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(共19张PPT)
方法一：利用角平分线性质构造对称图形
1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB交AC于点E，CE＝6，DE＝5，过点D作DF⊥AB于点F，若DF＝4，则△ACD的面积为（ ）
A.20
B.22
C.24
D.26
B
【方法归纳】
1.过角平分线上的点向角两边作垂线
如图①，点P在∠MON的平分线上，PA⊥OM，过点P作PB⊥ON于点B.
结论：AP＝BP，Rt△AOP≌Rt△BOP.
2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，E是BC的中点，连接DE，若AC＝7，AB＝3，则DE的长为 .
【解析】延长BD交AC于点H，证明△ADB≌△ADH，得BD＝HD，AH＝AB＝3，求出CH，根据三角形中位线定理计算即可.
2
2.过角平分线上的点作角平分线的垂线
如图②，点P在∠MON的平分线上，若AP⊥OP，则延长AP交ON于点B.
结论：△AOB是等腰三角形，AP＝BP，Rt△AOP≌Rt△BOP.


3.截长补短
情形1：已知点P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上任意一点(截长法).
结论：△OPB≌△OPA.
情形2：已知在△ABC中，AD平分∠BAC(补短法).
结论：△AFD≌△ACD.
方法二：作平行线构造等腰三角形
4.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是AC边上的一点，连接DE，若∠BAC＝30°，∠CED＝120°，DE＝1，则AE的长为 .
【解析】过点D作DF∥AB交AE于点F，易证AF＝DF，∠EDF＝90°，∠EFD＝30°.

5.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AD＝2，BD平分∠ABC，则CD的长为 .
【解析】过点D作DE∥AB交BC于点E，易证BE＝DE，由△CED∽△CBA求解.
4
【方法归纳】
1.过角平分线上的点作边的平行线
如图，点P在∠AOB的平分线上，过P作PQ∥OB交OA于点Q.
结论：OQ＝PQ，△PQO是等腰三角形.
2.过边上的点作角平分线的平行线
如图，OC是∠AOB的平分线，D是OA上的一点，作DE∥OC交BO的延长线于点E.
结论：OD＝OE，△EOD是等腰三角形.

B
7.(2024·银川模拟)如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝117°，∠ABC＝50°，∠BAD＋∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 .
【解析】延长BA和BC，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC 于点F，DG⊥AC于点G，判定AD为∠EAC的平分线，CD为∠ACF的平分线，即可得出∠DAC的度数.
52°
1
9.如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，且PD＝4，则OD的长为 .

【解析】过点P作PC∥OB交OA于点C，PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OB，∴PE＝PD＝4, ∵CP∥OB，∠AOB＝30°，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，在Rt△ECP中，PC＝2PE＝8.
10.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝80°，AD是∠BAC的平分线，求证：AC＝AB＋BD.
证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，易得∠C＝40°，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴△ABD≌△AED(SAS)，∴∠ADB＝∠ADE，BD＝DE，
∵∠BAC＝60°，∠B＝80°，
∴∠ADE＝∠ADB＝∠CAD＋∠C＝70°，
∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠ADE＝40°，
∴∠CDE＝∠C，∴DE＝CE，
∴AC＝AE＋CE＝AE＋DE＝AB＋BD，
∴AC＝AB＋BD.

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