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中考数学复习--隐圆问题专题讲义
类型一:定点定长型
第一类：几个点到某个定点距离相等
如图(1), ， 则A、B、C三点在以0为圆心的圆上.
第二类：到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆
如图(2)，线段OP绕O旋转，那么点P的轨迹就是一个圆.
例题讲解
例1如图， 已知 则 的度数为 .
例2 在中， , 点F在边AC上,并且 点E为BC边上的动点，将 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值为 .
针对训练
1.如图， 已知 则
2.在矩形ABCD中, 已知 点P是BC边上一动点，连接AP，将 沿AP所在直线翻折得到 连接MC， 则MC的最小值为 .
类型二:直角对直径
固定线段AB所对动角. 恒为 则点P在以AB为直径的圆上运动.(不与A，B重合)提示
原理： 圆O中， 的圆周角所对弦是直径.
例题讲解
例3 在正方形ABCD中,. E, F分别为边DC, C B上的点,且始终保持 ，连接AE和DF交于点P，则线段CP的最小值为
针对训练
3.如图， 四边形ABCD为矩形， 点P是线段BC上一动点， 点M为线段AP上一点， 则BM的最小值为( )
4.如图, 已知A(2, 6)、B(8, -2), C为坐标轴上一点, 且 是直角三角形，则满足条件的C点有( )个
A.6 B.7 C.8 D.9
类型三:定边对定角
固定线段AB所对同侧动角. 则A、B、C、P四点共圆(动点P的轨迹为圆一部分).
提示
原理： 同弧或等弧所对的圆周角相等.
例题讲解
例4 如图， 在 中， 过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为
针对训练
5.如图，在平面直角坐标系中， 点O为坐标原点， 点A、B在x轴上、 点C在y轴上， 点A、B、C的坐标分别为 B(3 , 0), C(0, 5), 点D在第一象限内, 且 则线段CD长的最小值为
如图， 边长为2的正方形ABCD中， F为CD上一动点， E为AF上一点， 且 的角平分线交AF的延长线于点G，则点G到CD距离的最大值为
类型四:对角互补型
若四边形ABCD对角互补 则A、 B、 C、 D四点共圆.
原理： 圆的内接四边形对角互补.
例题讲解
例5 如图, 等边△ABC中, AB=6, P为AB边上一动点, PD⊥BC,PE⊥AC, 求DE的最小值.
针对训练
7.如图, 在四边形ABCD中,. ，E为对角线AC的中点, 连接BE, ED, BD. 若 则 的度数为 度.
8如图, 四边形ABCD中, . 则
针对训练
9如图, 菱形ABCD的边长为6, . E, F分别是边BC,DC上的点， 且 BF, D E相交于点P, 连接AP, 求 AP的最大值.
参考答案
例题讲解
例1如图， 已知 则 的度数为 88°.
例 题 讲 解
例2 在中， , 点F在边AC上,并且 点E为BC边上的动点，将 沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值为 1.2 .
提示： 当] 时， 点P到AB的距离最小.
由 ，再结合勾股定理，可得
针对训练
1.如图， 已知 则
针 对 训 练
2.在矩形ABCD中, 已知 点P是BC边上一动点，连接AP，将 沿AP所在直线翻折得到 连接MC， 则MC的最小值为 2 .
分析：
直 角 对 直 径
固定线段AB所对动角. 恒为 则点P在以AB为直径的圆上运动.(不与A，B重合)提示
原理： 圆0中， 的圆周角所对弦是直径.
例 题 讲 解
例3 在正方形ABCD中,. E, F分别为边DC, C B上的点,且始终保持 ，连接AE和DF交于点P，则线段CP的最小值为
提示 分析：
提示： 由 可得 然后取AD中点0, 连接OC, OP, 当O, P, C三点共线时，线段CP的值最小.
针 对训练
3.如图， 四边形ABCD为矩形， 点P是线段BC上一动点， 点M为线段AP上一点， 则BM的最小值为(D)
提示： 由 可得 然后取AD中点0, 连接OM, OB, 当O, M, B三点共线时，线段BM的值最小.
针对训练
4.如图, 已知A(2, 6)、B(8, — 2), C为坐标轴上一点, 且 是直角三角形，则满足条件的C点有(B)个
A.6 B.7 C.8 D.9
分析：
定边对定角
固定线段AB所对同侧动角. 则A、B、C、P四点共圆(动点P的轨迹为圆一部分).
提示
原理： 同弧或等弧所对的圆周角相等.
例题讲解
例4 如图， 在 中， 过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为
提示： 由
可得
当PC有最大值时，CQ有最大值
PC的最大值为直径5
因此CQ的最大值为：
针 对 训 练
5.如图，在平面直角坐标系中， 点O为坐标原点， 点A、B在x轴上、 点C在y轴上， 点A、B、C的坐标分别为 B(3 , 0), C(0, 5), 点D在第一象限内, 且 则线段CD长的最小值为
分析：
提示：
由A，B坐标可得]
由
得
因此，CD最小值为
针 对 训 练
如图， 边长为2的正方形ABCD中， F为CD上一动点， E为AF上一点， 且 的角平分线交AF的延长线于点G，则点G到CD距离的最大值为
提示： 由BG平分 可得
为定角，AB为定弦
点G在以BD为直径的圆上
点G到CD距离的最大值为MN的长
对角互补型
若四边形ABCD对角互补 则A、 B、 C、 D四点共圆.
原理： 圆的内接四边形对角互补.
例 题讲解
例5 如图, 等边△ABC中, AB=6, P为AB边上一动点, PD⊥BC,PE⊥AC, 求DE的最小值.
解: 连接PC, 取PC的中点O, 连接OD, OE, 过点O作OH⊥DE于H.
∵ △ABC是等边三角形
∠ACB=60°, AB=BC=AC=6
PD⊥BC, PE⊥AC
. ∠PDC=∠PEC=90°
C, D, P, E四点共圆
∴ ∠DOE=2∠DCE=120°
∴ 当OD的值最小时，DE的值最小，根据垂线段最短可知，当CP⊥AB时, 此时OD的值小，
针对训练
7.如图, 在四边形ABCD中,. ，E为对角线AC的中点, 连接BE, ED, BD. 若 则 的度数为 32 度.
提示： 由 得A, B, C, D四点共圆, 圆心为点E
针 对 训 练
如图, 四边形ABCD中, . 则
提示：在AB上取 , 连接CE, AC.A, B, C, D四点共圆
为等边三角形
针对 训 练
如图, 菱形ABCD的边长为6, . E, F分别是边BC,DC上的点， 且 BF, D E相交于点P, 连 接AP, 求 AP的最大值.
提示连接OA, OD, 作于H
AP的最大值为

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