资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第42 讲 圆与相似
典例精练
【例1】 (2024长春)如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D 是 的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,DB交AC 于点G,连接AD.下列结论:
①∠ABD=∠DAC;
②AF=FG;
③当DG=2,GB=3时,
其中正确的结论是 (只填写序号).
【例2】 (2024内江)如图,AB是⊙O的直径,C是BD的中点,过点C作AD 的垂线,垂足为E.
(1)求证:△ACE∽△ABC;
(2)求证:CE是⊙O的切线;
(3)若AD=2CE,OA= 求阴影部分的面积.
针对训练
1.如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，C是 的中点，延长AD交BC 的延长线于点E.若 则AD的长为( )
A. B.1 D.1.5
2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,直径AC=6,AC,BD交于点E,AB=BD,EC=1,则AD的长为( )
3.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,BC与过点A 的切线EF 平行,BC,AD相交于点G.若DG=BC=8,则AC的长为 .
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB 于点D,E是边BC的中点,连接DE.若AD=4,BD=9,则⊙O的半径为 .
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AB上,以AD为直径的⊙O与BC 相切于点E.若AC=8,BC=6,则BD= .
6.(2023黄冈)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC 于点D,DE 是⊙O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,延长CA交⊙O于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AE=3,DE=6,求AF的长.
7.(2024浙江)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD(1)EF∥BC;
(2)EF=BD.
第42 讲 圆与相似
典例精练
【例1】 (2024长春)如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是AC的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,DB交AC于点G,连接AD.下列结论:
①∠ABD=∠DAC;
②AF=FG;
③当DG=2,GB=3时,
其中正确的结论是 ①②③ (只填写序号).
【例2】 (2024内江)如图,AB是⊙O的直径,C是BD的中点,过点C作AD 的垂线,垂足为E.
(1)求证:△ACE∽△ABC;
(2)求证:CE是⊙O的切线;
(3)若AD=2CE,OA= ，求阴影部分的面积.
解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
又∵CE⊥AD,∴∠AEC=90°,∴∠ACB=∠AEC,∵C是BD的中点,
∴BC=DC,∴∠BAC=∠EAC,∴△ACE∽△ABC.
(2)证明:连接OC,∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO,
∵∠BAC=∠EAC,∴∠EAC=∠ACO,∴OC∥AE,
∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∵OC是⊙O的半径,∴CE是⊙O的切线.
(3)连接DB,OD,DB交OC于点F.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,
∵∠AEC=∠ECO=90°,∴四边形DECF是矩形,∴DF=EC,
∵OC是半径,C是BD的中点,∴DF=FB,OC⊥DB,即DB=2DF=2EC,∵AD=2CE,∴AD=DB,∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴∠DOA=2∠DBA=90°,
针对训练
1.如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，C是 的中点，延长AD交BC 的延长线于点E.若 则AD的长为(B)
A. B.1 D.1.5
2.如图,四边形ABCD内接于⊙O,直径AC=6,AC,BD交于点E,AB=BD,EC=1,则AD的长为(A)
B. C.
3.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD 是⊙O的直径,BC与过点A 的切线EF 平行,BC,AD相交于点G.若DG=BC=8,则AC的长为 ·
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB 于点D,E是边BC 的中点,连接DE.若AD=4,BD=9,则⊙O的半径为
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点 D在AB 上,以AD为直径的⊙O与BC 相切于点E.若AC=8,BC=6,则.
6.(2023黄冈)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC 于点D,DE是⊙O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,延长CA 交⊙O于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AE=3,DE=6,求AF的长.
解:(1)证明:连接OD.∵DE是⊙O的切线,∴OD⊥DE.
∵DE⊥AC,∴OD∥AC.∴∠C=∠ODB.
∵OD=OB,∴∠B=∠ODB.∴∠B=∠C.∴AB=AC.
(2)连接DF,DA,∵∠F=∠B,∠B=∠C,∴∠F=∠C.∴DF=DC.
∵DE⊥CF,∴FE=EC.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠ADC=90°.∴∠ADE+∠CDE=90°.
∵DE⊥AC,∴∠C+∠CDE=90°,∠AED=90°.∴∠C=∠ADE.
∵∠AED=∠DEC=90°,∴△DAE∽△CDE.∴BE=
· ·
∴EF=EC=12.∴AF=EF-AE=12-3=9.
7.(2024 浙江)如图,在圆内接四边形ABCD中, ,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC.求证:
(1)EF∥BC;
(2)EF=BD.
证明:(1)∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠AFE=∠ADC,∴∠AFE+∠ABC=180°.∴EF∥BC.
(2)过点 D作EF 的平行线交AF 于点G,
∵DG∥EF,∴∠AFE=∠DGA,△ADG∽△AEF.
∵∠AFE=∠ADC,∴∠DGA=∠ADC.
∵∠ABD=∠ACD, ∴△CDA∽△BGD.∴AC=AD.

展开更多......

收起↑