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平面几何全等小综合
典例精练
【例】 (2023临沂)如图,∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD.
(1)写出AB与BD 的数量关系;
(2)延长BC到点E,使CE=BC,延长DC到点F,使CF=DC,连接EF,求证:
(3)在(2)的条件下,作∠ACE的平分线,交AF于点H,求证:AH=FH.
针对训练
1.(1)如图1,在四边形ABCD中,若. 则AC平分 小明为了证明这个结论，将 绕点C顺时针旋转 请帮助小明完成他的作图.
(2)如图2,在五边形ABCDE 中, ，求证：DB平分
2.如图1,在矩形ABCD中,点E在BA 的延长线上, ,EC与BD 相交于点G,与AD相交于点F，
(1)求证:
(2)如图2,连接AG,求证:
3.(1)如图1,在 中， ，D是异于A，B的一点，且 将线段AD绕点A 逆时针旋转α，画出对应线段AE，连接DE交BC 于点F，猜想BF与CF的数量关系，并证明你的猜想.
(2)如图2,在 和 中,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,AC= ED的延长线交AB 于点F，且 直接写出EF的长.
4.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.在Rt△ADE中,∠DAE=90°,AD=AE,连接BE,CD.
(1)求证:BE⊥CD;
(2)如图2,G是EC的中点,连接GB并延长至点F,CF=CD.求证:∠EBG=∠F.
5. AC,BD是四边形ABCD 的对角线,AB=AC,∠ABC+∠ADC=90°.
(1)如图1,若∠ABC=60°,求证: 请将如下证明过程补充完整.
证明:以AD为边作等边△ADE,连接BE.
∴AD=AE=ED,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°.
∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形.
(2)如图2,若∠ABC=45°,写出一个等式表示BD,AD,CD之间的数量关系.
6.(2024甘肃)【模型建立】
(1)如图1,已知 和 .用等式表达线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由.
【模型应用】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD 和边CD上, 用等式表达线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.
7.(2023天门)如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF 折叠，使点 B的对应点M 落在边AD 上(点M不与点A,D重合),点C落在点N 处,MN与CD交于点P,折痕分别与边AB,CD交于点E,F,连接BM.
(1)求证:
(2)若 求MD 的长.
第21讲 平面几何全等小综合
典例精练
【例】 (2023临沂)如图,∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD.
(1)写出AB与BD 的数量关系;
(2)延长BC到点E,使CE=BC,延长DC到点F,使CF=DC,连接EF,求证:EF⊥AB;
(3)在(2)的条件下,作∠ACE的平分线,交AF于点H,求证:AH=FH.
解：
(2)证明:∵CE=CB,∠ECF=∠BCD,CF=CD.
∴△CEF≌△CBD,∴∠E=∠DBC,∴EF∥BD.
∵BD⊥AB,∴AB⊥EF.
(3)证明:延长EF,CH交于点G.
∵EF⊥AB,AC⊥AB,∴GE∥AC,∴∠CGE=∠ACG.
∵CH平分∠ACE,∴∠ACG=∠ECG,∴∠CGE=∠ECG,∴EG=EC,∴EG=BC.
∵△CBD≌△CEF,∴EF=BD.∵BC=AB+BD,EG=FG+EF,
∴AB+BD=FG+EF,∴FG=AB=AC.
在△AHC和△FHG中,
∴△AHC≌△FHG,∴AH=FH.
针对训练
1.(1)如图1,在四边形ABCD中,若BC=CD,∠BAD=∠BCD=90°,则AC平分. 小明为了证明这个结论，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，请帮助小明完成他的作图.
(2)如图2,在五边形ABCDE中,∠A=∠C=90°,AB=BC,AE+CD=DE,求证:DB平分∠CDE.
解:(1)如图1所示.
(2)证明:延长DC至点F,使CF=AE,连接BE,BF.
∵∠A=∠BCF=90°,AB=BC.
∴△BAE≌△BCF(SAS).∴BE=BF.
∵AE+CD=DE,∴CF+CD=DE,即DF=DE.
又∵BD=BD,∴△BDE≌△BDF(SSS).
∴∠BDE=∠BDF,即DB平分∠CDE.
2.如图1,在矩形ABCD中,点E在BA 的延长线上, EC与BD 相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB.
(1)求证:BD⊥EC;
(2)如图2,连接AG,求证:
证明:(1)∵四边形 ABCD是矩形,点 E在BA 的延长线上,∴∠EAF=∠DAB=90°.
又∵AE=AD,AF=AB,∴△AEF≌△ADB(SAS).
∴∠AEF=∠ADB,∠EFA=∠DBA.
∴∠AEF+∠DBA=90°.
(2)在线段 EG上取点P,使得EP=DG,连接AP.
∵AE=AD,∠AEP=∠ADG,EP=DG,
∴△AEP≌△ADG(SAS).∴AP=AG,∠EAP=∠DAG.
∴∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°.
∴△PAG为等腰直角三角形.
∴EG-DG=EG--EP=PG= AG.
3.(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,D是异于A,B的一点,且 将线段AD绕点A 逆时针旋转α，画出对应线段AE，连接DE交BC于点F，猜想BF与CF的数量关系，并证明你的猜想.
(2)如图2,在△ABC和△CDE中,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,AC= ,ED的延长线交AB 于点 F,且∠BDC=90°,直接写出EF的长.
解:(1)如图,BF=CF.
证明:分别过点 B,C作 BG⊥DE于点G,CH⊥DE 于点
H.根据旋转的性质,得△ADB≌△AEC.
∴BD=CE,∠ADB=∠AEC=90°.
∴∠BDG+∠ADE=∠AED+∠CEH=90°.
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED.∴∠BDG=∠CEH.
∵∠BGD=∠CHE=90°,∴△BDG≌△CEH.∴BG=CH.
∵∠BFG=∠CFH,∴△BFG≌△CFH.∴BF=CF.
(2)3.
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中考数学
4.如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.在Rt△ADE中,∠DAE=90°,AD=AE,连接BE,CD.
(1)求证:BE⊥CD;
(2)如图2,G是EC的中点,连接GB并延长至点F,CF=CD.求证:∠EBG=∠F.
证明:(1)设BE分别交AD,CD于点M,N.
∵∠DAE=∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠DAC.
∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAE≌△CAD(SAS). ∴∠BEA=∠CDA.
∵∠AME=∠DMN,∴∠DNM=∠DAE=90°.
∴BE⊥CD.
(2)∵△BAE≌△CAD,∴BE=CD.延长FG至点H,使GH=FG,连接EH.
∵G是EC的中点,∴EG=CG.
又∵∠EGH=∠CGF,∴△EGH≌△CGF(SAS).∴∠H=∠F,EH=CF.
∵CF=CD,CD=BE,∴EH=BE,∴∠H=∠EBG.∴∠EBG=∠F.
5. AC,BD是四边形ABCD 的对角线,AB=AC,∠ABC+∠ADC=90°.
(1)如图1,若∠ABC=60°,求证: .请将如下证明过程补充完整.
证明:以AD为边作等边△ADE,连接BE.
∴AD=AE=ED,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°.
∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形.
(2)如图2,若∠ABC=45°,写出一个等式表示BD,AD,CD之间的数量关系.
解:(1)∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∴∠BAC=∠EAD.∴∠EAB=∠DAC.
在△ADC和△AEB中
∴△ADC≌△AEB(SAS).∴CD=BE,∠ADC=∠AEB.
∵∠ABC+∠ADC=90°,∴∠AED+∠AEB=90°.∴∠BED=90°.
∴在 Rt△BDE中, 即
6.(2024甘肃)【模型建立】
(1)如图1,已知△ABE 和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式表达线段AE,DE,CD 的数量关系,并说明理由.
【模型应用】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD 和边CD上, 用等式表达线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.
解:(1)DE+CD=AE,理由如下:
∵CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC,
∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°.
∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°.
∴∠ABE=∠C.∵AB=BC,
∴△ABE≌△BCD.∴BE=CD,AE=BD.
∴DE=BD-BE=AE-CD.
∴DE+CD=AE.
理由如下:过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥CD于点N.∵四边形ABCD是正方形,BD是正方形的对角线,∴∠ADB=∠CDB=45°,DB平分. BD,即DE=BD-BE= AD-BE.∵EN⊥CD,EM⊥AD,∴EM=EN.∵AE=EF,∴Rt△AEM≌Rt△FEN.∴AM=NF.∵EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°,∴四边形EMDN是正方形.∴ED是正方形EMDN 的对角线， 即
7.(2023天门)如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N 处,MN与CD 交于点P,折痕分别与边AB,CD交于点E,F,连接BM.
(1)求证:∠AMB=∠BMP;
(2)若DP=1,求MD的长.
解:(1)证明:由翻折和正方形的性质可得∠EMP=∠EBC=90°.
∵EM=EB,∴∠EMB=∠EBM.∴∠EMP-∠EMB=∠EBC-∠EBM,即
∵AD∥BC,∴∠AMB=∠MBC.∴∠AMB=∠BMP.
(2)∵DP=1,正方形ABCD的边长为3,∴CP=2.
延长MN,BC交于点Q.∵AD∥BC,∴△DMP∽△CQP.
设MD=x,则QC=2x,∴BQ=3+2x.
在 Rt△DMP中，由勾股定理得
解得 (舍去),

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