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小升初人教版六年级数学专题复习
第11讲：圆的面积
【经典案例】
【例1】草地上有一个边长为4m的正方形木屋，在木屋的一角有一个木桩A。如果用8m长的绳子把一匹马拴在木桩上，这匹马的活动范围有多大
【思路提示】
先画图表示出马的活动范围。
【思路分析】
我们可以画图来表示马的活动范围。
空白部分就是这匹马的活动范围，包括一个半径为8m的半圆、一个半径为8m的圆和两个半径为(8-4)m的圆。计算出空白部分的面积
【规范解答】
答：这匹马的活动范围是175.84m 。
【方法点拨】
在实际生活中，经常要计算半圆、圆等的面积，解决这类问题时，可以借助画图法明确所要求的面积包含哪几部分，最后列式解答。
【强化训练】
【原型题】
一间房子的占地形状是长方形，房子周围是草地，外墙角O处拴着一只羊(如图所示)。已知拴羊的绳子长6m,这只羊能吃到草的范围有多大 订正：
【变式题】
下面三个圆的半径都为4cm,求涂色部分的面积。 订正
【拔高题】
如图，一个半径是6cm的半圆，AB是直径；点A不动，将整个半圆逆时针旋转60°,此时点B移动到点C。图中阴影部分的面积是多少平方厘米 订正
【经典案例】
【例2】如图，大、小两个正方形分别以外圆、内圆的半径作边长，阴影部分的面积是50cm ,求环形的面积。
【思路提示】
仔细观察图形的特点，明确阴影部分的面积与大正方形的面积、小正方形的面积之间的关系是解题的关键。
【思路分析】
观察发现，阴影部分的面积=大正方形的面积一小正方形的面积 。
不妨设小圆的半径为r,大圆的半径为R,则小正方形的面积等于r ,大正方形的面积等于R 。
大正方形的面积-小正方形的面积=50cm
R -r =50cm
因为环形的面积S=π(R -r ),所以S=π×50=157(cm )。
【规范解答】
3.14×50=157(cm )
答：环形的面积是157cm 。
【方法点拨】
计算环形的面积，当外圆和内圆的半径未知且无法算出时，可以考虑是否能通过其他关系推导出外圆半径的平方与内圆半径的平方的差。
【强化训练】
【原型题】
原型题1：下面阴影部分的面积是80cm ,求环形的面积。
订正：
原型题2：李爷爷用篱笆靠墙围了一个半圆形的养鸡场。篱笆的全长为28.26m,他想用养鸡场的一部分地来种菜，所以把养鸡场的直径缩短了2m。养鸡场的面积减少了多少平方米 订正
【变式题】
变式题1：如图，三个同心圆的半径分别为1cm、3cm、5cm,求图中阴影部分的面积。 订正
变式题2：如图，最小的圆的半径是1cm,并且所有的圆的半径依次相差1cm,圆内涂色部分与空白部分面积之比是多少
订正
【拔高题】
正方形ABCD的面积为16cm ,求阴影部分的面积。
订正
【经典案例】
【例3】如图，已知正方形的面积是40cm ,求阴影部分的面积。
【思路提示】
观察图形发现正方形与扇形之间的联系：正方形的对角线的长是扇形的半径。
【思路分析】
如图，作出正方形的一条对角线，可以看出正方形 的对角线的长是扇形的半径。
不妨设正方形的对角线的长为r cm,则r =S正×2,这样可以求出扇形的面积，再用扇形的面积减去正方形的面积就是阴影部分的面积。
【规范解答】
设对角线的长为r cm。
r =S正×2=40×2=80(cm )
答：阴影部分的面积是22.8cm 。
【方法点拨】
求正方形与圆之间的面积，不一定非要知道R(圆的半径)和r(正方形的边长),若知道R 、r 或两者之差，用代换法就可以计算面积。
【强化训练】
【原型题】
原型题1：求下面阴影部分的面积。(单位：cm)
订正：
订正：
原型题2：已知图中涂色部分的正方形的面积是25cm ,则空白部分的面积是多少平方厘米
订正
【变式题】
变式题1：如图，在半圆中，空白三角形ABC的面积是25dm ,求阴影部分的面积。 订正
变式题2：如图，圆的面积和长方形的面积相等，求阴影部分的面积。 订正
【拔高题】
如图，直角三角形ABC中，AC=8cm,BC=4cm。以AC,BC为直径画半圆，两个半圆的交点D在AB边上。求阴影部分的面积。 订正
参考答案
【例1】 【原型题】
解析：画示意图，发现羊吃草的范围是由两部分组成的：一部分是半径为6m的圆面积的；另一部分是半径为2m的圆面积的。
【例1】 【变式题】
【例1】 【拔高题】
6×2=12(cm)
解析：阴影部分的面积=整体的面积一空白部分的面积。整体的面积可以看成一个半径为6cm的半圆加上一个半径为12cm、圆心角为60°的扇形，空白部分为半径为6cm的半圆，所以阴影部分的面积等于半径为12cm、圆心角为60°的扇形面积。
【例2】 【原型题1】
3.14×80×2=502.4(cm )
【例2】 【原型题2】
28.26÷3.14=9(m)
9-2÷2=8(m)
【例2】 【变式题1】
【例2】 【变式题2】
所有的圆的半径依次为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm。
3.14×(2 -1 )+3.14×(4 -3 )=31.4(cm )
3.14×5 -31.4=47.1(cm )
圆内涂色部分与空白部分面积之比为31.4:47.1=2:3
【例2】 【拔高题】
正方形ABCD的面积为16cm ,所以正方形ABCD的边长为4cm,所以内圆的直径是4cm,半径是2cm。
不妨设外圆的半径为R。
解析：首先将阴影部分拼接，发现阴影部分的面积等于环形面积的一半。然后根据正方形ABCD的面积为16cm ,可以得到正方形ABCD的边长为4cm。所以内圆的直径是4cm,半径是2cm。不妨设外圆的半径为R,则，最后根据环形的面积计算公式计算阴影部分的面积。
【例3】 【原型题1】
(5+5) -3.14×5 +3.14×2 =34.06(cm )
3.14×10 ÷4=78.5(cm )
【例3】 【原型题2】
3.14×25=78.5(cm )
【例3】 【变式题1】
不妨设半圆的半径为R。
3.14×25÷2—25=14.25(dm )
【例3】 【变式题2】
9.42cm
解析：由题图可知，圆的半径r是长方形的宽，根据题意有3.14r =6.28r,由此求得r=2cm。阴影部分的面积是。
【例3】 【拔高题】
3.14×(8÷2) ÷2+3.14×(4÷2) ÷2-8×4÷2=15.4(cm )

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