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12.4　定　理
第1课时　三角形内角和定理及其推论
1. 如图,∠CDB=155°,∠C=115°,则∠A的度数是 (　　)
　
A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
　　　　　　
2. 如图,在△ABC中,∠A=50°,∠ABD=30°,BD平分∠ABC,则∠C的度数是 (　　)
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
3. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放,则∠α的度数为 (　　)
A. 85° B. 95° C. 105° D. 115°
4. 如图,在四边形ABCD中,CD∥AB,AC⊥BC.若∠B=50°,则∠DCA的度数为　　　　.
　　　　　
5. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中∠BAC=∠EDF=90°,∠E=45°,∠C=30°,顶点A在EF上,顶点D在BC上,AB与DF交于点M.若BC∥EF,则∠BMD的度数为　　　　.
6. (2023·苏州市区期中)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=5∶6∶7,则△ABC是　　　　　　(按角分类).
7. 如图,D是△ABC的边BC上的一点,且∠ADC=∠BAC.求证:∠DAC=∠B.
第7题
8. 在△ABC中,∠A=75°,∠B-∠C=15°,则∠C的度数为 (　　)
A. 30° B. 45° C. 50° D. 10°
9. 如图,点D在BC的延长线上,DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数为 (　　)
A. 65° B. 70° C. 75° D. 85°
　　　　　　
10. 如图,∠1,∠2,∠3,∠4的关系正确的是 (　　)
A. ∠1+∠2=∠3+∠4 B. ∠1-∠3=∠2-∠4
C. ∠1+∠2=∠4-∠3 D. ∠1+∠3=∠2+∠4
11. 在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-∠B,则∠B的度数为　　　　.
12. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC.若∠2=70°,则∠1+∠3=　　　　°.
13. 如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB.
(1) 若∠A=40°,则∠BOC的度数为　　　　;
(2) 求证:∠BOC=90°+∠A.
第13题
14. 如图,在△ABC中,AD是△ABC的高,AE平分∠BAC,∠C>∠B.
(1) 若∠B=30°,∠C=50°,则∠DAE的度数为　　　　;
(2) 试猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系,并说明理由.
第14题
第2课时　多边形的内角和、外角和定理
1. 　
六边形内角和的度数为 (　　)
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
2. 一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是 (　　)
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
3. (2023·苏州市区期中)若一个多边形的每一个外角都是36°,则这个多边形的边数是 (　　)
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4. 如图,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于点O.若七边形ABCDEFG在∠1,∠2,∠3,∠4处的外角的度数之和为220°,则∠BOD的度数为 (　　)
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
　　　　　　　　　　　　
5. n边形的内角和比(n+1)边形的内角和小　　　　°(n为整数,且n≥3).
6. 如图,在五边形ABCDE中,∠A=45°,直线l分别与边AB,AE相交于点M,N,则∠1+∠2=　　　　°.
7. (2023·兰州)如图所示为我国古建筑墙上采用的八角形空窗的示意图,其轮廓是一个每个内角都相等的八边形,则该八角形空窗的一个外角∠1的度数为　　　　.
8. 如图,小明从点A出发沿直线前进10m到达点B,向左转45°后又沿直线前进10m到达点C,再向左转45°后沿直线前进10m到达点D……照这样走下去,小明第一次回到出发点A时所走的路程为　　　　m.
9. 如图,五边形ABCDE的每个内角都相等,且AB∥EC,那么∠DEC与∠DCE相等吗 为什么
第9题
10. (2024·西藏)已知正多边形的一个外角为60°,则这个正多边形的内角和为 (　　)
A. 900° B. 720° C. 540° D. 360°
11. 一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1 080°,那么原多边形的边数为 (　　)
A. 7 B. 7或8 C. 8或9 D. 7或8或9
12. 如图,D,E,F分别是△ABC的边BC,AC,AB上的点,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度数是 (　　)
A. 180° B. 240° C. 360° D. 540°
　　　　　　　　　
13. (1) 已知一个多边形的内角和与外角和的差是1 260°,则这个多边形是　　　　边形;
(2) (2023·常熟期中)如果一个多边形的每个内角都相等,且内角是它相邻外角的3倍,那么这个多边形的边数是　　　　.
14. 如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数是　　　　.
15. 如果一个正多边形的每一个内角都比它相邻外角的3倍还大20°,求这个多边形的内角和.
16. 如图,内角都相等的六边形A1A2A3A4A5A6的内部有一个内角都相等的五边形B1B2B3B4B5,且A3A4∥B3B4,直线l经过点B2,B3,求直线l与A1A2的夹角(即∠α)的度数.
第16题
第3课时　反 证 法
1. 在△ABC中,∠A,∠B的对边分别是a,b.用反证法证明“若∠A<∠B,则a　
A. a>b B. a=b C. a≤b D. a≥b
2. 判断命题“如果n<1,那么n2-1<0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为 (　　)
A. -2 B. - C. 0 D.
3. 如图,直线l1,l2,l3被直线l4所截.若l1∥l2,l2∥l3,∠1=126°32',则∠2的度数是　　　　.
　　　　　
4. (1) 用反证法证明“多边形中最多有三个锐角”的第一步是假设　　　　　　　　　;
(2) 用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角”的第一步是假设　.
5. 用反证法证明:在同一平面内,过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.
如图,有如下步骤:
① ∵ ∠PAB+∠PBA+∠APB>180°,这与三角形内角和定理相矛盾;
② ∴ 假设不成立,原命题成立;
③ 假设过点P不止一条直线与已知直线l垂直,不妨设PA⊥直线l于点A,PB⊥直线l于点B;
④ ∴ ∠PAB=90°,∠PBA=90°.
其中,正确的顺序是　　　　(填序号).
6. 举反例说明下列命题是假命题.
(1) 若a(2) 两个负数的差一定是负数;
(3) 两个锐角的和一定大于直角;
(4) 任何有理数都有倒数;
(5) 对于任意数x,x2+5x+5的值总是整数.
第7题
7. 如图,有下列推理:① ∵ ∠B=∠BEF,∴ AB∥EF;② ∵ AB∥CD,∴ ∠B=∠CDE;③ ∵ ∠B+∠BDC=180°,∴ AB∥EF;④ ∵ AB∥CD,CD∥EF,∴ AB∥EF.其中,正确的是 (　　)
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
8. 用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,首先应假设这个直角三角形中 (　　)
A. 有两个锐角都大于45° B. 有两个锐角都小于45°
C. 有两个锐角都不大于45° D. 有两个锐角都等于45°
9. (1) 三角形中至少有　　　　个锐角,最多有　　　　个直角,最多有　　　　个钝角;
(2) (2023·衡阳)在一个三角形中,至少有　　　　个内角小于或等于60°.
10. 有下列事实:① 两点确定一条直线;② 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;④ 垂直的定义.在用反证法证明命题“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”时,最终推出的结论与上述事实　　　　矛盾(填序号).
11. 求证:两直线相交有且只有一个交点.
12. 用反证法证明:如果两个整数的积是偶数,那么这两个整数中至少有一个是偶数.
12.4　定　理
第1课时　三角形内角和定理及其推论
1. C　2. C　3. C　4. 40°　5. 75°　6. 锐角三角形
7. ∵ ∠ADC是△ABD的外角,∴ ∠ADC=∠B+∠BAD.∵ ∠ADC=∠BAC,∴ ∠BAC=∠B+∠BAD.∵ ∠BAC=∠DAC+∠BAD,∴ ∠DAC=∠B
8. B　9. B　10. C
11. 60°　解析:由∠B-∠A=∠C-∠B,得2∠B=∠A+∠C.根据三角形的内角和是180°,得∠A+∠B+∠C=180°,所以3∠B=180°,解得∠B=60°.
12. 140　解析:∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD.∵ ∠2=∠1+∠BAD,∠3=∠2+∠CAD,∴ ∠1+∠BAD+∠3=∠2+∠2+∠CAD,∴ ∠1+∠3=2∠2.又∵ ∠2=70°,∴ ∠1+∠3=2×70°=140°.
13. (1) 110°　(2) ∵ △ABC的内角和为180°,∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A.∵ BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∴ ∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∴ ∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=90°-∠A.∵ △OBC的内角和为180°,∴ ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-=90°+∠A
14. (1) 10°　(2) ∠DAE=(∠C-∠B)　理由:设∠B=x,∠C=y.在△ABC中,∠BAC=180°-x-y.∵ AE平分∠BAC,∴ ∠BAE=∠BAC=(180°-x-y).∵ AD是△ABC的高,∴ ∠ADB=90°,∴ 在△ABD中,∠BAD=180°-∠ADB-∠B=90°-x,∴ ∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-x-(180°-x-y)=(y-x)=(∠C-∠B).
第2课时　多边形的内角和、外角和定理
1. D　2. A　3. D　4. A　5. 180　6. 225　7. 45°　8. 80
9. ∠DEC=∠DCE　∵ 五边形的内角和是(5-2)×180°=540°,且每个内角都相等,∴ 每个内角的度数为540°÷5=108°,即∠A=∠AED=∠D=108°.∵ AB∥EC,∴ ∠A+∠AEC=180°,∴ ∠AEC=180°-∠A=72°,∴ ∠DEC=∠AED-∠AEC=36°.∵ △DEC的内角和为180°,∴ ∠DCE=180°-∠DEC-∠D=36°,∴ ∠DEC=∠DCE
10. B　11. D　12. C　13. (1) 十一　(2) 8
14. 540°　解析:连接BE,则∠C+∠D=∠CBE+∠DEB,∴ ∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G的度数等于五边形ABEFG的内角和,为540°.
15. 由题意,得这个多边形的每一个外角都相等.设这个多边形的每一个外角的度数为x°,则每一个内角的度数为(3x+20)°.根据题意,得x+3x+20=180,解得x=40.∴ 这个多边形的边数为360°÷40°=9,∴ 这个多边形的内角和为(9-2)×180°=1 260°
16. 如图,设直线l交A1A2于点E,交A3A4于点D.∵ 六边形A1A2A3A4A5A6的每个内角都相等,∴ ∠A2=∠A3==120°.∵ 五边形B1B2B3B4B5的每个内角都相等,∴ ∠B2B3B4==108°,∴ ∠B4B3D=180°-108°=72°.∵ A3A4∥B3B4,∴ ∠EDA3=∠B4B3D=72°.∵ 四边形A2A3DE的内角和为(4-2)×180°=360°,∴ ∠α=∠A2ED=360°-∠A2-∠A3-∠EDA3=360°-120°-120°-72°=48°
第3课时　反 证 法
1. D　2. A　3. 53°28'　4. (1) 多边形中最少有四个锐角　(2) 一个三角形中最少有两个角是直角　5. ③④①②
6. (1) 答案不唯一,如a=1,b=2,c=-2　(2) 答案不唯一,如(-1)-(-2)=1>0　(3) 答案不唯一,如30°+30°=60°<90°　(4) 0没有倒数　(5) 答案不唯一,如取x=,则x2+5x+5=
7. B　8. A　9. (1) 2　1　1　(2) 1　10. ②
11. 已知:直线a,b.求证:直线a,b相交时只有一个交点P.证明:假设a,b相交时不止一个交点P,不妨设其他交点中有一个为点P',此时点P和点P'在直线a上又在直线b上,∴ 同时经过点P和点P'的直线就有两条.这与“两点确定一条直线”矛盾,∴ 假设不成立,∴ 两条直线相交有且只有一个交点
12. 假设这两个整数都是奇数,不妨设其中一个奇数为2n+1,另一个奇数为2p+1,n,p为整数,则(2n+1)(2p+1)=4np+2n+2p+1=2(2np+n+p)+1.∵ 无论n,p取什么整数,2(2np+n+p)+1都是奇数,这与“两个整数的积是偶数”矛盾,∴ 假设不成立,∴ 如果两个整数的积是偶数,那么这两个整数中至少有一个是偶数

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