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2025年高考三轮冲刺专题训练三角函数综合练习
1．已知函数的部分图象如图所示，
（1）求A、ω、φ及f（x）的解析式；
（2）写出其图象对称中心坐标；
（3）若时，f（x）≤3a﹣1恒成立，求a的取值范围．
2．已知函数．
（1）求函数f（x）的对称中心；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）若不等式|f（x）﹣m|＜1对恒成立，求实数m的取值范围．
3．已知ω＞0，．
（1）若函数y＝f（x）的最小正周期为π，求ω的值；
（2）当ω＝1时，设a∈[0，2π]．若函数y＝f（x）和y＝f（x+a）在[0，π]上有相同的最大值，求a的取值范围．
4．已知函数．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）若函数g（x）＝f（2x）﹣a在区间上恰有3个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求2x1+x2﹣x3的值．
5．已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在上的值域；
（3）若函数g（x）＝f（x）﹣m在上的零点个数为2，求m的取值范围．
6．已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点．
（1）求实数ω的取值范围；
（2）如果求ω在（1）的范围内取最小整数．令．求g（x）在上的值域．
7．已知函数f（x）sinωx+acosωx（ω＞0）图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x1）g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，求2x1﹣x2的最大值；
（3）记函数f（x）在区间上的最大值为Mt，最小值为mt，设函数H（t）＝Mt﹣mt，求函数H（t）在区间上的值域．
8．设函数f（x）＝sin（ωx）+sin（ωx），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在区间[，]上的最小值．
9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）当x∈（0，2π）时，求方程f（x）g（x）＝2f（x）+g（x）解的个数；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）＝f（x）+ag（x）在区间（0，nπ）内恰有2025个零点．
10．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间和最小正周期；
（2）若当时，不等式f（x）≥m有解，求实数m的取值范围．
11．已知函数．
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）若关于x的方程3[f（x）]2+mf（x）+1＝0在区间上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．
12．已知f（x）＝sin（ωx），ω＞0．
（1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0，π]的值域；
（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，a]上恰有3个零点，求a的取值范围．
13．设f（x）＝sinxcosx﹣cos2（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB，b＝5，．
（1）求a的值；
（2）求sinA的值；
（3）求cos（B﹣2A）的值．
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（A）＝2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若B，a＝3，求△ABC的面积．
参考答案
1．【解答】解：（1）由题意可得，解得ω＝2，φ，
由图可知，解得A＝4，
所以；
（2）因为对称中心的横坐标满足：，解得，
所以图象对称中心坐标；
（3）因为，所以，
所以当，即时，f（x）取得最大值4，
因为时，f（x）≤3a﹣1恒成立，
所以4≤3a﹣1，解得，
则a的取值范围是．
2．【解答】解：（1）函数
＝cos（2x）﹣cos2x；
令，解得，故f（x）的对称中心为．
（2）令，
得．
所以函数的严格减区间为．
（3）因为，所以，
所以，
即当时，，f（x）max＝1．
因为|f（x）﹣m|＜1对恒成立，
所以f（x）max﹣1＜m＜f（x）min+1，
即，即m的取值范围为（0，1）．
3．【解答】解：（1）
，
故．
（2）当ω＝1时，．
若x∈[0，π]时，，
当时，函数y＝f（x）取得最大值2，
而函数y＝f（x+a）与y＝f（x）存在相同的最大值，
故当时，函数y＝f（x+a）在[0，π]内取得最大值，
因此可得，
①当k＝0时，则有，解得；
②当k＝1时，则有，解得．
当k≥2时，，此时，，
当k≤﹣1时，，此时，．
综上所述，a的取值范围为．
4．【解答】解：（1）由题意可得：
，
令，2x＝kπ，k∈Z，
解得：，
所以f（x）的对称轴方程为；
（2）（i）因为g（x）＝f（2x）﹣a，
令，
可得，
当时，4x∈[，2π]，
令，则t，
则g（x）在区间上恰有3个零点等价于y＝2sint与y＝a在上恰有3个不同的交点，
作出y＝2sint在上的图象，如下图所示：
因为当t时，y＝2sint，
由图象可知：当时，y＝2sint与y＝a恰有3个不同的交点，
所以实数a的取值范围为；
（ii）设y＝2sint与y＝a的3个不同的交点分别为t1，t2，t3（t1＜t2＜t3），
则t2+t3＝3π，t3﹣t1＝2π，
则2t1+t2﹣t3＝2（t3﹣2π）+t2﹣t3＝t2+t3﹣4π＝﹣π，
即，
整理可得：，
所以．
5．【解答】解：（1）因为f（x）＝2sin（2x），由2kπ≤2x2kπ，k∈Z，得kπ≤xkπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．
（2）令t＝2x，由x∈[，]，得t∈[，π]，则f（x）＝h（t）＝2sint，
由正弦函数的性质知，h（t）在[，]上单调递增，在（，π]上单调递减，
则f（x）max＝h（）＝2sin2，
因为h（π）＝2sinπ＝0＜h（）＝2sin3，所以f（x）min＝0．
所以f（x）在[，]上的值域为[0，2]．
（3）令g（x）＝0，得f（x）＝m，即h（t）＝m，则g（x）在[，]上的零点个数，
即h（t）的图象与直线y＝m在[，π]上的公共点个数．
由（2）知h（π）＝0＜h（）＝3，所以3≤m＜2，即m的取值范围是[3，2）．
6．【解答】解：（1）由已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，
可得，
令，
由，可得，
则f（x）在区间上的最值点个数等价于g（t）＝2sint在上的最值点个数，
由，，，
所以，可得，
所以ω的取值范围是；
（2）由题知：ω＝3，令，
由，可得，
解得，
由，可得，
所以，
所以，
所以g（x）min＝h（m）min＝h（﹣1）＝﹣1，
所以，
所以，g（x）的值域为．
7．【解答】解：（1）因为f（x）图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，
所以f（x）最小正周期为T＝4π，所以ω2，f（x）sin2x+acos2x，
因为f（0）+f（）＝a3，所以a＝1，
所以f（x）sin2x+cos2x＝2sin（2x）；
（2）由（1），g（x）＝f（x）+1＝2sin[2（x）]+1＝2sin（2x）+1，
则g（x）min＝﹣1，g（x）max＝3，
因为g（x1）g（x2）＝9，所以g（x1）＝g（x2）＝3，
因为x1，x2∈[﹣2π，2π]，所以2x1，2x2∈[，]，
则2x1，2x2为集合{，，，}中的一个，
当2x1，2x2时，即x1，x2时，2x1﹣x2最大，
最大值为；
（3）因为t∈，所以2t∈[，π]，2（t）∈[，]，
当t∈时，f（x）在[t，]上递增，在（，t]上递减，
所以Mt＝2，mt＝f（t）＝2sin[2（t）]＝2cos（2t），
此时H（t）＝2﹣2cos（2t），
因为2t∈[，），所以H（t）在t∈上递增，
H（）＝2﹣2cos1，H（）＝2﹣0＝2，所以H（t）∈[1，2），
当t∈[，]时，f（x）在∈上单调递减，
所以Mt＝f（t）＝2sin（2t），mt＝f（t）＝2sin[2（t）]＝2cos（2t），
H（t）＝Mt﹣mt＝2sin（2t）﹣2cos（2t）＝2sin（2t）＝2sin（2t），
因为t∈[，]，2t∈[，]，所以H（t）∈[2，2]，
综上，t∈时，H（t）值域为[1，2]．
8．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin（ωx）+sin（ωx）
＝sinωxcoscosωxsinsin（ωx）
sinωxcosωx
sin（ωx），
又f（）sin（ω）＝0，
∴ωkπ，k∈Z，
解得ω＝6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω＝2，f（x）的最小正周期Tπ；
（2）由（1）知，f（x）sin（2x），
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数ysin（x）的图象；
再将得到的图象向左平移个单位，得到ysin（x）的图象，
∴函数y＝g（x）sin（x）；
当x∈[，]时，x∈[，]，
∴sin（x）∈[，1]，
∴当x时，g（x）取得最小值是．
9．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴，
又曲线y＝f（x）的一个对称中心为，故，得，
∴f（x）＝cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y＝cosx的图象，再将y＝cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
∴g（x）＝sinx．
（2）当x∈（0，2π）时，所求为方程sinxcos2x＝sinx+2cos2x在区间（0，2π）内解的个数．
代入cos2x＝1﹣2sin2x，并记t＝sinx，
问题化为t（1﹣2t2）＝t+2（1﹣2t2），
即2t3﹣4t2+2＝2（t﹣1）（t2﹣t﹣1）＝0，解得或，
在x∈（0，2π）内分别有1个，0个，2个解，即所求解的个数为3个．
（3）依题意，F（x）＝asinx+cos2x，令F（x）＝asinx+cos2x＝0，
当sinx＝0，即x＝kπ（k∈Z）时，cos2x＝1，
从而x＝kπ（k∈Z）不是方程F（x）＝0的解，
∴方程F（x）＝0等价于方程．
令，
y＝sinx的图象在区间（0，π）内关于直线对称，则h（x）的图象在区间（0，π）内关于直线对称，
，则a≠1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在区间（0，π）内总有偶数个交点；
y＝sinx的图象在区间（π，2π）内关于直线对称，则h（x）的图象在区间（π，2π）内关于直线对称，
，则a≠﹣1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在区间（π，2π）内总有偶数个交点．
由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在区间（0，nπ）内总有偶数个交点，
从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h（x）在区间（0，nπ）内恰有2025个零点；
由单调区间h（x），当a＝1或a＝﹣1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点（在两个区间内为1+2或2+1个），
由周期性，2025＝3×675，∴n＝675×2＝1350．
综上，当a＝±1，n＝1350时，函数F（x）＝f（x）+ag（x）在区间（0，nπ）内恰有2025个零点．
10．【解答】解：（1）已知函数，
则，
所以函数f（x）的最小正周期 T，
由，k∈Z，
得，k∈Z，
即函数f（x）的单调递减区间为（k∈Z），
即函数f（x）的单调递减区间为（k∈Z），最小正周期为π；
（2）当时，，
则f（x）的最大值为2，
又不等式f（x）≥m有解，
则m≤2，
即实数m的取值范围为（﹣∞，2]．
11．【解答】解：（1）∵
，
令，k∈Z，
得，
所以f（x）的对称轴方程为；
（2）因为，则，
又因为f（x）的函数值从0递增到1，
又从1递减回0，
令t＝f（x），则t∈[0，1]，
因为方程3[f（x）]2+mf（x）+1＝0在区间上有两个不相等的实根，
所以3t2+mt+1＝0在t∈[0，1）上仅有一个实根，
令H（t）＝3t2+mt+1，
因为H（0）＝1＞0，
则需H（1）＝3+m+1＜0或，
解得：m≤﹣4或，
所以实数m的取值范围为{m|m≤﹣4或}．
12．【解答】解：（1）当ω＝1时，f（x）＝sin（ωx）＝sin（x）．
因为x∈[0，π]，所以令，
根据y＝f（t）＝sint在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的最大值为sin1，最小值为sinsin．
因此函数的值域为[，1]．
（2）由题知，所以ω＝2，f（x）＝sin（2x）．
当f（x）＝0时，，即．
当k＝3时，，所以，即．
因此，a的取值范围为[，）．
13．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）sin2x
sin2x
＝sin2x
由2k2x≤2k，k∈Z可解得：kx≤k，k∈Z；
由2k2x≤2k，k∈Z可解得：kx≤k，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（）＝sinA0，可得sinA，
由题意知A为锐角，所以cosA，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，
可得：1bc＝b2+c2≥2bc，即bc，且当b＝c时等号成立．
因此SbcsinA，
所以△ABC面积的最大值为．
14．【解答】解：（1）在△ABC中，b＝5，，
设a＝2k，则c＝3k，k＞0，
∴cosB，
解得k＝2，
∴a＝2k＝4；
（2）由（1）得a＝4，c＝6，sinB，
由正弦定理得，即，
解得sinA．
（3）∵a＜b，sinAsin，∴A是锐角，且A，
∴sin2A＝2sinAcosA＝2，
cos2A，
∴cos（B﹣2A）＝cosBcos2A+sinBsin2A
．
15．【解答】解：（Ⅰ）由tan（A）＝2．可得tanA，
所以．
（Ⅱ）由tanA，A∈（0，π），可得sinA，cosA．
又由a＝3，B及正弦定理，可得b＝3，
由sinC＝sin（A+B）＝sin（A），可得sinC．
设△ABC的面积为S，则SabsinC＝9．
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