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第5章 三角函数
培优点 三角函数中的参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.
一、根据定义域与值域求参数
二、根据三角函数的图象求参数
三、根据三角函数的奇偶性求参数
针对训练
内容索引
四、根据函数的单调性求参数
根据定义域与值域求参数
一
例1
√
根据三角函数的图象求参数
二
例2
√
根据三角函数的奇偶性求参数
三
例3
√
当x>0时，f(x)＝cos(x＋b)
根据函数的单调性求参数
四
例4
√
√
【针对训练】
√
√
2
0
I
5π
X
3
12
在含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.
一、根据定义域与值域求参数
例1 函数y＝sin x的定义域是[a，b]，值域是，则b－a的最大值与最小值之和是(　　)
A.π .2π
C. .4π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、根据三角函数的图象求参数
例2 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A.2，－ .2，－
C.4，－ .4，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、根据三角函数的奇偶性求参数
例3 已知函数f(x)＝是偶函数，则a，b的值可能是(　　)
A.a＝，b＝ .a＝，b＝
C.a＝，b＝ .a＝，b＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
四、根据函数的单调性求参数
例4 (1)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. .
C. .
(2)已知函数f(x)＝3sin在区间[－α，α](α>0)上是增函数，则α的最大值是(　　)
A. .
C. .
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【针对训练】
1.已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　)
A. B.
C. D.8
2.已知函数f(x)＝－10sin2x－10sin x－，x∈的值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3.若函数y＝cos(ω∈N＋)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________.
4.已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f＝f，且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω＝________.
5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是偶函数，且在上是减函数，则φ＝________，ω的最大值是________.
培优点　三角函数中的参数问题
例1　B　[结合图象知b－a的最小值可以是－＝，最大值可以是－＝，
所以其和是＋＝2π.故选B.]
例2　A　[π－＝·，∴ω＝2，
又∵2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝2kπ－，k∈Z且－<φ<，
∴φ＝－.故选A.]
例3　C　[当x>0时，f(x)＝cos(x＋b)
＝－sin，
f(－x)＝sin(－x＋a)＝－sin(x－a)，
因为函数为偶函数，
故f(x)＝f(－x)，即b－＝－a＋2kπ，
即a＋b＝＋2kπ，k∈Z，对比选项知C满足.]
例4　(1)B　(2)B　[(1)∵函数f(x)＝sin在上单调递减，设函数的周期T，
则＝≥π－，∴ω≤2.
再由函数f(x)＝sin满足2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，
求得＋≤x≤＋，k∈Z.
取k＝0，可得≤x≤，
故函数f(x)的一个减区间为.
再由求得≤ω≤，故选B.
(2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
所以2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为
，k∈Z，
当k＝0时，f(x)的单调递增区间为，
所以α≤，所以α的最大值为.]
针对训练
1.B　[由题意知，是该函数周期的整数倍，
即＝×k，k∈Z，解得ω＝，k∈Z，
又ω>0，故其最小值为.]
2.B　[记t＝sin x，x∈，
则函数f(x)可转化为g(t)＝－10t2－10t－＝－10＋2.
因为函数的最大值为2，显然此时t＝－.
令g(t)＝－，得t＝－1或t＝0，
由题意知x∈，当x＝－时，t＝－1，
此时g(－1)＝－，
结合g(t)的图象及函数的值域为，
可得－≤sin m≤0，解得－≤m≤0.
故选B.]
3.2　[依题意得cos＝0，
则＋＝＋kπ(k∈Z) ω＝6k＋2(k∈Z)，
又ω∈N＋，所以ω的最小值为2.]
4.　[由题意知当x＝时，f(x)取得最大值，即ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝6k＋(k∈Z)，
又－＝，
所以ω<6，又ω>0，所以ω＝.]
5.　2　[由题意知φ＝＋kπ，k∈Z，
又0≤φ≤π，所以φ＝，
故函数f(x)＝cos ωx(ω＞0).
令2mπ≤ωx≤π＋2mπ，m∈Z，
得≤x≤＋，m∈Z，
令m＝0，得0≤x≤，
所以≥，解得0＜ω≤2，
所以ω的最大值是2.]

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