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第41 讲 圆与全等
典例精练
【例1】 如图,在⊙O中,D为 的中点，AB 为直径，过点 D 作弦BC 的垂线，垂足为E，则
(1)△CDE为 三角形;
(2)若 则AC的长为 .
【例2】 如图,A,P,B,C是⊙O上的四点,
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)求证:PA+PB=PC.
针对训练
1.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,∠ADB=∠CDB.若 则BD的长度为( )
B.4
2.(2023武汉外校)如图,AB 是⊙O的直径,AD是弦,C是 的中点,CE⊥BD于点E.若BE=1,AB=6,则AD的长为( )
B.4 D.5
3.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,D为AB 的中点,以点 D 为圆心作圆心角为90°的扇形 DEF，点C恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为 .
4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC 于点D,AE与过点D 的切线互相垂直，垂足为E，若 则AD的长为 .
5.(2023武汉四调)如图,AB是半圆O的直径,C是 的中点，过点C作弦BD 的垂线，垂足为E.若AD=DE=1,则AB的长是 .
6.(2024湖北)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在AC上,以OC为半径的圆交AB 于点D,交AC于点E,且BD=BC.
(1)求证:AB是⊙O的切线.
(2)连接OB交⊙O于点F,若 求弧CF的长.
7.(2024武汉元调)如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,
(1)如图1, BD是直径,BD 交AC 于点E.若 ，先用含字母d的式子直接表示CD和DE 的长，再比较 与BE 之间的大小关系；
(2)如图2,过点A作. 垂足为E，若( ,求BE的长.
第41讲圆与全等
典例精练
【例1】如图,在⊙O中,D为AB的中点,AB为直径,过点 D 作弦BC 的垂线，垂足为E，则
(1)△CDE为 等腰直角 三角形;
(2)若AB=10,CD= 则AC的长为 6 .
【例2】 如图,A,P,B,C是⊙O上的四点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)求证:PA+PB=PC.
解:(1)△ABC是等边三角形.证明:∵∠APC=∠CPB=60°,∴∠APC=∠ABC=60°.∠CPB=∠CAB=60°,∴∠ABC=∠CAB=∠BCA=60°.∴△ABC是等边三角形.
(2)证明:在 PC上截取PD=AP,连接AD.∵∠APC=60°,∴△APD是等边三角形.
∴AD=PA=PD,∠PAD=∠ADP=∠BAC=60°.∴∠PAB=∠DAC,∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,∴∠ADC=∠APB.
∴△APB≌△ADC(ASA).∴PB=CD.
∴PC=CD+PD=PB+PA,即PA+PB=PC.
针对训练
1.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,∠ADB=∠CDB.若 则 BD 的长度为(C)
B.4
2.(2023武汉外校)如图,AB 是⊙O的直径,AD 是弦,C是 的中点,CE⊥BD于点E.若BE=1,AB=6,则AD的长为( A)
B.4 D.5
3.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,D为AB 的中点,以点 D 为圆心作圆心角为90°的扇形 DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为
4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC 于点D,AE与过点D 的切线互相垂直，垂足为E，若( 则AD的长为 2 .
5.(2023武汉四调)如图,AB是半圆O的直径,C是 的中点，过点C作弦BD 的垂线，垂足为E.若AD=DE=1,则AB的长是
6.(2024湖北)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在AC上,以OC为半径的圆交AB 于点D,交AC于点E,且BD=BC.
(1)求证:AB是⊙O的切线.
(2)连接OB交⊙O于点F,若. 求弧CF 的长.
解:(1)证明:连接OD,
在△OBD和△OBC中
又∵OD为⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.
(2)∵∠ODB=90°,∴∠ODA=90°,设⊙O的半径为x,则OD=x,AO=x+1.
在Rt△AOD中, 即 解得x=1.
∴OD=OC=1,OA=2,cos∠AOD= =
∴∠AOD=60°,∵△OBD≌△OBC,
∴弧CF的长为
7.(2024武汉元调)如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,AC=AB.
(1)如图1,∠BAC=60°,BD是直径,BD交AC于点E.若BD=d,先用含字母d的式子直接表示CD 和DE 的长，再比较CD+DE与BE之间的大小关系；
(2)如图2,过点A作AE⊥BD,垂足为E,若CD=3,DE=1,求BE 的长.
解：
∴CD+DE=BE.
(2)在BE上截取BF=CD,连接AD,AF.
∵AB=AC,∠ABF=∠ACD,∴△ABF≌△ACD.∴AF=AD.
又∵AE⊥BD,∴EF=DE.∴BE=BF+FE=CD+DE=3+1=4.

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