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第22 讲 图形与相似
典例精练
【例1】 (2023杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,点 D,E,F分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点 B 和点 F 关于直线DE 对称.设 若AD=DF,则 (结果用含k的代数式表示).
【例2】 如图,在△ABC中, ，M为AB的中点，在线段AC上取一点N,使△AMN 与△ABC 相似,则线段 MN的长为 .
针对训练
1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC 相似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是( )
A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4)
2.(2024乐山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD 相交于点O.若 则
3.如图,在三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 .
4.(2023广东)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一条直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 .
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点 D.
(1)AC=8,BC=6,AB= ,CD= ;
(2)CD=4,BD=3,BC= ,AD= ,AC= .
6.如图，在 中，CD是边AB 上的高，且 求证：
7.如图,点 D,E,G在 的三边上， ,DE交AG 于点F.求证:
8.(2023邵阳)如图,( ，B是线段AD 上一点，且( 已知AB
(1)求证:
(2)求线段BD的长.
9.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,AD上的点,且. 于点G，求证：
10.如图,在 中， ,BE和CD是 的中线.
(1)求证:
(2)求 的值.
11.如图,在 中，P为边AB 上一点.若 求证：
12.如图，在等腰三角形ABC中， ，D是BC 上的一个动点(不与点 B，C重合)，在AC上取一点E，使 求证：
如图,在 中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形，
(1)若AB=8,求线段AD的长;
(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED 的面积.
14.如图,在正方形ABCD中,M是BC 的中点,N为CD 上一点,且( 求证：AM⊥MN.
15.如图,在 中,D是BC 的中点,E是AD的中点,BE 的延长线交AC 于点F,求 的值.
16.如图，已知锐角 BC长为12,高AD长为8.矩形 PNMQ的边QM 在BC 上,其余两个顶点 P,N分别在AB,AC上,PN交AD 于点E.
(1)求证:
(2)求 的值；
(3)若矩形 PNMQ为正方形,求 PN的值.
17.(2024上海)如图,在矩形ABCD中,E为边CD上一点,且.
(1)求证:
(2)F为线段AE 的延长线上一点，连接CF.若 求证：
18.(2024湖北)如图,在矩形ABCD中,E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE 沿EF 翻折,使A的对称点P 落在CD上，B的对称点为G，PG交BC 于点H.
(1)求证:
(2)若 P 为CD 的中点,且. 求GH的长.
(3)连接BG,若 P 为CD 的中点,H为BC 的中点,探究 BG与AB 的数量关系,并说明理由.
第22 讲 图形与相似
典例精练
【例1】 (2023杭州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,点 D,E,F分别在边AB,BC,CA上,连接DE,EF,FD,已知点 B 和点F 关于直线DE 对称.设 若AD=DF,则 (结果用含k的代数式表示).
【例2】 如图,在△ABC中, ，M为AB 的中点，在线段AC上取一点N,使△AMN 与△ABC 相似,则线段MN的长为 3或 .
针对训练
1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC相似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点 C'的坐标是(C)
A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4)
2.(2024乐山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD 相交于点O.若 则
3.如图,在三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 14 .
4.(2023广东)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一条直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 15 .
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.
6.如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,且 求证：
证明:∵CD是边AB上的高,∴∠ADC=∠CDB=90°.
又∵:CD=BD,∴△ACD∽△CBD.∴∠A=∠BCD.
∵∠A+∠ACD=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.
7.如图,点D,E,G在△ABC的三边上,DE∥BC,DE交AG于点F.求证:
证明:∵DE∥BC,∴△ADF∽△ABG,△AFE∽△AGC.
即
8.(2023邵阳)如图,( ，B是线段AD 上一点，且( 已知 AC=6,DE=4.
(1)求证:△ABC∽△DEB;
(2)求线段 BD 的长.
解:(1)证明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠CBE=∠D=90°.
∴∠C+∠CBA=∠CBA+∠DBE=90°.
∴∠C=∠DBE.
∴△ABC∽△DEB.
9.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,AD上的点,且DE⊥CF于点G,求证:
证明:∵在矩形ABCD中,∠A=∠CDF=90°,∴∠ADE+∠CDG=90°.
∵DE⊥CF,∴∠DCF+∠CDG=90°.∴∠ADE=∠DCF.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,BE和CD 是△ABC的中线.
(1)求证:BE=CD;
(2)求 的值.
解:(1)证明:∵BE是△ABC的中线,
同理，AD= AB.∵AB=AC,∴AD=AE.
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(SAS).∴BE=CD.
(2)∵BE和CD是△ABC的中线,∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC,且DE= BC.∴△ODE∽△OCB.
11.如图,在△ABC中,P为边AB 上一点.若∠ACP=∠B,求证:
证明:∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,
∴△APC∽△ACB.
12.如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D是BC上的一个动点(不与点 B,C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30°,求证:△ABD∽△DCE.
证明:∵△ABC是等腰三角形,且∠BAC=120°,
∴∠ABD=∠ACB=30°.∴∠ABD=∠ADE=30°.
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB,
∴∠EDC=∠DAB.
∴△ABD∽△DCE.
13.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形 BFED是平行四边形，
(1)若AB=8,求线段AD的长
(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形 BFED 的面积.
解:(1)∵四边形 BFED是平行四边形,∴DE∥BF.∴DE∥BC.
∵△ADE的面积为1,∴△ABC的面积为16.
∵四边形BFED是平行四边形,∴EF∥AB.
∴△EFC的面积为9.
14.如图,在正方形ABCD中,M是BC 的中点,N为CD 上一点,且( 求证：AM⊥MN.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠B=∠C=90°.
∵M是BC的中点,CN: ND=1:3,
∴△ABM∽△MCN.
∴∠BAM=∠CMN.
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠AMB+∠CMN=90°.
∴∠AMN=90°.
∴AM⊥MN.
15.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,BE的延长线交AC于点F,求 的值.
解:过点D作DG∥BF交AC于点G.
∵D是BC 的中点,∴BD=DC.∴CG=GF.
∵E是AD 的中点,∴AE=ED.∴AF=FG.
∴AF=FG=CG.
16.如图,已知锐角△ABC,BC长为12,高AD长为8.矩形 PNMQ的边QM在BC上,其余两个顶点 P,N分别在AB,AC上,PN交AD 于点E.
(1)求证:
(2)求 的值；
(3)若矩形 PNMQ 为正方形,求 PN 的值.
解:(1)证明:由矩形 PNMQ得PN∥BC,
∴△APE∽△ABD,△APN∽△ABC,△AEN∽△ADC.
即
(2)∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC.∵AD⊥BC,∴BN=AED.
(3)设正方形 PNMQ的边长为x.
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC.
解得x=4.8.
∴PN=4.8.
17.(2024上海)如图,在矩形ABCD中,E为边CD 上一点,且AE⊥BD.
(1)求证:
(2)F为线段AE 的延长线上一点，连接CF.若 求证:CE=AD.
证明:(1)在矩形ABCD中,∠BAD=90°,∠ADE=90°,AB=DC,
∴∠ABD+∠ADB=90°.
∵AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=90°.
∴∠ABD=∠DAE.∵∠BAD=∠ADE=90°,
即
(2)连接AC交BD 于点O.
在矩形 ABCD中,∠ADE=90°,则∠DAE+∠AED=90°,
∵AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB=90°.∴∠ADB=∠AED.
∵∠FEC=∠AED,∴∠ADO=∠FEC.
在矩形ABCD中,
∴∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE.
∵∠ADO=∠FEC,∴∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE.
在△ODA 和△FEC中
∴△ODA≌△FEC(AAS).∴CE=AD.
18.(2024湖北)如图,在矩形ABCD中,E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE 沿EF 翻折,使A的对称点P 落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于点H.
(1)求证:△EDP∽△PCH.
(2)若P为CD的中点,且AB=2,BC=3,求GH的长.
(3)连接 BG,若 P 为CD 的中点,H 为BC 的中点,探究 BG与AB 的数量关系,并说明理由.
解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°.∴∠1+∠3=90°.
∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF 翻折,使A的对称点P 落在DC上,
∴∠EPH=∠A=90°.∴∠1+∠2=90°.
∴∠3=∠2.∴△EDP∽△PCH.
(2)∵四边形 ABCD是矩形,
∴CD=AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D=∠C=90°.
∵P为CD中点,.
设EP=AE=x,∴ED=AD-x=3-x.
在Rt△EDP 中,
即 解得
∵△EDP∽△PCH,
解得
∵PG=AB=2,∴GH=PG-PH=
(3)如图,延长AB,PG交于一点M,连接AP.
∵E,F分别在AD,BC上,将四边形ABFE沿EF 翻折,使A的对称点P 落在CD上,
∴AP⊥EF,BG⊥直线EF.∴BG∥AP.
∵AE=EP,∴∠EAP=∠EPA.∴∠BAP=∠GPA.
∴△MAP 是等腰三角形.∴MA=MP.
∵P为CD中点,∴设DP=CP=y.∴AB=PG=CD=2y.
∵H为BC的中点,∴BH=CH.
∵∠BHM=∠CHP,∠CBM=∠PCH,∴△MBH≌△PCH(ASA).
在 Rt△PCH中,
在Rt△APD中,

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