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第29讲 求二次函数解析式
典例精练
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式为 当x=--2时取得最小值—4，且经过原点，求抛物线的解析式.
【例2】 已知抛物线 与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,且△ABC的面积为6，求抛物线的解析式.
【例3】 (2024硚口)有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到 时，自动停止加热，随后转入冷却阶段；当水温降至( 时，热水壶又自动加热，…….重复上述过程.若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到 后，又重复上述程序.如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温y(单位： )与时间x(单位：min)之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分(B是该抛物线的顶点)，表示冷却过程；线段 BC 表示加热过程.直接写出抛物线AB段，线段BC分别对应的函数解析式.
针对训练
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 与x轴相交于A,B两点(点A 在点B 的左侧),与y轴交于点C(0,-4),则点A 的坐标为 ，线段AC的长为 ，点B 的坐标为 ，抛物线的解析式为 .
2.(2024 内江)已知二次函数 的图象向左平移2个单位得到抛物线C，点P(2，y ),Q(3,y )在抛物线C上,则 y y (填“>”或“<”).
3.在平面直角坐标系中，抛物线 过点(1,3),且交x轴于点A(-1,0),B两点,求抛物线的解析式.
4.(2024浙江)已知二次函数 (b,c为常数)的图象经过点 ，对称轴为直线 求二次函数的解析式.
5.(2023十堰)已知抛物线 过点 B(4,8)和点C(8,4),求抛物线的解析式.
6.抛物线 与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),且过点 ，求抛物线的解析式.
7.(2023汉阳)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于A，B 两点，与 y轴交于点C，且 求抛物线的解析式.
8.(2024 广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P 处)的高度OP是 ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m.若实心球落地点为M，求OM的长.
9.如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 点D在函数图象上， 轴，且 求抛物线的解析式.
10.原地正面掷实心球是体育训练项目之一.受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目的成绩.实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练，在第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x(单位：m)与竖直高度y(单位：m)的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7
竖直高度y/m 1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 2.1 1.6 0.9
求 y与x近似满足的函数解析式.
11.(2024陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索. 与缆索 均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知缆索. 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC 之间的距离( 缆索 的最低点 P到 的距离
(1)求缆索 所在抛物线的函数解析式；(2)点E在缆索L 上, 且. 则 FO的长为 m.
第29 讲 求二次函数解析式
典例精练
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式为 当x=-2时取得最小值-4，且经过原点，求抛物线的解析式.
解：∵抛物线的解析式为
当x=-2时取得最小值--4,∴y=a(x+2) -4.
∵抛物线经过原点，
即
【例2】 已知抛物线 与x轴交于A(--1,0),B两点,与y轴交于点C,且△ABC的面积为6，求抛物线的解析式.
解：抛物线的对称轴为
∵A(-1,0),∴B(3,0).∴AB=4.
3)或(0,-3).
, 9
∴抛物线的解析式为 或
【例3】 (2024硚口)有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到100℃时，自动停止加热，随后转入冷却阶段；当水温降至60℃时，热水壶又自动加热，…….重复上述过程.若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到 后，又重复上述程序.如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温y(单位：℃)与时间x(单位：min)之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分(B是该抛物线的顶点)，表示冷却过程；线段 BC 表示加热过程.直接写出抛物线AB段，线段BC分别对应的函数解析式.
解：抛物线.AB
线段 BC:y = 5x-140.
针对训练
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 与x轴相交于A,B两点(点A 在点B 的左侧),与y轴交于点C(0,-4),则点A 的坐标为 (-2,0) ,点B 的坐标为 (4,0) ,线段AC的长为 2 ，抛物线的解析式为
2.(2024 内江)已知二次函数. 的图象向左平移2个单位得到抛物线C，点P(2，y ),Q(3,y )在抛物线C上,则 y < y ((填“>”或“<”).
3.在平面直角坐标系中，抛物线 过点(1,3),且交x轴于点A(-1,0),B两点,求抛物线的解析式.
解：依题意，得 解得
∴抛物线的解析式为
4.(2024浙江)已知二次函数 (b,c为常数)的图象经过点A(-2，5)，对称轴为直线 求二次函数的解析式.
解：依题意，得 解得
∴二次函数的解析式为
5.(2023 十堰)已知抛物线 过点 B(4,8)和点 C(8,4),求抛物线的解析式.
解：她物线 过点 B(4,8)和点 C(8,4),
解得
∴抛物线的解析式为
6.抛物线 与x轴交于点A(--1,0),B(3,0),且过点 D(2,-3),求抛物线的解析式.
解： 经过点A(-1,0),B(3,0),∴y=a(x+1)(x-3).
∵抛物线过点 D(2,-3),∴-3=a(2+1)(2-3).∴a=1.
∴y=(x+1)(x--3),即抛物线的解析式为
7.(2023汉阳)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC=OB，求抛物线的解析式.
解：由图象可知a>0，将x=0代入 中，得y=-3a,∴点C(0,-3a).∴OC=3a.
令 解得
∴点A(-1,0),B(3,0).∴OB=3.
∴3a=3,解得a=1.
∴抛物线的解析式为
8.(2024广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P 处)的高度OP是 ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m.若实心球落地点为M，求OM的长.
解：以点O为坐标原点，射线OM方向为x轴正半轴，射线OP方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，则 设抛物线解析式为 把点 P(0, )代入，得 解得
∴抛物线的解析式为
当y=0时, 解得 舍去)，(
∴实心球被推出的水平距离OM为 m.
9.如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB=OC，点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，求抛物线的解析式.
解:∵CD∥x轴,CD=2,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵OB=OC,C(0,c),∴B(-c,0).
解得c=-3或c=0(舍去).
∴抛物线的解析式为
10.原地正面掷实心球是体育训练项目之一.受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目的成绩.实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 .小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练，在第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x(单位：m)与竖直高度y(单位：m)的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 7
竖直高度y/m 1.6 2.1 2.4 2.5 2.4 2.1 1.6 0.9
求 y与x近似满足的函数解析式.
解:∵抛物线经过点(0,1.6),(1,2.1),(2,2.4),
解得
∴函数解析式为
11.(2024陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L 与缆索L 均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知缆索 L 所在抛物线与缆索 L 所在抛物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m,AO=BC=17m,缆索 的最低点 P 到FF'的距离PD=2m.
(1)求缆索 L 所在抛物线的函数解析式；(2)点E在缆索L 上,EF⊥FF',且. 则 FO的长为 40 m.
解：(1)设缆索 L 所在抛物线的函数解析式为.
把(0,17)代入得 解得
∴缆索 L 所在抛物线的函数解析式为

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