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第2章 2.1 相等关系与不等关系
培优点 基本不等式
一、常数代换法求最值
二、消元法、换元法求最值
三、利用基本不等式求参数值(范围)
针对训练
内容索引
常数代换法求最值
一
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
例1
因为a>0，b>0，a＋2b＝1，
消元法、换元法求最值
二
对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
例2
已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值.
因为x>0，y>0，所以0本例条件不变，求xy的最大值.
迁移
利用基本不等式求参数值(范围)
三
求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题.
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围.
例3
√
因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，
【针对训练】
1.已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________.
3.已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值.
因为x>0，y>0，由x＋8y＝xy，两边同时除以xy，一、常数代换法求最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
例1 已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求＋的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、消元法、换元法求最值
对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
例2 已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移 本例条件不变，求xy的最大值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、利用基本不等式求参数值(范围)
求参数的值或取值范围的一般方法
(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题.
(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围.
例3 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【针对训练】
1.已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________.
2.若不等式≤a对一切正实数x都成立，则实数a的取值范围是________.
3.已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
培优点　基本不等式
例1　解　因为a>0，b>0，a＋2b＝1，
所以＋＝(a＋2b)
＝＋＝1＋＋＋2≥3＋2＝3＋2.
当且仅当即时，等号成立，
故＋的最小值为3＋2.
例2　解　由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，
因为x>0，y>0，所以0所以x＋2y＝x＋＝x＋
＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立.
所以x＋2y的最小值为4.
迁移　解　由例2知，y＝，0∴xy＝＝，
令m＝x＋1，∴1∴xy＝＝
＝－＋5≤－×2＋5＝2，
当且仅当m＝，即m＝3，即x＝2时等号成立，
∴xy的最大值为2.
例3　B　[因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，
所以要使＋≥恒成立，
只需m≤(2a＋b)恒成立，
而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，
当且仅当a＝b时，等号成立，
所以m的最大值等于9.]
针对训练
1.5＋2　[由2a＋b＝ab－1，得a＝，
因为a>0，b>0，所以a＝>0，
因为b＋1>0，所以b>2，
所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4
＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2，
当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立.
所以a＋2b的最值为5＋2.]
2.　[a≥恒成立，
即a≥，
∵x>0，
∴＝≤＝，
当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，
∴的最大值为.
∴a≥.]
3.解　因为x>0，y>0，由x＋8y＝xy，两边同时除以xy，
可得＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
所以x＋2y的最小值为18.

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