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等腰三角形
等腰三角形
【知识归纳1】
1.等腰三角形两腰上的高、中线和两底角的平分线都相等
如图,若AB＝AC,CM⊥AB,BN⊥AC,E,F分别为AB,AC中点,BP,CQ分别为∠ABC,∠ACB的平分线,则CM＝BN,CE＝BF,BP＝CQ.

3.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
如图,若AB＝AC,∠1＝∠2,则AD∥BC.
4.等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
如图,若AB＝AC,DE⊥AB,DF⊥AC,CH⊥AB,则DE＋DF＝CH.
【知识归纳2】构成等腰三角形的常见图形
1.垂直平分线
如图①,l为线段AB的垂直平分线,则△ABP为等腰三角形.
2.角平分线＋平行线
(1)如图②,OC平分∠AOB ,CD∥OB,则△ODC为等腰三角形；
(2)如图③,AD平分∠BAC,CE∥AD,则△ACE为等腰三角形；
(3)如图④,在△ABC中,EF∥BC,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,则△BED和△CFD均为等腰三角形,且C△AEF＝AE＋AF＋EF＝AB＋AC；
(4)如图⑤,在△ABC中,DE∥AB,DF∥AC,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,则△BED和△CFD均为等腰三角形,且C△DEF＝DE＋DF＋EF＝BC.
1.已知△ABC是等腰三角形,
(1)若∠A＝80°,则等腰△ABC的顶角的度数为 ；
(2)若AB＝BC＝AC,则∠A＝ ；
(3)若AB＝4,BC＝8,则等腰△ABC的周长为 ；
(4)若等腰△ABC的周长为20,AB＝4,则BC的长为 .
20°或80°
60°
20
8
2.如图,在△ABC中,D是BC上一点,连接AD.
(1)若AB＝AD＝DC,∠B＝48°,则∠DAC＝ ；
(2)若△ABD是等边三角形,CD＝AD,则∠C＝ ；
(3)若AB＝4,BC＝7,CD＝3,∠B＝60°,则AD＝ ；
(4)若AD垂直平分BC,∠B＝60°,BD＝1,则AB＝ ；
(5)若∠B＝80°,∠BAD＝20°,∠C＝40°,AB＝3,则图中有 个等腰三角形,CD＝ .
24°
30°
4
2
2
3
8
36°

3
20
重难点1：等腰三角形的性质应用
如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点F是线段CB上一点，连接AF.
(1)如图①，若AF⊥CB，AB＝10，BF＝8，求线段AC的长；
(2)如图②，点E为线段AB上一点，连接CE，使∠ACE＝∠B，且EA＝BF，D为AF的中点，连接CD.延长BC至点G，使CG＝CF，连接AG.求证：
∠ACD＝∠BCE.

(2)证明：∵∠ACE＝∠B，
∴∠ACE＋∠BCE＝∠B＋∠BCE，∴∠ACB＝∠AEC.
∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，
∴∠AEC＝∠BAC，∴AC＝EC.
∵CG＝CF，且D为AF的中点，
∴CD∥AG，∴∠ACD＝∠GAC.
∵∠CEA＝∠ACB，∴∠ACG＝∠CEB.
∵AB＝BC，AE＝BF，∴BE＝CF＝CG.
又∵AC＝CE，∴△ACG≌△CEB(SAS)，
∴∠GAC＝∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.
重难点2：等边三角形的性质应用
如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BA，AB的延长线上，且AD＝BE，连接CD，CE.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若EF平分∠DEC分别交CD，CA于点F，G，
∠ACD＝∠CEF，在EF上取点H，使EH＝AC，
连接CH.求证：EF＝AC＋AD.
证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝60，∴∠DAC＝∠EBC.
在△DAC和△EBC中，
∴△DAC≌△EBC(SAS)，∴CD＝CE.
(2)在△CDA和△ECH中，
∴△CDA≌△ECH(SAS)，∴AD＝CH，∠D＝∠HCE.
∵∠BAC＝∠D＋∠1＝60°，∠1＝∠2，∴∠CHF＝∠HCE＋∠2＝60°，
∵EF平分∠DEC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.
∵∠AGE＝∠CGF，∴∠CFH＝∠BAC＝60°，
∴△CFH为等边三角形，
∴FH＝CH，∴FH＝AD，
∴EF＝EH＋FH＝AC＋AD.

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