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第2章 2.3　一元二次不等式
培优点 不等式恒成立、能成立问题
课时精练
一、在R上的恒成立问题
二、在给定区间上的恒成立问题
三、解决简单的能成立问题
课堂达标
内容索引
在R上的恒成立问题
一
不等式的恒成立问题通常要看谁是主元，从而确定不等式的形式，可以利用一次函数或者二次函数的图象列出相应的不等式进行求解.
例1
已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.
当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，
由y<0恒成立，
得其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
综上，实数k的取值范围是{k|－1在给定区间上的恒成立问题
二
有关给定区间上的恒成立问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式.
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.
例2
当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在1≤x≤2上恒成立.
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
∴m的取值范围是{m|m<－5}.
解决简单的能成立问题
三
1.结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决.
2.对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m例3
当10有解，则实数m的取值范围为______________.
{m|m>－5}
记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5.
【针对训练】
1.若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是
√
当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；
2.若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是________.
(－∞，0)
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
∴2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范围为{m|m≥－2}.一、在R上的恒成立问题
不等式的恒成立问题通常要看谁是主元，从而确定不等式的形式，可以利用一次函数或者二次函数的图象列出相应的不等式进行求解.
例1 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、在给定区间上的恒成立问题
有关给定区间上的恒成立问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式.
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.
例2 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、解决简单的能成立问题
1.结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决.
2.对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m例3 当10有解，则实数m的取值范围为________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【针对训练】
1.若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
2.若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是________.
3.若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
培优点　不等式恒成立、能成立问题
例1　解　当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，
由y<0恒成立，
得其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
∴解得－1综上，实数k的取值范围是{k|－1例2　解　令y＝x2＋mx＋4.
∵y<0在1≤x≤2上恒成立.
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得
∴m的取值范围是{m|m<－5}.
例3　{m|m>－5}　[记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(10或2m＋8>0，解得m>－5.]
针对训练
1.D　[当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；
当k≠0时，需满足k<0且Δ＝9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k<0，
综上，－≤k≤0.]
2.(－∞，0)　[ax2－x－3<0等价于a<＝＋在－1≤≤－上恒成立，
令m＝，即a<3m2＋m在－1≤m≤－上恒成立，
二次函数y＝3m2＋m的对称轴为m＝－，
所以当m＝－时，y有最小值为0，故a<0.]
3.解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
∴2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范围为{m|m≥－2}.

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