资源简介

(共36张PPT)
第7单元 第3课
不走重复的路径
（湘科版）五年级
下
1
核心素养目标
3
新知讲解
5
拓展延伸
7
板书设计
2
新知导入
4
课堂练习
6
课堂总结
课后作业
8
01
核心素养目标
信息意识
计算思维
数字化学习与创新
信息社会责任
理解在信息化社会中，运用图论解决问题时可能涉及的隐私和安全问题，能够在团队中有效沟通、合作。
使用图论解决跨学科问题的创新意识，通过编程工具或软件模拟一笔画问题，锻炼动手能力和解决实际问题的能力。
学会使用欧拉定理判断一笔画的可能性，以及设计寻找一笔画路径的简单算法，增强逻辑推理能力。
掌握什么是一笔画，以及欧拉路径基本性质，能够从现实问题中识别出适用一笔画问题的场景，并用图表示出来。
02
新知导入
活动背景
快递员除了为小区提供派送服务，还要上门揽收居民发往全国的快递。这些居民位于不同的街道，为了提高效率，能否一次性揽收这些货而不走重复路(一笔画)呢？
02
新知导入
活动目标
1、了解一笔画的基本定义。
2、了解一笔画的判断方法。
02
新知导入
03
新知讲解
一、一笔画的界定
图形中包含线条和交点。连通图是指从图形中任意一个交点，可以到达其他所有交点。连通图是一笔画图形的基本前提。
03
新知讲解
在连通图中实现一笔画有两个要求：第一，画笔要经历所有的路线和交叉点；第二，同一条线路只能走一次，不能重复。
03
新知讲解
下面的图形中，哪些是一笔画图形，哪些不是？是一笔画图形的打“√”，不是的打“×”。
探究实践
（ ） （ ） （ ）
√
×
√
03
新知讲解
二、一笔画图形的判断
一笔画的判断条件
通过尝试可以发现，不是所有的图形都能实现一笔画。在一笔画图形中，交点汇聚的线条数分奇数与偶数两种;由奇数线条连接的点称为奇点由偶数线条连接的点称为偶点。
03
新知讲解
18世纪初，德国哥尼斯堡的公园里有七座桥，它们将河中两个岛屿与河岸连接起来。有人提出了一个具有挑战性的任务：一次走过所有桥，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
信息链接
03
新知讲解
著名数学家欧拉在挑战此任务时，将地图上的四个区域简化为四个点，七座桥则画作七条线段，从而把问题转化为“是否可以通过一笔画出这个图形”。
03
新知讲解
经过思考，欧拉认为这是不可能的。不仅如此，欧拉还得出了一笔画的判断条件。将原本需要穷举所有可能性的算法换成只需判断奇点个数的算法，快速得出结论，圆满地解答了这个难题。
03
新知讲解
欧拉开创了数学的一个新分支——图论。图论在计算机科学领域有着广泛的应用。
03
新知讲解
满足以下两个条件之一的连通图可以实现一笔画：
1、全部由偶点组成的连通图。以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2、只有两个奇点，其余都为偶点的连通图。必须以一个奇点为起点，另一个奇点则是终点。
03
新知讲解
欧拉解决了一笔画的问题，因此，能够一笔画成的图形也被称作欧拉图。
03
新知讲解
判断一笔画的方法
（1）找出图形的交叉点，并数一数其包含的交叉线。
03
新知讲解
（2）判断各交叉点的类型，并用不同符号、颜色等方式区分结果。
03
新知讲解
（3）统计奇点和偶点的总数，判断该图形是否可以一笔画成，并指出笔画的起点和终点。
03
新知讲解
1、在下列图中分别以每个交叉点作为起点，尝试一笔画绘制，并记录能完成一笔画的起点。
探究实践
5
0
0
4
4
4
否
否
否
否
是
是
无
所有顶点
所有顶点
无
无
无
04
课堂练习
一、选择题
下面关于“一笔画”的描述，正确的是？（ ）
A. 任何图形都能一笔画成 B. 只有线条交叉点全是偶点的图形才能一笔画
C. 连通图是判断一笔画的前提条件 D. 一笔画必须从偶点开始
2、如果一个连通图有4个奇点，这个图形能否一笔画成？（ ）
A. 能，从任意点开始 B. 不能
C. 能，但需要分两次画 D. 能，但必须从奇点开始
3、数学家欧拉解决“七桥问题”时，将问题转化为什么数学问题？（ ）
A. 计算面积 B. 判断一笔画的可能性
C. 测量距离 D. 统计桥的数量
C
B
B
04
课堂练习
4、一个连通图有2个奇点，其余是偶点，画一笔画时应从（ ）开始。
A. 偶点 B. 奇点
C. 任意点 D. 终点
5、如果快递员想一次性走完所有路线且不重复，他需要解决的问题类似于（ ）。
A. 计算最短路径
B. 判断一笔画的可能性
C. 测量街道长度
D. 统计包裹数量
二、判断题
如果一个图形有2个奇点，必须从一个奇点开始，另一个奇点结束。（ ）。
B
√
B
04
课堂练习
三、操作题
画一个能一笔画成且起点和终点相同的图形（至少4个交点），并标出所有偶点。
答案示例：正方形四个顶点为○，四条边连接成环。
05
拓展延伸
中国邮递员问题
邮递员每天从邮局出发，走遍该地区所有街道再返回邮局，他应如何安排送信的路线让总路程最短呢？这个问题由中国学者管梅谷在——奇偶点图1960年首先提出，并给出了解法上作业法，被国际上统称为“中国邮递员问题”。
对于该问题，如果邮递员可以从邮局出发，走遍每条街道且不走重复路，最后回到邮局，这样的路线一定是距离最短的。这种解决问题的思路与我们熟悉的一笔画非常相似。
05
拓展延伸
红绿灯的秘密任务
十字路口的红绿灯通过控制车流方向，避免车辆路线交叉堵塞，就像图论中通过调整路径顺序解决冲突问题。
05
拓展延伸
小蜜蜂的采蜜路线
蜜蜂在花丛间飞行采蜜时，会本能地选择最短且不重复的路线，这种生物智慧启发科学家研究路径优化算法。
05
拓展延伸
地铁线路图的设计艺术
地铁线路图用不同颜色区分路线，虽然实际轨道复杂，但设计师通过简化交叉点让乘客轻松看懂换乘路径。
05
拓展延伸
星座连线的数学原理
古人用线段连接星星形成星座图案，若用一笔画规则检验，会发现大熊座（北斗七星）的连线需要两次才能画完。
05
拓展延伸
单元回顾
05
拓展延伸
交流评价
1、同学之间相互交流，分享各自的收获。
2、评一评，画一画。(最高为5颗★)
06
课堂总结
1
引入新知内容
不走重复的路径
2
一笔画的界定
3
一笔画图形的判断
4
完成课堂练习
5
进行相关知识拓展
1
2
3
4
5
07
板书设计
不走重复的路径
1、进行新知引入
2、一笔画的界定
3、一笔画图形的判断
4、完成课堂练习
5、进行知识拓展
课后作业。
1、下面的图形中，哪些是一笔画图形，哪些不是？
08
课后作业
1、下面的图形中，哪些是一笔画图形，哪些不是？是一笔画图形的打“√”，不是的打“×”。
√
×
√
×
×
08
课后作业
2、如果允许在七桥问题中再架一座桥，使游人能够不重复地走遍这八座桥，不要求回到起点，桥应该架在哪里 如果允许去掉七桥问题中的一座或几座桥，应该削减成几座桥才可以使游人不重复地走遍保留下来的桥？
（1）添加一座桥：桥应架在 任意一对未直接相连的顶点之间 （如A-C或B-D）。
（2） 需移除的桥数量： 移除2座桥 （如A-B和C-D），使所有顶点为偶度数，形成欧拉回路。
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