且平面，所以，
因为，，、平面，，
所以平面，又因为平面，所以．
分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
设，因为，所以，
又，，
所以，即，
设中点为，则，如图：
又，所以，
因此，的轨迹为圆弧，其长度为；
（2）由（1）知，可设，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令得．
为平面的一个法向量，令二面角为角，
，又，
解得，（舍去）或，，
则或，
从而可得三棱锥的体积．
【例8-5】（24-25上海·阶段练习）已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置.
(1)证明： ；
(2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离；
(3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）取中点，连结、，
由四边形为菱形可知，，，
又平面，
平面，又因为平面，；
（2）因为菱形的面积为，
得，，，
又因为二面角的平面角为，且大小为，
所以，
故点到平面的距离为；
（3）取边上靠近点的四等分点，取的中点为，连接，
，，同理，
∵，平面，所以平面，
故点的轨迹长度即为的周长.
由于，，，
且二面角的大小平面角，
∵，∴，，
则，，所以点的轨迹长度的取值范围为.
【例8-6】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点.
(1)求直线到平面的距离；
(2)在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
(3)在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状.
【答案】(1)
(2)存在，
(3)存在，点H的轨迹是半径为的圆
【解析】（1）
取的中点，连接，
又E为的中点，∴，
而平面，平面，∴平面，
∵G为中点，F为的中点，，∴，
而平面，平面，∴平面，
又∵平面，
∴平面平面，而平面，
∴平面，
∴直线到平面的距离等于点到平面的距离．
∵面，面，∴，
又，，面，
∴面，即面，
∴为点到平面的距离，而，
∴直线到平面的距离为．
（2）
设 ()，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
∴，
∴，
∴，
设平面的法向量，
则有，令，得，则，
由题意，
整理得，解得或(舍去)，
所以当时，直线与平面所成角的正弦值是．
（3）由（2）知，平面的一个法向量，
点，中点，则，
则中点到平面的距离为，
由，即，
故H在以中点为球心，半径为的球面上，
而，故H在平面上的轨迹是半径为的圆，
故存在符合题意的H，此时点H的轨迹是半径为的圆．
【例8-7】（24-25 福建福州·期中）如图，四边形与均为菱形，，，.

(1)求证：平面；
(2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值；
(3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）因为四边形为菱形，则，
设，连接，则为的中点，
因为，则，
因为，、平面，故平面.
（2）连接，因为四边形为菱形，则，
又因为，则为等边三角形，
因为为的中点，则，
又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、
、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形，
所以，，，，
同理可得，
所以，、、、、、，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
因为为上的动点，设，其中，
且，，
所以，，
设直线与平面所成角为，
则
，
当时，取最大值，且最大值为，
因此，与平面所成角正弦值的最大值为.
（3）因为为的中点，则，
设点，则，，
因为，即，即，
化简可得，
故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分，
即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为.
考向九 四点共面
【例9-1】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在多面体中，的中点为.
(1)求证：四点共面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】（1）连接，由为中点，得，
由，得，而平面，
则平面，同理平面，又平面与平面有公共直线，
所以四点共面.
（2）由（1）知，是二面角的平面角，设，
由，得，
则，，直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
设平面的法向量为，则，取，得，
设直线与平面所成角为，
依题意，，即，
平方化简整理得，而
则，即，又，则，，
所以所求二面角的余弦值为.
【例9-2】（24-25广西南宁·阶段练习）如图，四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值；
(3)点在上，且.判断，，，四点是否共面，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)共面，理由见解析
【解析】（1）因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以.
（2）过作的垂线交于点，因为平面，所以，
如图建立空间直角坐标系，
则,，
因为为的中点，所以，
所以,，
所以，
设平面的法向量为，
则即，
令,则，于是，
又因为平面的法向量为，
所以，设二面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.
（3），，，四点共面，理由如下：
因为点在上，且，，
所以，
由（2）知平面的法向量，
所以，
又因为点平面，所以直线在平面内，
所以，，，四点共面.
【例9-3】（2024河北邯郸·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，分别为棱的中点，.

(1)证明：四点共面；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为平面，平面，所以，
又底面为直角梯形，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
.
设，即，解得
所以.故四点共面.

（2）设是平面的法向量，
则，
令，得.
取的中点，则，连接，又因为，所以，
又由（1），，平面，平面，所以平面，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，即平面的一个法向量为.
所以.
故平面与平面的夹角的大小为.
【例9-4】（2025山东威海）如图，在四棱锥中，面，．E为的中点，点F在上，且．
(1)求证：面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)设点G在上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【解析】（1）由面面，则，
又且，可得：面.
（2）以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，
由可得：，由可得：，
设平面的法向量为：，则，
∴面的一个法向量为，而是面的一个法向量，
∴，故二面角的余弦值为，则正弦值为．
（3）存在这样的.
由可得：，则，
若A，E，F，G四点共面，则在面内，又面的一个法向量为，
∴，即，可得.
∴存在这样的，使得四点共面.
【例9-5】（2023·辽宁沈阳·三模）如图，在四棱锥中，面ABCD，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．
(1)求证：面PAD；
(2)求二面角的正弦值；
(3)设点G在PB上，且．判断是否存在这样的，使得A，E，F，G四点共面．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在
【解析】（1）∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，
∵，，平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD．
（2）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，
AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
平面AEP的一个法向量为，
设平面AEF的一个法向量为，
则，取，得，．
故，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
则．
∴二面角的余弦值为．
故二面角的正弦值为．
（3）存在这样的.
由可得：，则，
若A，E，F，G四点共面，则在面内，
又面的一个法向量为，
∴，即，可得.
∴存在这样的，使得四点共面.
考向十 新定义
【例10-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），且面积的最大值为2．将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图1，2所示．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求折叠后，平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)求折叠后面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）已知椭圆离心率，可得，即，
把代入，得到，所以.
当点为椭圆的上顶点时，的面积最大，其面积，
又因为，所以，解得.
由，可得，则.
所以椭圆的标准方程为.
（2）折叠前，，当时，直线的斜率为，根据点斜式可得直线的方程为.
联立直线与椭圆方程，得到，解得，.
当时，；当时，.
所以，.
折叠后，建立空间直角坐标系，
得到，，，
则，.
设平面的法向量为，
则，即，化简得，
令，可得，，所以.
易知平面的法向量为.
设平面与平面所成的锐角为，根据向量的夹角公式，
其中，，，所以.
（3）设折叠前，，，联立，
将代入，得到，
展开可得，，，
折叠后，如前问的图，建立空间直角坐标系得到，，，
，.
可得，，.
因为，所以.
根据三角形面积公式.
令，则.
对求导得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
因此，在处取得最大值，.
因为，所以.
【例10-2】（2024高三·全国·专题练习）空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”．
(1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标；
(2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1）由题可知，，则（提示：斜坐标的本质是将空间中的向量用基底表示后的系数），
由题可知，，．
平面，
即
则，，
则的斜坐标为．
（2）由题可得，，
设平面的法向量为（提示：设斜坐标系下的法向量，通过求解法向量方程与赋值求得法向量），
由
得
即
取，可得，，
即．
则．
由（1）可知平面，
且，
则，
，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
【例10-3】（2025·山东日照·一模）已知在四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．
(1)证明：平面；
(2)若两两垂直，则称四面体为“斜垂四面体”．
①在斜垂四面体中，若，求直线与平面所成角的正弦值；
②在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若为斜垂四面体，求其外接球表面积的最小值，并求出此时的直线方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②最小值为，直线方程为
【解析】（1）如图，连接，由分别是棱的中点，得，
又平面平面，所以平面.
（2）①由（1）知，平行且等于平行且等于，得与平行且相等，
则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，
，而，则，同理，
如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系，
由，得，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
②由①知将补成长方体，设长宽高分别设为，
则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半即：，
，
，则，
在平面内设，由，得，
显然，
则，，
，
于是，
，
在中，，则为锐角，
因此，即，则，解得，
又，
则当最大时，最小，
不妨令，则，
由函数在上单调递增，则当时，有最大值，此时，
所以的最小值为，此时直线方程为.
【例10-4】（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，球的半径为1．对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个公共点，则称这个平面是这个球的切平面，唯一的公共点叫切点，球心和切点的连线垂直于切平面，类似于二元一次方程表示平面内的直线，三元一次方程可以表示空间的平面．例如：方程表示经过三点的平面．方程表示坐标平面．
(1)求球在点处的切平面方程，并求该平面与坐标平面的交线在平面内的直线方程；
(2)过球面上任意一点作切平面，若平面分别与x，y，z的正半轴相交于三点，求面积的最小值；
(3)过球外一个定点作球的切平面有无数个，全体切点所确定的平面记为面．设是球外两个定点，证明：若面，则面．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）在球的切平面上任取一点，则，
即，
即，即，
又坐标平面的方程为，
联立方程组得交线方程为.
（2）设为球面上一点，则，
在平面上任取一点，则，
即，
即，
即，
因为平面与分别与的正半轴相交，则，
平面分别交轴于点，
因为三棱锥体积，所以，
又因为，所以，
因此，当且仅当时等号成立.
（3）设，
过作球的切平面，其切点为，
由（2）知，处的切平面方程为，
又因为都在这些切平面上，所以，
即所有切点均符合方程，
即面的方程为①，
同理，面的方程为②，
若面，即，
于是，即点坐标符合②，所以面.

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