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中考数学一轮复习 第五章 圆
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 庄浪县期末）圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（　　）
A．10π B．15π C．20π D．25π
2．（2025 惠州模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
3．（2025 胶州市校级模拟）如图，BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，直线PA与⊙O相切线于点A，若∠PAB＝42°，则∠ADC的度数为（　　）
A．42° B．46° C．48° D．50°
4．（2024秋 临清市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
5．（2024秋 甘井子区校级期末）如图，在半径为1的⊙O中，有一条弦AB，直径CD⊥AB，垂足为E，∠BAD＝22.5°，则弦AB的长为（　　）
A． B．2 C． D．
6．（2024秋 五河县期末）下列说法：
①直径是弦；
②弧是半圆；
③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2024秋 迁安市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD的度数不可能为（　　）
A．50° B．70° C．90° D．110°
8．（2025 浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3.3，BC＝4.4，则图中△ABO的面积为（　　）
A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025
9．（2025春 临平区月考）如图，AB为半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切半圆于点D，AE⊥CD于点E，连结AD，若∠C＝40°，则∠DAE的度数是（　　）
A．20° B．25° C．28° D．30°
10．（2024秋 迁安市期末）已知⊙O的半径OA为，点B与点O的距离是2，则符合要求的图形可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 成都模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝30°，先以点A为圆心、AB的长为半径作；再以BC为直径作，则阴影部分的面积为　 　 ．
12．（2025 开州区一模）如图，以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，BE与⊙O交于点D，过D作CD⊥AB于点H，连接CE交AB于点F、交⊙O于点G．若BH＝1，AH＝4，则CD＝　 　 ，AG＝　 　 ．
13．（2025 嘉峪关开学）某同学仿照图1手机相机快门打开过程中光圈大小的变化绘制了图2所示的图形，大的正六边形是由6个全等的四边形和一个小正六边形拼成，点Q恰好落在PM所在的直线上．经过测量已知BP＝10cm，CQ＝4cm，则图中小正六边形的边长是　 　 cm（结果保留根号）．
14．（2025 东莞市一模）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED＝4cm，母线AD＝10cm．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，则∠EAF的大小是 　 　 ．
15．（2025春 拱墅区校级月考）如图1，把圆形井盖卡在角尺（角的两边互相垂直，一边有刻度）之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移10cm，如图2，OA边与圆的两个交点对应CD的长为40cm，则可知井盖的半径是 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．（2024秋 庄浪县期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE于点F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若⊙O的直径为4，求线段BF的长．
17．（2025 南宁一模）如图，已知CD为⊙O的直径，AC⊥CD，弦DE∥OA，直线AE，CD相交于点B．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）当AC＝2，BE＝4时，求⊙O的半径．
18．（2025 山亭区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AC延长线上一点，过点D作DE⊥AB，DE分别交AB，CB的延长线于点E，F，若点E恰是DF的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝1，CD，求图中阴影部分的面积．
19．（2025 成都模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，CD交⊙O于点E，交AB于点F，射线AE交CB的延长线于点G．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝5，，求CD和BC的长．
20．（2025 涪城区模拟）如图，AD是以AB为直径的 O的切线，点C在AB上方的圆弧上，CD∥AB，CE垂直平分BD，CE分别交BD，AB于点F，E．
（1）证明：四边形BCDE是菱形；
（2）若AE＝2，求 O的半径．
21．（2025 碑林区校级二模）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若，求BE的长．
22．（2025 闵行区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧ABC的中点，弦CD与AB交于点E．
（1）求证：；
（2）当AE＝CD时，求∠BAC的正弦值；
（3）当△ACE是等腰三角形时，求∠BAC的度数，并直接写出的值．
23．（2025 南关区校级开学）【概念回顾】我们知道圆是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点组成的平面图形，由此可知，如图①，若OA＝OB＝OC，则点A、B、C均在以O为圆心，OA为半径的圆上．
【知识运用】如图②，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转α角，得到△ADE，连结CD、BE．
（1）若∠BCD＝108°，求∠BED的大小．
（2）若AB＝13，BC＝10，当90°＜α＜180°时，四边形ACDE面积的最大值为　 　 ．
【拓展应用】如图③，将边长为8的等边△ABC绕顶点A逆时针旋转α，得到△ADE，点F为DE中点，过点D作DG⊥AC，交AC于点G，当75°≤α＜150°时，则FG长的取值范围是　 　 ．
中考数学一轮复习 第五章 圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C C A B D D B A
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 庄浪县期末）圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（　　）
A．10π B．15π C．20π D．25π
【分析】弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此即可计算．
【解答】解：扇形的弧长10π．
故选：A．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．
2．（2025 惠州模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可．
【解答】解：连接OA，则OA＝10cm，
∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，
∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD6（cm），
∵OC＝10cm，
∴CD＝OC﹣OD＝4cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AD的长是解此题的关键．
3．（2025 胶州市校级模拟）如图，BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，直线PA与⊙O相切线于点A，若∠PAB＝42°，则∠ADC的度数为（　　）
A．42° B．46° C．48° D．50°
【分析】连接OA，由切线的性质得到∠PAO＝90°，求出∠BAO＝90°﹣∠PAB＝48°，由等腰三角形的性质推出∠B＝∠BAO＝48°，由圆周角定理即可得到∠ADC＝∠B＝48°．
【解答】解：连接OA，
∵直线PA与⊙O相切线于点A，
∴半径OA⊥PA，
∴∠PAO＝90°，
∵∠PAB＝42°，
∴∠BAO＝90°﹣∠PAB＝48°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO＝48°，
∴∠ADC＝∠B＝48°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由切线的性质得到∠PAO＝90°，由圆周角定理得到∠ADC＝∠B．
4．（2024秋 临清市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
【分析】计算C点到AB上的高即可判断．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
∵∠C＝90°，，
∴，
设BC＝3k，则AB＝5k，
∴，
∵AC＝4cm，
∴k＝1，
∴BC＝3cm，AB＝5cm，
∴，
∴，
∴⊙C与AB相交，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（2024秋 甘井子区校级期末）如图，在半径为1的⊙O中，有一条弦AB，直径CD⊥AB，垂足为E，∠BAD＝22.5°，则弦AB的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】连接OB，根据圆周角定理可得：∠BOD＝45°，再根据垂径定理得：，从而可得：∠AOD＝∠BOD＝45°，进而可得∠AOB＝90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：连接OB，
∵∠BAD＝22.5°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝45°，
∵直径CD⊥AB，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝90°，
∵AO＝OB＝1，
∴AB，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（2024秋 五河县期末）下列说法：
①直径是弦；
②弧是半圆；
③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系进行判断即可．
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弧是圆的一部分，不一定是半圆，原说法错误，不符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等，正确，符合题意；
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧有优弧和劣弧两段，不一定相等，原说法错误，不符合题意；
⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，符合题意，
综上所述，正确的序号是①③⑤．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，熟知以上知识是解题的关键．
7．（2024秋 迁安市期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD的度数不可能为（　　）
A．50° B．70° C．90° D．110°
【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，根据圆周角定理求出∠DOB的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB．
【解答】解：连接OB、OD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，
∴∠DCB＝180°﹣130°＝50°，
∵，
∴∠DOB＝2∠DCB＝100°，
∴∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，即50°＜∠BPD＜100°，
∴∠BPD不可能为110°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（2025 浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3.3，BC＝4.4，则图中△ABO的面积为（　　）
A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据等面积法求出圆O的半径即可推出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3.3，BC＝4.4，
∴AB5.5，
如图，连接OC，
设圆O的半径＝r，
则r，
即，
∴r＝1.1，
∴△ABO的面积3.025，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的面积，熟记三角形内接圆的性质是解题的关键．
9．（2025春 临平区月考）如图，AB为半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切半圆于点D，AE⊥CD于点E，连结AD，若∠C＝40°，则∠DAE的度数是（　　）
A．20° B．25° C．28° D．30°
【分析】连接OD，根据切线的性质得到OD⊥CD，根据直角三角形的性质求出∠COD，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出∠ODA，证明OD∥AE，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：如图，连接OD，
∵CD切半圆于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，
∵OD＝OA，∠COD＝∠ODA+∠OAD，
∴∠ODA＝∠OAD∠COD＝25°，
∵OD⊥CD，AE⊥CD，
∴OD∥AE，
∴∠DAE＝∠ODA＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．（2024秋 迁安市期末）已知⊙O的半径OA为，点B与点O的距离是2，则符合要求的图形可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据点与圆的位置关系判断即可．
【解答】解：∵，
∴点B在⊙O内部，
故选：A．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 成都模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝30°，先以点A为圆心、AB的长为半径作；再以BC为直径作，则阴影部分的面积为　4　 ．
【分析】由图可知：图案的面积＝半圆CEB的面积+△ABC的面积﹣扇形ACB的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积．
【解答】解：过A点作AF⊥BC，
在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝30°，
∴AFAB＝2，
∴BF＝2
∴BC＝2BF＝4，
∴S扇形ACBπ，S半圆BECπ×（2）2＝6π，S△ABC4；
所以阴影面积＝S半圆BEC+S△ABC﹣S扇形ACB＝6π+4π＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
12．（2025 开州区一模）如图，以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，BE与⊙O交于点D，过D作CD⊥AB于点H，连接CE交AB于点F、交⊙O于点G．若BH＝1，AH＝4，则CD＝　4　 ，AG＝　　 ．
【分析】①连接OD，根据题意先求出直径AB的长，得到半径的长，根据垂径定理得到CH＝DH，再根据勾股定理即可求解；
②连接BC，先求出，再证明△CHF∽△EAF，△BHD∽△BAE，得到，，求得，，根据勾股定理求出，再证明△BFC∽△AFG，即可求解．
【解答】解：①如图，连接OD，
由题意可得：，∠FHD＝∠BHC＝90°，
∵BH＝1，AH＝4，
∴AB＝BH+AH＝5，
∴，
∴，
，
∴CD＝2DH＝4；
②如图，连接BC，
在Rt△BHC中，，
由切线的性质可得：AB⊥AE，
又∵AB⊥CD，
∴CD∥AE，
∴△CHF∽△EAF，△BHD∽△BAE，
∴，，
又∵CH＝DH，
∴，
∵HF+AF＝AH＝4，
∴，，
，
∵∠ABC＝∠AGF，∠BFC＝∠AFG，
∴△BFC∽△AFG，
∴，
∴，
故答案为：4，．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质及切线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
13．（2025 嘉峪关开学）某同学仿照图1手机相机快门打开过程中光圈大小的变化绘制了图2所示的图形，大的正六边形是由6个全等的四边形和一个小正六边形拼成，点Q恰好落在PM所在的直线上．经过测量已知BP＝10cm，CQ＝4cm，则图中小正六边形的边长是　　 cm（结果保留根号）．
【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，OT，过O作OG⊥AB，OH⊥PQ，先求出正六边形的边长为 BC＝BN+CN＝14，则正六边形的半径为OB＝BC＝14，在Rt△OGB中，，所以PG＝AG﹣AP＝3，则，然后在Rt△OHT中，得，在Rt△OHP中，由勾股定理得，解得：，则，即可求解．
【解答】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，OT，过O作OG⊥AB，OH⊥PQ，
由题意知AP＝BN＝CQ＝4，
∴BC＝BN+CN＝14，
∵正六边形ABCDEF，
∴OB＝BC＝14，∠OBG＝60°，
∵OG⊥AB，
∴在Rt△OGB中，，
∴PG＝AG﹣AP＝3，
∴，
由小正六边形得△SPT是正三角形，
∴PT＝ST，
∴PQ＝3ST，
∵OH⊥PQ，
∴，PT＝ST＝2TH，
∴PH＝PT+TH＝3TH，
∴在Rt△OHT中，，
∴在Rt△OHP中，由勾股定理得，
解得：，
∴，
即小正六边形的边长为，
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
14．（2025 东莞市一模）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED＝4cm，母线AD＝10cm．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，则∠EAF的大小是 　72°　 ．
【分析】先求解底面圆的周长4π，再利用弧长公式建立方程求解圆心角即可．
【解答】解：∵ED＝4cm，
∴底面周长为：π ED＝4π，
∵AD＝10cm，
∴，
解得n＝72，
∴∠EAF＝72°，
故答案为：72°．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，展开图折叠成几何体，弧长的计算，关键是相关公式的熟练掌握．
15．（2025春 拱墅区校级月考）如图1，把圆形井盖卡在角尺（角的两边互相垂直，一边有刻度）之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移10cm，如图2，OA边与圆的两个交点对应CD的长为40cm，则可知井盖的半径是 　25cm　 ．
【分析】过圆心P作PE⊥CD，交圆P于E，交CD于F，根据垂径定理求出CF，再根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：如图，过圆心P作PE⊥CD，交圆P于E，交CD于F，
则CF＝DFCD＝20cm，
设圆P的半径为r cm，则PF＝（r﹣10）cm，
在Rt△PCF中，PF2+CF2＝PC2，即（r﹣10）2+202＝r2，
解得：r＝25，
则井盖的半径是25cm，
故答案为：25cm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算．
三．解答题（共8小题）
16．（2024秋 庄浪县期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE于点F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若⊙O的直径为4，求线段BF的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质可得∠OCD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠COD＝60°，从而利用圆周角定理可得∠A＝30°，最后根据等角对等边，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是90度可得∠ACB＝90°，从而利用（1）的结论可得，再利用角平分线的定义可得，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，
∴，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴CA＝CD；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，⊙O的直径为4，
∴，
∵CE平分∠ACB，
∴，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴△BCF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BF＝CF，
在Rt△BCF中，BF2+CF2＝2BF2＝BC2＝22＝4，
∴（负值已舍）．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解答本题的关键．
17．（2025 南宁一模）如图，已知CD为⊙O的直径，AC⊥CD，弦DE∥OA，直线AE，CD相交于点B．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）当AC＝2，BE＝4时，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，则OE＝OD＝OC，所以∠OED＝∠ODE，由DE∥OA，得∠OED＝∠AOE，∠ODE＝∠AOC，则∠AOE＝∠AOC，可证明△AOE≌△AOC，得∠OEA＝∠C＝90°，即可证明直线AE是⊙O的切线；
（2）由全等三角形的性质得AE＝AC＝2，而BE＝4，所以AB＝6，则BC4，由tanB，求得OEBE，则⊙O的半径长为．
【解答】（1）证明：连接OE，则OE＝OD＝OC，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED＝∠AOE，∠ODE＝∠AOC，
∴∠AOE＝∠AOC，
在△AOE和△AOC中，
，
∴△AOE≌△AOC（SAS），
∵AC⊥CD，
∴∠OEA＝∠C＝90°，
∵OE是⊙O的半径，且AE⊥OE，
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）解：由（1）得∠C＝90°，△AOE≌△AOC，
∴AE＝AC＝2，
∵BE＝4，
∴AB＝AE+BE＝2+4＝6，
∴BC4，
∵∠OEB＝90°，
∴tanB，
∴OEBE4，
∴⊙O的半径长为．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
18．（2025 山亭区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AC延长线上一点，过点D作DE⊥AB，DE分别交AB，CB的延长线于点E，F，若点E恰是DF的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝1，CD，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，从而可得∠DCF＝90°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE＝DE，然后利用等腰三角形的性质可得∠OCA+∠DCE＝90°，最后利用平角定义求出∠OCE＝90°，即可解答；
（2）连接BD，根据已知可得∠CDB＝30°，从而可得∠BDF＝∠F＝30°，然后证明△CDE是等边三角形，可得CE＝CD，根据∠AED＝90°，可得∠A＝30°，从而可得∠BOC＝60°，即可得△BOC是等边三角形，最后利用△OCE的面积减去扇形COB的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCF＝180°﹣∠ACB＝90°
∵点E是DF的中点，
∴CE＝DEDF，
∴∠DCE＝∠D，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠OCE＝180°﹣（∠OCA+∠DCE）＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
由（1）知：∠DCF＝90°，
∵BC＝1，CD，
∴tan∠CDB，
∴∠CDB＝30°，
∴∠CBD＝90°﹣∠CDB＝60°，
∵DE⊥AB，E是DF的中点，
∴BD＝BF，
∴∠BDF＝∠F∠CBD＝30°，
∴∠ADE＝∠CDB+∠BDF＝60°，
∵CE＝DE，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵∠AED＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ADE＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝1，
∴S扇形COB，
∵S△OCECE OC1，
∴阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB，
∴阴影部分的面积为．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．（2025 成都模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，CD交⊙O于点E，交AB于点F，射线AE交CB的延长线于点G．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝5，，求CD和BC的长．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形性质得AH是线段BC的垂直平分线，根据垂径定理得AH经过⊙O的圆心O，则OA是⊙O的半径，再根AD∥BC得OA⊥AD，再根据切线的判定即可得出结论；
（2）过点E作EM⊥AD于点M，根据平行线的性质，角平分线定义，弦切角定理得∠D＝∠BCD＝∠ACD＝∠DAE，则DE＝AE＝5，解Rt△DEM得DM＝AM＝4，则AD＝8，证明△DAE和△DCA相似，利用相似三角形的性质可求出CD，进而得CE，再证明∠G＝BAG得BG＝AB＝8，则GC＝8+BC，然后证明△ADE和△GCE相似，再利用相似三角形的性质即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图1所示：
∴AB＝AC，
∴BH＝CH，
∴AH是线段BC的垂直平分线，
根据垂径定理得：AH经过⊙O的圆心O，
∴OA是⊙O的半径，
∵AD∥BC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）过点E作EM⊥AD于点M，如图2所示：
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠D＝∠ACD，
∵AD是⊙O的切线，
由弦切角定理得：∠DAE＝∠ACD，
∴∠D＝∠DAE，
∴DE＝AE＝5，
在Rt△DEM中，cosD，
∴DMDE4，
∵DE＝AE＝5，EM⊥AD，
∴DM＝AM＝4，
∴AD＝DM+AM＝8，
在△DAE和△DCA中，
∠DAE＝∠ACD，∠D＝∠D，
∴△DAE∽△DCA，
∴，
∴CD；
∴CE＝CD﹣DE，
∵∠D＝∠ACD，
∴AB＝AC＝AD＝8，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DAE，
∴∠G＝∠D＝∠BCD＝∠ACD，
根据圆周角定理得：∠BAG＝∠BCD，
∴∠G＝BAG，
∴BG＝AB＝8，
∴GC＝BG+BC＝8+BC，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，
∴，
∴DE GC＝AD CE，
∴，
解得：BC．
【点评】此题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，理解切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
20．（2025 涪城区模拟）如图，AD是以AB为直径的 O的切线，点C在AB上方的圆弧上，CD∥AB，CE垂直平分BD，CE分别交BD，AB于点F，E．
（1）证明：四边形BCDE是菱形；
（2）若AE＝2，求 O的半径．
【分析】（1）根据菱形的判定进行证明即可；
（2）过点O作OH⊥BC，垂足为H，先证明△DAE∽△OHB，利用相似三角形性质求出半径即可．
【解答】（1）证明：∵CE垂直平分BD，
∴CD＝CB，DF＝FB，
∵CD∥AB，
∴∠CDF ＝∠FBE，
∴△CDF≌△EBF（ASA），
∴CD＝BE，
∵CD∥BE，CD＝CB，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）如图，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
∠OBH＝∠OBD+∠DBH＝∠OBD+∠EDB＝∠DEA，
∵DA⊥AE，OH⊥BC，
∴△DAE∽△OHB（AA），
DE＝EB＝2r﹣AE＝2r﹣2，OB＝r，BHBCBE＝r﹣1，
∴，
∴，
整理得r2﹣3r+1＝0，
∵2r﹣2＞0，
∴r＞1
解得r，（已舍去负值）．
【点评】本题考查了切线的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的性质与判定、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是关键．
21．（2025 碑林区校级二模）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，根据AC是⊙O的直径，可得∠ABC＝90°，由BD平分∠ABC，可得∠1＝45°根据圆周角定理可得∠DOC＝2∠CBD＝90°，再由DE是⊙O的切线，可得∠ODE＝90°，进而可以解决问题；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，得到tanA，如图，过点C作CF⊥DE于F，设EF＝k，CF＝2k，根据勾股定理得到CEk＝5，求得CF＝2，求得AC＝2OC＝4，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝45°，
∴∠DOC＝2∠CBD＝90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ODE＝∠DOC＝90°，
∴DE∥AC；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴tanA，
如图，过点C作CF⊥DE于F，
∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，
∴∠ECF＝∠BAC，
∴tanA＝tan∠ECF，
∴设EF＝k，CF＝2k，
∴CEk＝5，
∴k，
∴CF＝2，
∵∠COD＝∠ODF＝∠CFD＝90°，
∴四边形ODFC是矩形，
∵OC＝OD，
∴四边形ODFC是正方形，
∴OC＝CF＝2，
∴AC＝2OC＝4，
∵tanA，
∴，
∴BC＝4，
∴BE＝BC+CE＝4+5＝9．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握切线的性质．
22．（2025 闵行区模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧ABC的中点，弦CD与AB交于点E．
（1）求证：；
（2）当AE＝CD时，求∠BAC的正弦值；
（3）当△ACE是等腰三角形时，求∠BAC的度数，并直接写出的值．
【分析】（1）连接BC，连接DO并延长交AC于点M，则BC⊥AC，由题意可得DM⊥AC，有DM∥BC，判定△CBE∽△DOE，有，结合即可证明；
（2）连接OC和AD，则AO＝DO和∠ODA＝∠OAD，进一步得△ADE为等腰三角形，设∠ODA＝∠OAD＝α，则∠ADE＝∠DEA＝∠CEB＝2α，∠ABC＝∠ADC＝2α，则有BC＝CE，得∠BCE＝∠CDO＝α和∠OCD＝∠ODC＝α，∠COE＝α，即可得OE＝EC＝BC，判定△COB∽△ECB，有，即，同时求得α＝36°，则∠BAC＝18°，设OB＝1，OE＝x，则EB＝1﹣x，求得x代入即可；
（3）分三种情况：①当AE＝AC，连接AD，设∠ACE＝∠AEC＝α，则∠DAC＝∠DCA＝α，∠ADM＝90°﹣α，∠OAC＝2α﹣90°，求得α＝67.5°，即可得到△ACB为等腰直角三角形，∠BAC＝45°，进一步设AM＝CM＝1，则AC＝BC＝AE＝2，，求得BE＝AB﹣AE即可；②当AC＝EC时，设∠OAD＝∠ODA＝α，则∠CDM＝∠DCB＝α，∠CDA＝2α，∠CEA＝3α，∠CEA＝∠CAE＝3α，∠CAD＝4α，∠DAC＝∠DCA＝4α，解得α＝18°，结合（2）中的正弦值可得，过点E作EH⊥BC于点H，则△BEH∽△BAC，利用等式的基本性质求解即可；③当AE＝EC时，不符合题意．
【解答】（1）证明：连接BC，连接DO并延长交AC于点M，如图1，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∵AC是⊙O的弦，D是弧ABC的中点，
∴DM⊥AC，
∴DM∥BC，
∴△CBE∽△DOE，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接BC，连接DO并延长交AC于点M，连接OC和AD，如图2，
则AO＝DO，∠ODA＝∠OAD，
∵DM⊥AC，
∴∠ODA＝∠ODC，
∵D是弧ABC的中点，
∴DC＝AD，
∵AE＝CD，
∴AE＝AD，
∴△ADE为等腰三角形，
设∠ODA＝∠OAD＝α，则∠ADE＝∠DEA＝∠CEB＝2α，∠ABC＝∠ADC＝2α，
∴BC＝CE，
∵DM∥BC，
∴∠BCE＝∠CDO＝α，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝α，
∵∠CEB＝∠ECO+∠COE，
∴∠COE＝α，
∴OE＝EC＝BC，
∵∠COE＝∠ECB＝α，∠B＝∠CEB＝∠OCB＝2α，
∴△COB∽△ECB，
∴，即，
在△OBC中，∠B+∠OCB+∠COB＝5α＝180°，解得α＝36°，则；
设OB＝1，OE＝x，则EB＝1﹣x，
那么，，解得（负值舍去），
则；
（3）解：∠BAC的度数为45°或54°；为或．理由如下：
①当AE＝AC时，连接AD，如图3，
设∠ACE＝∠AEC＝α，
∵D是弧ABC的中点，
∴DC＝AD，
∴∠DAC＝∠DCA＝α，
∴∠ADM＝90°﹣α，
则∠BAC＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°，
在△AEC中，∠ACE+∠AEC+∠CEA＝180°，即2α﹣90°+α+α＝180°，
解得α＝67.5°，
∴∠BAC＝2×67.5°﹣90°＝45°，
则△ACB为等腰直角三角形，
设AM＝CM＝1，
则AC＝BC＝AE＝2，，，
那么，；
②当AC＝EC时，如图4，
设∠OAD＝∠ODA＝α，则∠CDM＝∠DCB＝α，∠CDA＝2α，∠CEA＝∠CDA+∠DAE＝3α，
∵AC＝EC，
∴∠CEA＝∠CAE＝3α，
∴∠CAD＝∠DAE+∠EAC＝4α，
∵DC＝AD，
∴∠DAC＝∠DCA＝4α，
在△DAC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，即2α+4α+4α＝180°，解得α＝18°，
则∠BAC＝3×18°＝54°，∠DCB＝18°，
由（2）知，
过点E作EH⊥BC于点H，则△BEH∽△BAC，
则，
即，
∴，
∴，
则；
③当AE＝EC时，不符合题意；
综上，∠BAC的度数为45°或54°；为或．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查圆的基本性质、直径所对的圆周角为直角、垂径定理、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质和等式的基本性质，解题的关键是熟悉圆的性质和三角形的性质，以及分类讨论思想．
23．（2025 南关区校级开学）【概念回顾】我们知道圆是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点组成的平面图形，由此可知，如图①，若OA＝OB＝OC，则点A、B、C均在以O为圆心，OA为半径的圆上．
【知识运用】如图②，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转α角，得到△ADE，连结CD、BE．
（1）若∠BCD＝108°，求∠BED的大小．
（2）若AB＝13，BC＝10，当90°＜α＜180°时，四边形ACDE面积的最大值为　　 ．
【拓展应用】如图③，将边长为8的等边△ABC绕顶点A逆时针旋转α，得到△ADE，点F为DE中点，过点D作DG⊥AC，交AC于点G，当75°≤α＜150°时，则FG长的取值范围是　4FG≤8　 ．
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补直接求解即可得到答案；
（2）根据三角形的面积及直角三角形斜边大于直角边得到当AD⊥AC时△ADC面积最大，即可得到答案；
（3）连接AF，取AD的中点O，连接OF，OG，可推出OG＝OA＝ODAD，从而点A、G、D、F在以O为圆心，3为半径的圆O上，可推出15°≤∠CAD≤90°，点G弧上运动，当FG是⊙O的直径时，FG最长，当∠CAD＝15°时，FG最小，解△AFG求得FG的最小值．
【解答】解：（1）∵△ABC绕顶点A逆时针旋转α，得到△ADE，AB＝AC，
∴AB＝AC＝AD＝AE，
∴B、C、D、E在以点A为圆心的圆上，
∴∠BED+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝108°，
∴∠BED＝180°﹣108°＝72°；
（2）如图1，
作AF⊥BC于F，作DH⊥AC于H，
∵AB＝AC＝13，
∴CF＝BFBC10＝5，
∴AF12，
∴S△ABCBC AF＝60，
∵△ABC绕顶点A逆时针旋转α，得到△ADE，
∴S△ADE＝S△ABC＝60，
∵四边形ACDE的面积＝S△ADE+S△ACD＝S△ABC+S△ACD＝60AC DH＝60DH，
又∵DH≤AD，
∴当AD⊥AC即DH与AD重合时S△ACD最大，
∴四边形ACDE面积的最大值6013，
故答案为：；
拓展应用：
如图2，连接AF，取AD的中点O，连接OF，OG，
∵AD＝AE，点F为DE中点，
∴AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴OF＝OA＝ODAD8＝4，
同理可得，OG＝OA＝ODAD，
∴点A、G、D、F在以O为圆心，3为半径的圆O上，
∵∠BAD＝α，
∴∠CAD＝α﹣60°，
∵75°≤α≤150°，
∴15°≤∠CAD≤90°，
如图3所示，
当点G在上运动到G″时，
FG最大＝FG″＝AD＝8，
当∠DAG＝15°时，FG最小，
作FH⊥AG于H，
∵∠ADF＝60°，∠AFD＝90°，
∴AF＝8sin60°＝4，
在Rt△AFH中，
∠FAH＝∠FAD+∠DAG＝45°，
∴FH＝AF cos45°＝2，
∵，
∴∠G＝∠D＝60°，
∴FG4，
∴4FG≤8．
故答案为：4FG≤8．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据条件确定共圆．

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