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第24讲 三角函数的实际应用
典例精练
【例1】 (2024武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B 的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 m.(参考数据:
【例2】 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度是 m(结果保留小数点后两位，参考数据：
【例3】 如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D 处同时施工.若∠ABC=150°,BC=1600m,∠BCD=105°,，则C，D两点的距离是 m.
【例4】 如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A 在北偏东60°方向上；航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上.小岛A 到航线BC的距离约是 n mile( ,结果用四舍五入法精确到0.1).
针对训练
1.(2024武汉三调)下图是某公园滑梯的横截面图，AB是台阶，BG是一个平台，GD是滑道，立柱BC，EF垂直于地面AD 且高度相同，AB与地面AD 的夹角为45°，GD与地面AD 的夹角为37°.若AC=3m,则滑道GD的长度是 m.(参考数据:
2.如图，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡， 市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D 处，使∠D=30°，则CD的长度约为 米(保留一位小数，参考数据：
3.如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成 沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC的长为m，则大树AB的高为( )
A. m(cosα-sinα) B. m(sinα-cosα) C. m(cosα-tanα)
4.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A 处测得试验田右侧边界N处的俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处的俯角为35°，则M，N之间的距离约为( )(参考数据： ，结果保留整数)
A.188 m B.269m C.286m D.312m
5.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B 的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A 与这栋楼的水平距离为120m，这栋楼的高度 BC 约是 m(\sqrt{3}\approx1.732,结果取整数).
6.喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场的点 P 处观看200 m直道竞速赛.如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A 位于点P 的北偏西30°方向上，终点B位于点P 的北偏东60°方向上,AB=200m,则点 P 到赛道AB 的距离约为 m(结果保留整数，参考数据：
7.如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点 F处仰望楼顶C,仰角为60°,眼睛D,B离同一水平地面EG 的高度为1.6m,FG=20m,则楼顶C离地面的高度CE 约是 m( 取1.732, 取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1).
如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度 AB 约为 r m(sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,纟结果保留整数).
9.如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角为∠DPC=30°.已知窗户的高度AF=2m，窗台的高度CF=1m，窗外水平遮阳篷的宽度AD=0.8m，则CP的长度约为 结果精确到0.1m).
10.如图，一根长为100 cm的木棒斜靠在竖直的墙面上.当木棒与水平地面所成角为50°时，木棒顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处.将木棒底端向外滑动，使木棒与地面所成角为 ，则木棒顶端下降了 cm(结果根据四舍五入法精确到个位， 0.642 8,sin50°≈0.766 0).
11.如图，学校教学楼AB的后面有一栋宿舍楼CD，当光线与地面的夹角是 时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高3m的影子CE，而当光线与地面夹角是 时，教学楼顶A在地面上的影子F 与墙角C有20m的距离(B，F，C在一条直线上)，求教学楼AB的高度.(结果精确到1m，参考数据：
12.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE 的观景台，已知 CD的坡度为 点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B 的仰角为 在观景台 D 处测得塔顶部B 的仰角为
(1)求DE的长;
(2)求塔AB 的高度(结果保留到个位，参考数据：
第24讲 三角函数的实际应用
典例精练
【例1】 (2024 武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端 B 的俯角为 63°，则测得黄鹤楼的高度是 51 m.(参考数据:1
【例2】 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度是 1.66 m(结果保留小数点后两位，参考数据：
【例3】 如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D 处同时施工.若∠ABC=150°,BC=1600m,∠BCD=105°,则C,D两点的距离是 800 m.
【例4】 如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A 在北偏东60°方向上；航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上.小岛A 到航线BC的距离约是 10.4 n m i l e(\sqrt{3}\approx 1 . 7 3 ,结果用四舍五入法精确到0.1).
针对训练
1.(2024武汉三调)下图是某公园滑梯的横截面图，AB是台阶，BG是一个平台，GD是滑道，立柱BC，EF垂直于地面AD 且高度相同，AB与地面AD 的夹角为45°，GD与地面AD 的夹角为37°.若AC=3m,则滑道GD的长度是 5 m.(参考数据:
2.如图，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡， 市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D 处，使∠D=30°，则CD的长度约为 3.7 米(保留一位小数，参考数据：
3.如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC的长为m，则大树AB的高为(A)
A. m(cosα-sinα) B. m(sinα-cosα) C. m(cosα-tanα)
4.无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A 处测得试验田右侧边界N处的俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处的俯角为35°，则M，N之间的距离约为(C)(参考数据：1 ，结果保留整数)
A.188m B.269m C.286m D.312m
5.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B 的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A 与这栋楼的水平距离为120 m，这栋楼的高度 BC 约是 277 m(\sqrt{3}\approx1.732,结果取整数).
6.喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场的点 P 处观看200m直道竞速赛.如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点 P 的北偏西30°方向上，终点B 位于点 P 的北偏东60°方向上,AB=200m,则点 P 到赛道AB 的距离约为 87 m(结果保留整数，参考数据：
7.如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点 F处仰望楼顶C,仰角为60°,眼睛D,B离同一水平地面EG 的高度为1.6m ,FG=20m,则楼顶C离地面的高度CE 约是 48.9 m( 取1.732, 取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1).
8.如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物A 点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB约为 16 m(sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60, 结果保留整数).
9.如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角为∠DPC=30°.已知窗户的高度AF=2m,窗台的高度CF=1m,窗外水平遮阳篷的宽度AD=0.8m,则CP 的长度约为 4.4m ,结果精确到0.1m).
10.如图，一根长为100 cm的木棒斜靠在竖直的墙面上.当木棒与水平地面所成角为50°时，木棒顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处.将木棒底端向外滑动，使木棒与地面所成角为40°，则木棒顶端下降了 12 cm(结果根据四舍五入法精确到个位， 0.642 8,sin50°≈0.7660).
11.如图，学校教学楼AB的后面有一栋宿舍楼CD，当光线与地面的夹角是25°时，教学楼在宿舍楼的墙上留下高3m 的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A 在地面上的影子F与墙角C有20m的距离(B，F，C在一条直线上)，求教学楼AB的高度.(结果精确到1m，参考数据：s
解:作EH⊥AB于H,∵AB⊥BC,DC⊥BC,EH⊥AB,
∴四边形 HBCE为矩形,∴BH=CE=3m,EH=BC.
在Rt△AHE中,
在Rt△ABF中,∠AFB=45°,∴BF=AB=AH+3,
由题意得， 解得AH≈20.
∴AB=AH+BH=23m.
答：教学楼AB的高度约为23 m.
12.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE 的观景台，已知CD=6m,CD的坡度为 点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B 的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B 的仰角为27°.
(1)求 DE 的长;
(2)求塔AB 的高度(结果保留到个位，参考数据：
解:(1)在 Rt△DCE中,CD的坡度为i=1: ,CD=6m,
(2)设AB=h,在 Rt△DCE中,
在Rt△BCA 中,
过点D作DF⊥AB,垂足为F.根据题意,得∠AED=∠FAE=∠DFA=90°,
∴四边形 DEAF 是矩形..
∴BF=AB-FA=(h-3)m.在 Rt△BDF中,
∴BF=DF·tan∠BDF,即
答:塔AB的高度约为11 m.

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