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菱形的性质与判定
菱形的性质与判定
【知识拓展】
1.菱形中的特殊三角形与面积问题
图形
结论 一对全等的
等腰三角形；
S1＝S2 四个全等的
直角三角形；
S1＝S2＝S3＝S4 △DEF是等边三角形；
△AED≌△BFD；
△BED≌△CFD；
△ABD≌△CBD
【提示】菱形中连接一边的中点与两条对角线的交点可构成直角三角形斜边上的中线或三角形的中位线
2.两个矩形纸片的重叠问题
不等宽的两个矩形纸片重叠(不垂直) 等宽的两个矩形纸片重叠(不垂直)
图形 结论 图形 结论
重叠部分一定是
平行四边形.
∵h1≠h2,
∴一定不是菱形 ∵h1 ＝h2,
∴重叠部分一定是菱形
1.如图,已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.
(1)若四边形ABCD为平行四边形, (请添加一个条件),则四边形ABCD为菱形；
【判定依据】 ；
AC⊥BD(答案不唯一)
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(2)若AB＝BC,AD＝CD, (请添加一个条件),则四边形ABCD为菱形；
【判定依据】 .
AB＝AD
四条边相等的四边形是菱形
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知∠ABC＝60°,AB＝2.
(1)BC＝ ,AO＝ ,OC＝ ,BO＝ ；
(2)∠BCD＝ ,∠ABD＝ ,∠BAO＝ ；
(3)菱形ABCD的周长为 ,面积为 .
2
1
1

120°
30°
60°
8

重难点：与菱形有关的证明与计算
【一题多角度】在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是BC边上一点.
(1)如图①,过点E分别作EF⊥AC于点F,EG⊥BD于点G,连接FG,若AC＝6,BD＝8,则FG的最小值为 ；
【解析】连接OE,则FG＝OE,当OE⊥BC时,OE的值最小,
即FG的值最小,再根据等面积法求高即可求解.
2.4
(2)如图②,AE⊥BC,连接OE,若OE＝3,BD＝8,则AE的值为 ；
【解析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AC,由勾股定理求出AB.
4.8
(3)如图③,AE⊥BC,AF⊥CD,连接EF,若∠ABC＝60°,求∠AEF的度数.
解：∵四边形ABCD是菱形,
∠ABC＝60°,∴BC＝CD,∠ABC＝∠ADC＝60°,∠BAD＝120°,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴BC·AE＝CD·AF,
∴∠BAE＝∠DAF＝30°,
∴AE＝AF,∴∠EAF＝60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AEF＝60°.
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC平分∠DAB,连接BD交AC于点O,过点C作CE⊥AB交 AB延长线于点E.
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
证明：∵AB∥CD,AD∥BC,
∴∠BAC＝∠DCA,
四边形ABCD是平行四边形,
∵AC平分∠DAB,
∴∠BAC＝∠DAC,
∴∠DCA＝∠DAC,∴CD＝AD,∴ ABCD是菱形.

命题点1：菱形的性质(近5年考查2次)
1．(2020·宁夏第5题3分)如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长为 (　　)
A．13
B．10
C．12
D．5
B
【解析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，即可求出EG.
命题点2：菱形的判定(近5年考查1次)
2．(2022·宁夏第21题6分)如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，
AD⊥DC于点D.
(1)用尺规作∠ABC的平分线，交CD于点E；(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示．
(2)连接AE.求证：四边形ABCE是菱形．
证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，
∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．
C
B
【解析】延长BC交格点于点F，连接AF，根据菱形的性质，得出∠AFC＝90°，解直角三角形求得AF，FC的长，根据对顶角相等及正切的定义，即可求解．

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