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第3章 3.2　函数的基本性质
培优点 函数性质的综合问题
一、函数的对称性
二、函数性质的综合应用
针对训练
内容索引
函数的对称性
一
1.函数图象关于直线对称
2.函数图象关于点对称
3.解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法：
(1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论.
(2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.
注意：使用性质要规范，切不可自创性质！
例1
√
√
(2)(多选)对于定义在R上的函数f(x)，下列说法正确的是
A.若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点(1，0)对称
B.若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称
C.若函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)为偶函数
D.若f(1＋x)＋f(1－x)＝2，则f(x)的图象关于点(1，1)对称
√
√
对于A，将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x－1)的图象，若f(x)为奇函数，则其图象关于点(0，0)对称，则函数f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，A正确；
对于B，若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x－2)＝f(x)，函数f(x)的图象不一定关于直线x＝1对称，B错误；
对于C，将f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x)的图象，若函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)的图象关于直线x＝0对称，即f(x)为偶函数，C正确；
对于D，若f(1＋x)＋f(1－x)＝2，即f(1＋x)－1＝－[f(1－x)－1]，则f(x)的图象关于点(1，1)对称，D正确.
函数性质的综合应用
二
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.
例2
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
任取x1，x2∈(－1，1)，且令x1(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
f(t－1)<－f(t)＝f(－t).
∵f(t)在(－1，1)上是增函数，
【针对训练】
√
∵y＝f(x＋2)是偶函数，
∴f(2－x)＝f(x＋2)，
故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又f(x)在(0，2)上单调递增，
√
2.设定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为
A.{x|－11} B.{x|x<－1或0C.{x|x<－1或x>1} D.{x|－1∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，
∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，
从而有函数f(x)的图象如图所示.
则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1若f(1＋x)＝f(1－x)，
(1，＋∞)
则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.
在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋2x的图象，如图所示.
若存在x∈R，使得f(1＋x)＝f(1－x)，则a>1.
4.已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x).
①求函数g(x)的定义域；
②若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集.
②由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
即f(x－1)≤－f(3－2x).
因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3).
而f(x)在(－2，2)上是减函数，一、函数的对称性
1.函数图象关于直线对称
y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴
f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a
f(x)＝f(a－x) 直线x＝
f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝
2.函数图象关于点对称
y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心
f(a－x)＝－f(a＋x) (a，0)
f(x)＝－f(a－x)
f(a＋x)＝－f(b－x)
f(a＋x)＋f(b－x)＝c
3.解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法：
(1)图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论.
(2)性质法，根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题.
注意：使用性质要规范，切不可自创性质！
例1 (1)定义在R上的偶函数y＝f(x)，其图象关于点对称，且x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋，则f等于(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.
(2)(多选)对于定义在R上的函数f(x)，下列说法正确的是(　　)
A.若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点(1，0)对称
B.若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称
C.若函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)为偶函数
D.若f(1＋x)＋f(1－x)＝2，则f(x)的图象关于点(1，1)对称
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、函数性质的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.
例2 已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【针对训练】
1.已知函数y＝f(x)在(0，2)上单调递增，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A.f(1)B.fC.fD.f2.设定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为(　　)
A.{x|－11}
B.{x|x<－1或0C.{x|x<－1或x>1}
D.{x|－13.设函数f(x)＝若存在x∈R，使得f(1＋x)＝f(1－x)成立，则实数a的取值范围是________.
4.已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x).
①求函数g(x)的定义域；
②若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
培优点　函数性质的综合问题
例1　(1)B　(2)ACD　[(1)∵y＝f(x)的图象关于点对称，
∴f＋f＝0，
即f(1＋x)＋f(－x)＝0.
又∵y＝f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(1＋x)＋f(x)＝0，即f(1＋x)＝－f(x)，
∴f＝－f＝0.
(2)对于A，将f(x)的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x－1)的图象，若f(x)为奇函数，则其图象关于点(0，0)对称，则函数f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，A正确；
对于B，若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x－2)＝f(x)，函数f(x)的图象不一定关于直线x＝1对称，B错误；
对于C，将f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x)的图象，若函数f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(x)的图象关于直线x＝0对称，即f(x)为偶函数，C正确；
对于D，若f(1＋x)＋f(1－x)＝2，即f(1＋x)－1＝－[f(1－x)－1]，则f(x)的图象关于点(1，1)对称，D正确.]
例2　(1)解　根据题意得
即解得∴f(x)＝.
(2)证明　任取x1，x2∈(－1，1)，且令x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵－1∴x1－x2<0，1＋x>0，
1＋x>0，1－x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(－1，1)上是增函数.
(3)解　f(t－1)<－f(t)＝f(－t).
∵f(t)在(－1，1)上是增函数，
∴解得0∴不等式的解集为.
针对训练
1.B　[∵y＝f(x＋2)是偶函数，
∴f(2－x)＝f(x＋2)，
故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f＝f，f＝f，<1<，又f(x)在(0，2)上单调递增，
∴f即f2.D　[∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f(－x)＝－f(x)，
x[f(x)－f(－x)]<0，
∴xf(x)<0，
又f(1)＝0，
∴f(－1)＝0，
从而有函数f(x)的图象如图所示.
则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－13.(1，＋∞)　[若f(1＋x)＝f(1－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.
在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋2x的图象，如图所示.
若存在x∈R，使得f(1＋x)＝f(1－x)，
则a>1.]
4.解　①由题意可知
所以解得故函数g(x)的定义域为.
②由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
即f(x－1)≤－f(3－2x).
因为f(x)为奇函数，所以f(x－1)≤f(2x－3).
而f(x)在(－2，2)上是减函数，
所以解得所以不等式g(x)≤0的解集为.

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