资源简介

三月数学每周好题精选（第四周）
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z与复平面内的点对应，则( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，，的长度分别为1，3，4，且两两夹角均为，点G为的重心，则( )
A. B. C. D.
4.某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列结论正确的是( )
A.1000名学生成绩的平均数是77
B.成绩不低于80分的学生所占比例为
C.用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在内抽取30人
D.这1000名学生成绩的第50百分位数是80
5.已知与在函数的同一个周期区间内，且，，则( )
A. B. C. D.
6.已知正三棱台的高为4，的内切圆和的外接圆的半径均为1，则该正三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆及圆，如图，过点与椭圆相切的直线l交圆O于点A，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的满足，且，，则( )
A.
B.是偶函数
C.曲线关于点对称
D.
9.（多选）若函数，则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为
B.图象的一条对称轴是
C.图象的一个对称中心是
D.在上的值域为
10.（多选）已知函数(，且)，则( )
A.的定义域为 B.为偶函数
C.在上单调递减 D.的最大值为0
11.（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与C的左支相交于P，Q两点，若，且，则( )
A. B.
C.C的离心率为 D.直线的斜率为
12.（多选）如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，则下列结论正确的为( )
A. B.
C. D.不是平面的一个法向量
13.已知数列是等差数列，若，则__________.
14.已知函数，曲线在点处的切线方程为__________.
15.已知圆，圆C与x轴相切于点，与y轴正半轴交于A，B两点，且，则圆O和圆C的公共弦所在的直线方程为________.
16.如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别为，的中点，点P在线段上，点Q在棱上（与点不重合）.
(1)证明：直线平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的长度.
17.已知抛物线的焦点为F，直线与W相切.
(1)求W的方程.
(2)过点F且与平行的直线与W相交于M，N两点，求.
(3)已知点，直线l与W相交于A，B两点（异于点P），若直线，分别和以F为圆心的动圆相切，试问直线l是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.
18.为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下：
成绩（分）
频数 6 12 18 34 16 8 6
(1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率；
(2)若该市所有参赛市民的成绩X近似服从正态分布，试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）；
(3)为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下：
①参加答题的市民的初始分都设置为100分；
②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为；
③每答对一题得2分，答错得0分；
④答完n题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）.
已知市民甲答对每道题的概率均为0.6，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n为多少时，他获得的平均话费最多？
参考数据：若，则，，
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，则，集合
，故故选：B.
2.答案：B
解析：由复数的几何意义可知，则，
故选：B.
3.答案：B
解析：∵点G为的重心，∴，∴.
∴，∴
，∴.故选：B
4.答案：D
解析：对于A，由频率分布直方图，得1000名学生成绩的平均数是，A错误；
对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B错误；
对于C，由分层抽样特点得，则应在内抽取人，C错误；
对于D，1000名学生成绩的第50百分位数即中位数为80，D正确.故选：D
5.答案：A
解析：由已知，，或或或，解得（舍）或（舍）或（舍）或取，故选A.
6.答案：A
解析：和均为等边三角形，设边长为a，b，故，又，故，解得，故，在中，由正弦定理得，解得，故，故正三棱台体积为.故选：A.
7.答案：A
解析：由，可得为等边三角形，即，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，弦长，解得，可得直线，代入椭圆方程，可得
，由直线和椭圆相切，可得：，化简可得，由，可得，即有.故选：A
8.答案：D
解析：对A：令，有，故，故A错误；
对B：令，有，又不恒为零，故，
即，又，故是奇函数，故B错误；
对C：令，
；令，所以，即，因为不恒为零，所以，，关于直线对称，所以关于直线对称，故C错误；
对D：由，故，令，有
，即，则，即，
，即，，即，令，有
，即，则，则；，所以；，所以；故，故D正确.故选：D.
9.答案：AD
解析：由可得
，对于A，的最小正周期为，故A正确，
对于B，，故不是图像的一条对称轴，故B错误，
对于C，，故图像的一个对称中心是，故C错误，
对于D，当，则，故，故，故D正确，故选：AD
10.答案：AB
解析：函数(，且)，解得，故函数的定义域为，又，为偶函数.，不知道还是，故不能判断的单调性和最值情况，综上，AB正确，CD错误.故选：AB
11.答案：ACD
解析：如图，由，可设，.因为，所以.
设，，则，，，解得，则，，
所以，故A选项正确；，故B选项错误；
在中，由，得，则，从而C的离心率为，故C选项正确；
又，所以直线的斜率为，故D选项正确.故选：ACD.
12.答案：BD
解析：由为正方体，以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
对于A选项，，，则，故A错误；
对于B选项，，，则，故B正确；
对于C选项，，故，故C错误；
对于D选项，，故不是平面的一个法向量，故D正确.故选：BD.
13.答案：15
解析：因为数列是等差数列，所以由，于是，故答案为：15.
14.答案：
解析：由题设，且，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
15.答案：
解析：由圆C与x轴相切于点，可设圆C的方程为，由，则，所以圆C的方程为，圆C与圆O的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程.故答案为：
16.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图，连接，，由题意知，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面.
∵M，N分别为，的中点，所以，，
又，，所以，，
∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面，
又，，平面，∴平面平面，
又平面，∴平面.
(2)∵三棱柱是直三棱柱，且，∴，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，，则，，
设平面的法向量为，则，取，可得，，所以为平面的一个法向量.
由题意可取平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，则，解得或（舍去），故的长度为.
17.答案：(1)
(2)8
(3)
解析：(1)联立整理得.
因为与W相切，所以，解得或（舍去），
故W的方程为.
(2)由(1)可知.因为，所以的方程为.设，.
联立整理得，则，，
.
(3)设，，则直线l的方程为，①
直线AP的方程为，直线BP的方程为，
设动圆F的半径为r，.因为直线AP和圆F相切，所以，
整理得，同理可得
所以a，b是一元二次方程的两个实数根，
则，，代入①式整理得
由，得，此时，故直线AB恒过定点.
18.答案：(1)
(2)1587
(3)或
解析：(1)从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分”为事件A，
则事件A包含的基本事件的个数为，
因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为；
(2)因为，所以，
故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为；
(3)以随机变量表示甲答对的题数，则且，
记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，所以，
依题意为了获取答n道题的资格，甲需要的分数为：，
设甲答完n题后的最终得分为，则
.
由于，所以当或时，取最大值.
即当他的答题数量为或时，他获得的平均话费最多.

展开更多......

收起↑